ช่วยทำโจทย์ Ap. Math หน่อยคะ

[ultraman_ab]

ช่วยแสดงวิธีทำอย่างละเอียดเป็นภาษาไทยนะคะ ขอบคุณค่ะ
1. Show that
(a) Log (-ei) = 1- (π/2 ) i ; (b) Log ( 1- i) = ½ ln 2 - (π/4 )i

2. Verify that when n = 0 , + 1 , + 2 , ??
(a) log = 1 + 2nπi ; (b) log i = (2n + ½ ) πi

(c) log ( -1 + √3i ) = ln 2 + 2 ( n + 1/3 ) πi

3. Show that
(a) Log ( 1+ i )2 = 2 log ( 1+ i ) ; (b) Log ( -1 + i )2 ≠ 2 log ( -1 + i )

4. Show that
a. log ( i2 ) = 2 log i when log z = lu r + iθ ( r > 0 , π/4 < θ < 9 π/4 )

b. log ( i2 ) ≠ 2 log i when log z = lu r + iθ ( r > 0 , 3π/4 < θ < 11 π/4)

5. Show that
(a) the set of values of log ( i1/2 ) is ( n + &frac14; ) πi ( n = 0 , + 1 , + 2 , ?)
and that the same is true of (&frac12 log i

(b) the set of values of log ( i2 ) is not the same as the set of
values of 2 log i

6. Find all roots of the equation log z = iπ/2 (Ans. z = i)

7. Show that
(a) the function Log ( z ? i ) is analytic everywhere except on the half line y = 1( x ≤ 0)

(c) the function
Log ( z + 4 )
z2 + i
is analytic everywhere except at the points + ( 1 ? i )/√2 and on the portion
x ≤ -4 of the real axis.

8. Show that
Re [ log ( z ? 1 ) ] = &frac12; ln [ (x - 1)2 + y2 ] ( z ≠ 1 )

Why must this function satisfy Laplace?s equation when z ≠ 1 ?

9. Show in two ways that the function ln ( x2 + y2) is harmonic in every domain that does not contain the origin

[nooonuii]

ข้อเก้า

วิธีที่หนึ่ง ใช้นิยามของฟังก์ชันฮาร์มอนิค

วิธีที่สอง ใช้ทฤษฎีที่ว่าุ้ ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์แล้วส่วนจริงกับส่วนจินตภาพของ $f$ จะเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิค

ในข้อนี้ $\ln{(x^2+y^2)}$ เป็นส่วนจริงของ branch ของฟังก์ชัน logarithm ครับ

ข้อที่เป็นคำนวณผมว่าไม่ยากครับ ตั้งใจคิดหน่อยก็น่าจะออกในเร็ววัน

[nooonuii]

ข้อ $1-6,8$ ทำโดยใช้แนวคิดเดียวกัน

ถ้า $z=x+iy$ จะได้ $z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ เมื่อ

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\theta=\arctan{(\frac{y}{x})}$

ส่วนนี้เป็นแค่ความรู้ม.ปลายครับ
ที่เพิ่มมาคือนิยามของ

$Log(z)=\ln{r}+i\theta$

เช่น $z=ei=e(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}})$

$Log(z)=\ln{e}+i\frac{\pi}{2}=i\frac{\pi}{2}$

7. ให้ $w=z-i$

เราทราบว่า $Log(w)$ ไม่ analytic บนรังสี $x+0i,x\leq 0$ นั่นคือเมื่อ

$w=x+0i,x\leq 0$

$z-i=x+0i,x\leq 0$

$z=x+i,x\leq 0$

8. ถ้า $z=x+yi$ ได้ Re$(log(z-1))=\ln|z-1|=?!!!? ,z\neq 1$
ฟังก์ชันนี้สอดคล้องสมการ Laplace เำพราะมันคือส่วนจริงของ analytic function
ใช้ทฤษฎีเดียวกับข้อ 9