ปัญหาที่ยากมากมายสำหรับผม

[Platootod]

(ป.ล.ข้อสอบทั้งหมดเป็นข้อสอบสิรินธร 50 ที่ยังไม่มีคนเฉลย)

1ผมไม่รู้จะใช้อสมการอะไรดีอ่ะคับ
ให้ k เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่จะทำให้ $\frac{1001\times 1002\times .......\times 1994}{11^k}$
2.ตัวหารของ $30^{2007}$ที่ไม่เป็นตัวหารของ $20^{2007}$ มีทั้งหมดกี่จำนวน
และข้อสุดท้ายเป็นข้อสอบสิรินธรปี 2550 ข้อ 12 ตอนที่ 2 คับ(ใครที่ไม่มีข้อสอบดูที่ข้อสอบในโรงเรียนม.ต้น หน้า 2 ชื่อกระทู้ว่าข้อสอบสิรินธร 50)

[Ne[S]zA]

ข้อ12ตอนที่2ข้อสอบสิรินธรปี50 (พิมพ์โจทย์ให้เพื่อความสะดวก)
ถ้า $\frac{a_1}{b_1}=\frac{2b_2}{a_2}=\frac{a_3}{b_3}=\frac{4b_4}{a_4}=...=\frac{a_{2549}}{b_{2549}}=\frac{2550b_{2550}}{a_{2550}}=L $
และ $b_2+3b_4+5b_6+...+2549b_{2550}=k(b_1+b_2+b_3+...+b_{2550})$ โดยที่ $L$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง
แล้ว $$\frac{a_1+L^2a_2+a_3+L^2a_4+a_5+...+L^2a_{2550}}{b_1+b_2+b_3+...+b_{2550}}$$ มีค่าเท่าใด
ปล.ยังคิดไม่ออก ต้องนั่งจัดรูปเหอๆๆ

[LightLucifer]

ข้อแรกอ่ะครับ
ผมคิดแบบคล่าวๆอ่ะ
เนื่องจาก $11\mid 1001$ จะได้ว่า จำนวนที่ หารด้วย 11 และอยู่ในช่วง 1001-1994 จะมี 90 ตัว
ดังนั้น $1001\times 1002\times ...\times 1994 จะมี11เป็นตัวประกอบประมาณ 97 ตัว
เพราะบางตัวอาจจะมี 11 เป็นตัวประกอบมากกว่า1ตัว
จำนวนดังกล่าวมี 121\times 10,121\times 11,...,121\times16$ มี 7 จำนวน
เพราะงั้นผมเลยสรุปไปเลยว่า น่าจะอยู่ในช่วง $50<k\leqslant 150$

[Ne[S]zA]

คิดออกแระครับอิอิ
จากสิ่งที่กำหนดได้ว่า
$a_1=Lb_1$ , $a_3=Lb_3$ , $a_5=Lb_5$ ,...., $a_{2549}=Lb_{2549}$ เรียกกลุ่มนี้ว่า$กลุ่ม1$
และ $2b_2=a_2L$ , $4b_4=a_4L$ , $6b_6=a_6L$ ,..., $2550b_{2550}=a_{2550}L$ ขอเรียกส่วนนี้ว่า $กลุ่มที่2$ ละกันครับ
นำทุกสมการใน $กลุ่มที่1$มาบวกกัน ได้ว่า
สมการที่ 1 คือ
$$a_1+a_3+a_5+...+a_{2549}=Lb_1+Lb_3+Lb_5+...+Lb_{2549}$$

นำทุกสมการของ $กลุ่มที่2$ มาบวกกันได้ว่า
$$a_2L+a_4L+a_6L+...+a_{2550}L=2b_2+4b_4+6b_6+...+2550b_{2550}$$
นำ $L$ คูณทั้ง2ข้างของสมการได้ว่า
สมการที่ 2 คือ
$$a_2L^2+a_4L^2+a_6L^2+...+a_{2550}L^2=2b_2L+4b_4L+6b_6L+...+2550b_{2550}L$$
นำสมการที่1+สมการที่2ได้ว่า
$$a_1+a_2L^2+a_3+a_4L^2+a_5+a_6L^2...+a_{2549}+a_{2550}L^2=Lb_1+Lb_3+Lb_5+...+Lb_{2549}+2b_2L+4b_4L+6b_6L+...+2550b_{2550}L$$
$$=L(b_1+b_3+b_5+...+b_{2549}+2b_2+4b_4+6b_6+...+2550b_{2550})$$
$$=L(b_1+b_3+b_5+...+b_{2549}+b_2+b_4+b_6+...+b_{2550}+b_2+3b_4+5b_6+...+2549b_{2550}$$
$$=L(b_1+b_2+b_3+...+b_{2549}+b_{2550}+b_2+3b_4+5b_6+...+2549b_{2550}$$
$$=L[b_1+b_2+b_3+...+b_{2549}+b_{2550}+k(b_1+b_2+b_3+...b_{2549}+b_{2550})]$$
เพราะฉะนั้นจากโจท์ให้หา
$$\frac{a_1+L^2a_2+a_3+L^2a_4+a_5+...+L^2a_{2550}}{b_1+b_2+b_3+...+b_{2550}}$$
แทนค่าส่วนที่เป็นเศษลงไปได้ว่า
$$=\frac{L[b_1+b_2+b_3+...+b_{2549}+b_{2550}+k(b_1+b_2+b_3+...+b_{2549}+b_{2550})]}{b_1+b_2+b_3+...+b_{2550}}$$
$$=L(1+k)$$

[LightLucifer]

$30^{2007}=3^{2007}\times 2^{2007}\times 5^{2007}$
$20^{2007}=2^{4014}\times 5^{2007}$
จะได้ว่าตัวหารของ$30^{2007}$ที่ไม่เป็นของ$20^{2007}$ มี
$3^1-3^{2007}$ 2007 จำนวน
$(3^1-3^{2007})\times (5^1-5^{2007})$ จับคู่ได้ $2007^2$ จำนวน
$(3^1-3^{2007})\times (2^1-2^{2007})$ จับคู่ได้ $2007^2$ จำนวน
$(3^1-3^{2007})\times (10^1-10^{2007})$ จับคู่ได้ $2007^2$ จำนวน
รวม $3(2007^2)+2007=2007((3)(2007)+1)=12,086,154$ จำนวน
คำตอบไม่สวยเลยแหะ

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

$30^{2007}=3^{2007}\times 2^{2007}\times 5^{2007}$
$20^{2007}=2^{4014}\times 5^{2007}$
จะได้ว่าตัวหารของ$30^{2007}$ที่ไม่เป็นของ$20^{2007}$ มี
$3^1-3^{2007}$ 2007 จำนวน
$(3^1-3^{2007})\times (5^1-5^{2007})$ จับคู่ได้ $2007^2$ จำนวน
$(3^1-3^{2007})\times (2^1-2^{2007})$ จับคู่ได้ $2007^2$ จำนวน
$(3^1-3^{2007})\times (10^1-10^{2007})$ จับคู่ได้ $2007^2$ จำนวน
รวม $3(2007^2)+2007=2007((3)(2007)+1)=12,086,154$ จำนวน
คำตอบไม่สวยเลยแหะ

รบกวนต่ออีกหน่อยคับ
$3^1-3^{2007} มาจากไหนคับ
แล้ว $ จับคู่ได้ $2007^2$ จำนวน ไม่ทราบว่าอะไรหรือคับที่จับคู่ได้
ขอบคุณคับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

รบกวนต่ออีกหน่อยคับ
$3^1-3^{2007} มาจากไหนคับ
แล้ว $ จับคู่ได้ $2007^2$ จำนวน ไม่ทราบว่าอะไรหรือคับที่จับคู่ได้
ขอบคุณคับ

ก็$3^1-3^{2007}$(หมายถึง3ถึง $3^{2007}$)ไม่เป็นตัวหารของ $20^{2007}$ อ่ะครับ
แล้วพอคู๊เข้ากับ $5^1-5^{2007}$ ก็ไม่เป็นตัวหารของ $20^{2007}$ เช่นเดียวกันอ่ะ
เช่น
$3\times 5$
$3\times 25$
$3\times 125$
.
.
.
$3\times 5^{2007}$
ไม่เป็นตัวหารของ $20^{2007}$ หมดเลยอ่ะครับ เช่นเดียวกับตอนที่เปลี่ยน3เป็น $3^2-3^{2007}$ อ่ะครับ

[may2539]

เห็นเพื่อนๆๆๆๆๆพูดกันดูยากกกกกกกจางเลยยยยยเนอะ ช่วยโพสสสข้อสอบให้ดูหน่อยยด้ายป่ะ

[Ne[S]zA]

จัดไปครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=6094

[[SIL]]

ข้อแรกใช้อนุกรม
ข้อสองใช้ความน่าจะเป็น(มั้ง)ครับ ^^