โจทย์การแบ่งกลุ่ม ม.ปลายครับ

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

โจทย์มีอยู่ว่า

มีของแตกต่างกันอยู่ 9 ชิ้น ต้องการแจกของให้เด็ก 3 คนจำนวนเหตุการณ์ที่ทุกคนได้ของ โดยไม่มีใครที่ไม่ได้ของเลยเป็นเท่าใด

ตอนแรกผมจะใช้ star&bar ครับ แต่มันไม่ได้ใช่ไหมครับ เพราะว่ามันเป็นของแตกต่างกัน
พอจะใช้เรื่องการการแบ่งกลุ่มก็มีจำนวนกรณีเยอะเกินไป
พอจะหาทั้งหมดลบกรณีที่บางคนไม่ได้ของ ก็ไม่รู้จะหาทั้งหมดยังไง

รบกวนด้วยนะครับ

[Amankris]

เลือกของให้ทุกคนก่อน แล้วที่เหลือแจกแบบอิสระ

แต่วิธีนี้ นับซ้ำ


จริงๆต้องใช้ Inclusion–exclusion principle

[lek2554]

#2
ไม่น่าจะได้นะครับ (ของที่แจกให้ทุกคนก่อนจะไม่มีโอกาสมาอยู่ด้วยกัน)

อาจทำโดย แจกมั่ว ๆ - แจกให้แค่ 1 คน - แจกให้แค่ 2 คน
แจกมั่ว ๆ = $3^9$ วิธี
แจกให้แค่ 1 คน = 3 วิธี
แจกให้แค่ 2 คน มี 3 กรณี แต่ละกรณีเท่ากัน = แจกมั่ว ๆ - แจกให้แค่ 1 คน = $2^9 - 2$ วิธี
ดังนั้น แจกให้ 3 คน โดยที่ทุกคนต้องได้รับ = $3^9 - 3(2^9-2) - 3$ วิธี

[กิตติ]

ข้อนี้ผมว่าน่าจะเขียนออกมาเป็นกรณีคือแบ่งของ9ชิ้นมาเป็นกลุ่ม สามกลุ่มได้กี่แบบ
1.$(1,1,7)$
2.$(1,2,6)$
3.$(1,3,5)$
4.$(1,4,4)$
5.$(2,2,5)$
6.$(2,3,4)$
7.$(3,3,3)$
แจกได้เท่ากับ$\frac{9!3!}{7!}+ \frac{9!3!}{6!2!}+\frac{9!3!}{3!5!}+\frac{3!9!}{4!4!}+\frac{9!3!}{2!2!5!} +\frac{9!3!}{2!3!4!} +\frac{9!3!}{3!3!3!} $

ไม่รู้่าคิดแบบนี้จะได้ไหม

[lek2554]

ได้ครับ แต่เห็นน้องที่ถาม บอกว่าแยกกรณีเยอะเกิน จะคิดย้อนกลับ ก็ไม่รู้จะคิดยังไง ผมเลยคิดย้อนกลับให้ดู

แต่คำตอบของพี่ ยังขาดอีกหน่อย ๆ ครับ เวลาแบ่งกลุ่ม ถ้ามีกองที่เท่ากัน ต้องหารด้วย factorial ของจำนวนกองที่เท่ากันอีกทีหนึ่งครับ เช่น
กรณีที่ 1 $(1,1,7)$ ต้องตอบ $\dfrac{9!}{1!1!7!(2!)} \times 3!$ ในวงเล็บที่เป็นตัวหารคือมีกองละ 1 เท่ากันอยู่ 2 กองครับ

[กิตติ]

ผมลองคิดตามที่คุณเล็กบอก มันมีการนับซ้ำตามที่คุณเล็กชี้ให้เห็นดังนั้นคำตอบใหม่ที่ได้น่าจะเป็น

$\frac{9!3!}{7!2!}+ \frac{9!3!}{6!2!}+\frac{9!3!}{3!5!}+\frac{3!9!}{4!4!2!}+\frac{9!3!}{2!2!5!2!} +\frac{9!3!}{2!3!4!} +\frac{9!3!}{3!3!3!3!} $