ข้อสอบ สิรินธร 2552 (ม.ปลาย) สอบวันที่ (20/12/52) *FULL-SCAN*

[Amankris]

$9.)$
$x^3-12x^2+ax-2b^2=0 $

hide

ให้ $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ เป็นรากทั้งสาม
จะได้ว่า
$x_1+x_2+x_3=12$
$x_1x_2x_3=2b^2$
ลองทำต่อเองนะ (นั่งไล่ก็ได้)

$10.)$
ให้เส้นตรง $L$ ผ่าน $A\,,\,B\,,\,C\,,\,D$

hide

แสดงได้ไม่ยาก ว่า ถ้า $P\not\in L$ แล้ว $|P-A|+|P-B|+|P-C|+|P-D|>10$
ดังนั้น $P\in L$
จากนั้นแยกกรณีจนได้ $P\in BC$

$11.)$
$1=\displaystyle \frac{z^6+z^4+z^2+1}{z^5+z^3+z}$

hide

$0=z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1$ โดยที่ $z^5+z^3+z\not =0$
นั่นคือ $z$ เป็นรากที่เจ็ดของ $-1$ ที่ไม่ใช่ $-1$ (มีทั้งหมด $6$ คำตอบ)
$\sum z_k^{2009}=\sum (z_k^7)^{287}=\sum -1=-6$

$12.)$
$y=ax+b$
$y=x^2$
$y=-x^2+8x-16$

hide

ใช้วิธีม.ต้น ก็ทำออกนะ
$0=x^2-ax-b$ ---> $a^2=-4b$
$0=x^2+(a-8)x+(b+16)$ ---> $(a-8)^2=4b+64$
แก้หา $(a,b)$ ได้

$13.)$
$\rm log_{y+z}x=p$
$\rm log_{z+x}y=p$
$\rm log_{x+y}z=p$

$x>0,\,y>0,\,z>0$

hide

case $p=0$ ---> $(x,y,z)=(1,1,1)$
case $p=1$ ไม่มีคำตอบ
case $p\geqslant 2$
$\rm log_{y+z}x=p$ ---> $x^{\frac{1}{p}}=y+z$
$\rm log_{z+x}y=p$ ---> $y^{\frac{1}{p}}=z+x$
$0=x-y+x^{\frac{1}{p}}-y^{\frac{1}{p}}$
$0=(x^{\frac{1}{p}}-y^{\frac{1}{p}})(x^{\frac{p-1}{p}}+x^{\frac{p-2}{p}}y^{\frac{1}{p}}+...+y^{\frac{p-1}{p}}+1)$
สรุปได้ว่า $x=y(=z)$
กลับไปแทนค่า $x=2^px^p$ ---> $x=\frac{1}{2\cdot 2^{\frac {1}{p-1}}}$
ดังนั้น $p=2$ ---> $(x,y,z)=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ขอ hint ข้อ 6 ด้วยครับ

$f(x)=\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2+\displaystyle \frac{1}{27}}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2+\displaystyle \frac{1}{27}}}$
$g(x)=x^3+x+1$

ลองหา $g\circ f$ ก่อน

hide

$g(f(x))$
$=f(x)^3+f(x)+1$
$=\left[\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}\right]^3+f(x)+1$
$=\left[(A+B)+3\sqrt[3]{AB}\left(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}\right)\right]+f(x)+1$
$=\left[(2x)+3\sqrt[3]{-\displaystyle \frac{1}{27}}f(x)\right]+f(x)+1$

ได้ว่า $g\circ f(x)=2x+1$
ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ

[NNA-MATH]

ขอบคุณ คุณ Amankris มากครับ แต่ผมยังสงสัยอีกนิดหน่อยน่ะครับ
ข้อ 9 แบบนี้ก็ได้แค่คู่อันดับ (45.5) แค่อันเดียวหรอครับ
ข้อ 11 ทำไม z ถึงเป็น รากที่ 7 ของ -1 ครับ
ขอบคุณครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NNA-MATH

ขอบคุณ คุณ Amankris มากครับ แต่ผมยังสงสัยอีกนิดหน่อยน่ะครับ
ข้อ 9 แบบนี้ก็ได้แค่คู่อันดับ (45.5) แค่อันเดียวหรอครับ
ข้อ 11 ทำไม z ถึงเป็น รากที่ 7 ของ -1 ครับ
ขอบคุณครับ

-ข้อ 9

ยังไม่ครบนะครับ


-ข้อ 11

ใช้เอกลักษณ์

$z^7+1=(z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1)(z+1)$

[Slurpee]

ข้อที่ 1 ตอนที่ 1 ทำยังไงครับ รบกวนท่านผู้รู้ด้วยครับ

[Liion]

thx อยาดได้มานานแล้ว

[catengland]

ข้อ 1 ตอน 1 ทำไงครับ วันนี้ข้อนี้มันออกสอบที่โรงเรียนผมด้วย
ผมเริ่ม $8\leqslant a\leqslant 10$
TAKE LOG
$log_{10}8\leqslant log_{10}a\leqslant log_{10}10$ $-----------1$
TAKE LOG
$2\leqslant b\leqslant 5$
$log_{10}2\leqslant log_{10}b\leqslant log_{10}5$ $------------2$

นำ1หาร2 จะได้ $log_{5}8\leqslant log_{b}a\leqslant log_{2}10$ $-----------3$

นำ2หาร1 จะได้ $log_{10}2\leqslant log_{a}b\leqslant log_{8}5$ $-----------4$


ผมจับ3 บวก 9 ยกกำลัง -1 แล้วคูณ 9 จะได้
$\frac{9}{9+log_{2}10}\leqslant \frac{9}{9+log_{b}a}\leqslant \frac{9}{9+log_{5}8}$
แล้วได้ a=8 b=5 ช่วยเฉลยทีครับ

[catengland]

ได้โปรดเฉลยข้อ 1 ตอน 1 ด้วยเถิด

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ catengland

ได้โปรดเฉลยข้อ 1 ตอน 1 ด้วยเถิด

เท่าที่ลองคิดแบบคร่าว ๆ ดูนะครับ

sirin52_01_01

[~ArT_Ty~]

แล้วในช่วงดังกล่าวมันมีแค่สองค่านี้อย่างเดียวเหรอครับ อยากรู้ว่าดูยังไงมันถึงจะรู้ว่ามากสุดอ่ะครับ

[catengland]

ถ้าผมพิจารณาแบบนี้อ่า
$a\in [8,10] และ b\in [2,5] $
$f= \frac{4}{4+log_a{b}}+\frac{9}{9+log_b{a}} $ มีค่ามากสุดพิจารณาพจน์แรก เศษส่วนจะมีค่ามากสุดเมื่อส่วนมีค่าน้อยสุด จะได้ a=10 b=2 พิจารณาพจน์ที่สอง เศษส่วนจะมีค่ามากสุดเมื่อส่วนมีค่าน้อยสุด จะได้ a=8 b=5
ดังนั้นค่าน้อยสุดของ $a^2 +b^2 = 8^2 + 2^2 = 68 $
ผมงงว่าวิธีนี้ผิดพลาดตรงไหนครับ???

[Amankris]

#26
ผิดตรงที่มันยังไม่ใช่ค่ามากที่สุดของ $f$ ไงครับ

[catengland]

#26
ผิดตรงที่มันยังไม่ใช่ค่ามากที่สุดของ f ไงครับ

ครับขอบคุณครับ มันไม่ใช่ค่ามากที่สุด ของ f แสดงว่าวิธีผมใช้ไม่ได้ใช่ไหมครับ แล้วมีวิธีอื่นอีกไหมนอกจาก AM-GM ของพี่กรที่สามารถแก้โจทย์ข้อนี้ได้ คือผมจะนำไปอธิบายเพื่อนอะครับ

[Amankris]

$9x+\dfrac{4}{x}\ge12$

อสมการนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ความรู้ม.ต้นนะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

แล้วในช่วงดังกล่าวมันมีแค่สองค่านี้อย่างเดียวเหรอครับ อยากรู้ว่าดูยังไงมันถึงจะรู้ว่ามากสุดอ่ะครับ

เงื่อนไขที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดเขียนไว้แล้วคือ $b = a^{2/3}$ ไงครับ.

ซึ่งในช่วงดังกล่าว ถ้า $8 \le a \le 0$ แล้วจะได้ $8^{2/3} \le a \le 10^{2/3}$

ดังนั้น $4\le b \le 4.6$ โดยประมาณ

ถ้าเลือก $a = 9$ จะได้ $b = 9^{2/3}$ ก็ืทำให้เกิดค่าสูงสุดได้

แต่ใช้ไม่ได้ เพราะว่าโจทย์ต้องการ $a^2+b^2$ ที่ต่ำสุด จึงต้องเลือก $a = 8$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ catengland

ถ้าผมพิจารณาแบบนี้อ่า
$a\in [8,10]$ และ $b\in [2,5] $
$f= \frac{4}{4+log_a{b}}+\frac{9}{9+log_b{a}} $ มีค่ามากสุดพิจารณาพจน์แรก เศษส่วนจะมีค่ามากสุดเมื่อส่วนมีค่าน้อยสุด จะได้ a=10 b=2 พิจารณาพจน์ที่สอง เศษส่วนจะมีค่ามากสุดเมื่อส่วนมีค่าน้อยสุด จะได้ a=8 b=5
ดังนั้นค่าน้อยสุดของ $a^2 +b^2 = 8^2 + 2^2 = 68 $
ผมงงว่าวิธีนี้ผิดพลาดตรงไหนครับ???

a กับ b ทั้งสองเศษส่วน ต้องใช้ค่าเดียวกันครับ แยกร่างแบบนี้ไม่ได้

ถ้าอธิบายเพื่อนก็บอกว่า เนื่องจาก $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

ดังนั้น $a-2\sqrt{ab}+b \ge 0$

ทำให้ได้ว่า $a+b \ge 2\sqrt{ab} ~~~ (*)$

โดยที่ $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = 0$ หรือ $a+b =2\sqrt{ab}$ เมื่อ $a = b$

ในช่วงดังกล่าว ค่าของ x = $\log_a b > 0$ เสมอ

จากนั้นก็ประยุกต์อสมการ (*) กับเศษส่วนทั้งสอง