จำนวนเชิงซ้อนช่วยคิดด้วยครับ

[MIN+]

ช่วยคิดด้วยนะครับ

[กิตติ]

$\left|\,z_1-z_2\right|^2=(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2} ) $
$=\left|\,z_1\right|^2+\left|\,z_2\right|^2-z_1\overline{z_2}-z_2 \overline{z_1} $
$=\left|\,z_1\right|^2+\left|\,z_2\right|^2-(z_1\overline{z_2}+z_2 \overline{z_1}) $

$z_1=4(\cos 145^\circ +i\sin 145^\circ ),\overline{z_1}=4(\cos 145^\circ -i\sin 145^\circ )$
$z_2=\sqrt{3} (\cos 115^\circ +i\sin 115^\circ ),\overline{z_2}=\sqrt{3} (\cos 115^\circ -i\sin 115^\circ )$

$z_1\overline{z_2}=4\sqrt{3} (\cos 145^\circ +i\sin 145^\circ )(\cos 115^\circ -i\sin 115^\circ)$
$=4\sqrt{3}((\cos 145^\circ\cos 115^\circ+\sin 145^\circ\sin 145^\circ)+i(\sin 145^\circ\cos 115^\circ-\cos 145^\circ\sin 115^\circ))$
$=4\sqrt{3}(\cos 30^\circ+i\sin 30^\circ)$

$z_2\overline{z_1}=4\sqrt{3}(\cos 115^\circ+i\sin 115^\circ) (\cos 145^\circ -i\sin 145^\circ )$
$=4\sqrt{3}((\cos 145^\circ\cos 115^\circ+\sin 145^\circ\sin 145^\circ)-i(\sin 145^\circ\cos 115^\circ-\cos 145^\circ\sin 115^\circ))$
$=4\sqrt{3}(\cos 30^\circ-i\sin 30^\circ)$

$z_1\overline{z_2}+z_2 \overline{z_1}=8\sqrt{3}\cos 30^\circ $
$=12$

$\left|\,z_1-z_2\right|^2=\left|\,z_1\right|^2+\left|\,z_2\right|^2-(z_1\overline{z_2}+z_2 \overline{z_1})$
$=16+3-12$
$=7$

[กิตติ]

อีกวิธีหนึ่ง
$\left|\,z_1-z_2\right|=\left|\,z_1\right| \left|\,1-\frac{z_2}{z_1} \right| $
$\frac{z_2}{z_1}=\frac{\sqrt{3} (\cos 115^\circ +i\sin 115^\circ )}{4(\cos 145^\circ +i\sin 145^\circ )} $
$=\frac{\sqrt{3}}{4} (\cos (-30^\circ) +i\sin(-30^\circ))$
$=\frac{\sqrt{3}}{4} (\cos (30^\circ) -i\sin(30^\circ))$
$=\frac{3}{8}-i\frac{\sqrt{3}}{8} $

$1-\frac{z_2}{z_1}=1-(\frac{3}{8}-i\frac{\sqrt{3}}{8})=\frac{5}{8}+i\frac{\sqrt{3}}{8} $
$\left|\,1-\frac{z_2}{z_1}\right|^2=\frac{7}{16} $

$\left|\,z_1-z_2\right|^2=\left|\,z_1\right|^2 \left|\,1-\frac{z_2}{z_1} \right|^2 $
$\left|\,z_1\right|^2 =16$
$\left|\,z_1-z_2\right|^2=7$

[กิตติ]

วิธีที่3 ใช้เวคเตอร์
วาดลงบนระนาบเชิงซ้อนได้ดังรูป
จะได้ว่ามุมระหว่างเวคเตอร์เท่ากับ 150 องศา จากสูตรเวคเตอร์ผลลัพธ์
$\left|\,z_1-z_2\right|^2=\left|\,z_1\right|^2+\left|\,z_2\right|^2+2\left|\,z_1\right| \left|\,z_2\right| \cos 150^\circ $
$=16+3+2(4)(\sqrt{3} )(- \frac{\sqrt{3}}{2})$
$=16+3-12$
$=7$