มาราธอน ม.ต้น

[Influenza_Mathematics]

ความซับซ้อนของโจทย์ระดับประมาณ pre-olympic เริ่มต้นปีใหม่ มาเล่นกันเถอะ
1. ใส่หมายเลขข้อ
2. แสดงวิธีทำ
3. ใครตอบได้ตั้งคำถามใหม่
4. ถ้าเป็นไปได้ ซ่อน hint ก็ดีนะครับ
ขอเริ่มจากง่ายก่อนนะครับ
1. จงหาจำนวนเต็มบวก $m$ ที่มากที่สุดซึ่ง $2^m$ หาร $2011^{2554} - 2009^{2554}$

hint

แยกตัวประกอบ

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ความซับซ้อนของโจทย์ระดับประมาณ pre-olympic เริ่มต้นปีใหม่ มาเล่นกันเถอะ
1. ใส่หมายเลขข้อ
2. แสดงวิธีทำ
3. ใครตอบได้ตั้งคำถามใหม่
4. ถ้าเป็นไปได้ ซ่อน hint ก็ดีนะครับ
ขอเริ่มจากง่ายก่อนนะครับ
1. จงหาจำนวนเต็มบวก $m$ ที่มากที่สุดซึ่ง $2^m$ หาร $2011^{2554} - 2009^{2554}$

hint

แยกตัวประกอบ

$2011^{2554} - 2009^{2554}$
$=(2010+1)^{2554}-(2010-1)^{2554}$
$=(2010^{2554}+\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{2}2010^{2552}+...+\binom{2554}{2552}2010^2+\binom{2554}{2553}2010+1)$
$-(2010^{2554}-\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{2}2010^{2552}+...+\binom{2554}{2552}2010^2-\binom{2554}{2553}2010+1)$
$=2(\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{3}2010^{2551}+\binom{2554}{5}2010^{2549}+...+\binom{2554}{2551}2010^3+\binom{2554}{2553}2010)$
$=2(\binom{2554}{1} 2^{2553}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2551}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2549}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}2^31005^3+(2554) (2)(1005))$
$=8(\binom{2554}{1} 2^{2551}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2549}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2547}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}(2)1005^3+(1277) (1005))$
เนื่องจาก$(\binom{2554}{1} 2^{2551}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2549}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2547}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}(2)1005^3+(1277) (1005))$เป็นจำนวนคี่
ดังนั้น8|$2011^{2554} - 2009^{2554}$จะได้ว่า$m=3$ครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

$=(2010+1)^{2554}-(2010-1)^{2554}$
$=(2010^{2554}+2010^{2553}+2010^{2552}+...+2010^2+2010+1)$
$-(2010^{2554}-2010^{2553}+2010^{2552}+...+2010^2-2010+1)$

พลาดตรงนี้หรือเปล่าครับ

[{([Son'car])}]

ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[Amankris]

#4

$\displaystyle (x+y)^n=\sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}x^{n-r}y^r$

[Influenza_Mathematics]

คุณ Amankris เฉลยได้เฉลยเลยครับ อยากเห็นโจทย์คุณ Amankris ตั้ง

[{([Son'car])}]

แก้ไขแล้วครับ

ถูกหรือป่าวครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

แก้ไขแล้วครับ

ถูกหรือป่าวครับ

ถูกครับ เชิญตั้งคำถามต่อไป

[{([Son'car])}]

2.จงหาเลข8หลักซึ่งมี4หลักหน้าเหมือนกับ4หลักหลังเช่น$\;\;$12341234$\;$,$\;$98769876$\;\;$โดยที่จำนวนดังกล่าวสามารถหารด้วย28907ลงต ัวและมีค่ามากที่สุด

[Influenza_Mathematics]

แยกตัวประกอบ $28907 = 137*211$
ให้ $A$ เป็นเลขสี่หลักซึ่ง $AA = 10001*A = 73*137*A$ เพราะฉะนั้นเราหา $A$ ที่มากที่สุด ซึ่ง $211$ เป็นตัวประกอบก็เพียงพอแล้ว
$211 * 47 = 9917$
เพราะฉะนั้นเลขจำนวนนั้นคือ $99179917$

[{([Son'car])}]

ถูกต้องแล้วครับ

[Influenza_Mathematics]

3. จงหาค่าของ $$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} $$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

3. จงหาค่าของ $$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} $$

Solve by limit

$\begin {array}{rl}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^{n}\left(\frac{2^k}{3^k-2^k}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^1}{3^1-2^1}-\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}-2^{n+1}}\right)\\
&=2-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{3}{2})^{n+1}-1}\\
&=2\end {array}$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

แยกตัวประกอบ $28907 = 137*211$
ให้ $A$ เป็นเลขสี่หลักซึ่ง $AA = 10001*A = 73*137*A$ เพราะฉะนั้นเราหา $A$ ที่มากที่สุด ซึ่ง $211$ เป็นตัวประกอบก็เพียงพอแล้ว
$211 * 47 = 9917$
เพราะฉะนั้นเลขจำนวนนั้นคือ $99179917$

แยกตัวประกอบดูอย่างไรครับ ว่า 28907=137*211
แบบเร็วๆอะครับ เพราะ 211 กับ 137 ก็เป็นจำนวนเฉพาะอะครับ

[Amankris]

#14

ต้องสังเกตตรงนี้ให้ได้ก่อนครับ
$\gcd(10001,28907)\not=1$