Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 29 เมษายน 2002, 13:18
TOP's Avatar
TOP TOP ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 มีนาคม 2001
ข้อความ: 1,003
TOP is on a distinguished road
Question One Equals Zero

พิจารณา การหาค่า

1
x
dx โดยใช้วิธี By Parts

ให้ u = 1/x dv = dx
du = - 1/x2 dx v = x

จะได้ว่า


1
x
dx =

1
x


x -

x

- 1
x2


dx




1
x
dx = 1 +

1
x
dx


นั่นคือ 1 = 0


------------------------------
คุณรู้หรือไม่ว่า
การแก้สมการ xxx3 = 3 มีความง่ายพอๆกับการแก้สมการ x3 = 3
__________________
The difference between school and life?
In school, you're taught a lesson and then given a test.
In life, you're given a test that teaches you a lesson.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 04 พฤษภาคม 2002, 01:12
st_alongkorn st_alongkorn ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 ตุลาคม 2001
ข้อความ: 31
st_alongkorn is on a distinguished road
Wink

ผมคิดว่าจริงๆ แล้ว ตอนอินทิเกรต v du จะต้องมีค่าคงที่ C ออกมาด้วย แต่ของพี่ไม่มี ก็เลยทำให้ 1 = 0
__________________
จงรักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 05 พฤษภาคม 2002, 17:18
TOP's Avatar
TOP TOP ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 มีนาคม 2001
ข้อความ: 1,003
TOP is on a distinguished road
Post

ใช่แล้วครับ ผิดตรงบรรทัดที่บอกว่า 1 = 0 และเกี่ยวข้องกับค่า C

โดยปกติ ในสมการที่ยังติดอยู่ในรูปของอินทิกรัล เราสามารถละการเติม C ได้ เนื่องจากเราถือว่า เมื่อหาค่าอินทิกรัลเสร็จแล้วจะมีการเพิ่ม C เข้ามาอยู่ดี แต่สำหรับปัญหาข้อนี้ หลังจากที่เรากำหนดให้ f(x) dx - f(x) dx = 0 ก็จะทำให้ไม่เหลืออินทิกรัลทิ้งไว้ ในตอนท้ายสุดเราจึงมักจะลืมเพิ่ม C เข้ามา

ลองพิจารณาค่าของ f(x) dx - f(x) dx
= ( f(x) - f(x) ) dx = 0 dx = 0 + C = C
โดยที่ C เป็นตัวบอกความแตกต่าง ระหว่างค่าคงที่ที่เกิดขึ้น ในอินทิกรัลตัวแรก และตัวที่สองของสมการ

ดังนั้นสำหรับปัญหาข้อนี้ เราจึงได้ข้อสรุปว่า


1
x
dx ที่อยู่ทางซ้ายมือและทางขวามือ ให้ผลลัพธ์ออกมาไม่เท่ากัน

โดยมีผลต่างของค่าคงที่(C) เป็น 1 เมื่อนำผลที่ได้ไปแทนจะได้วิธีการที่ถูกต้องดังนี้


1
x
dx = 1 +

1
x
dx



1
x
dx -

1
x
dx = 1

C = 1
__________________
The difference between school and life?
In school, you're taught a lesson and then given a test.
In life, you're given a test that teaches you a lesson.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 15 มิถุนายน 2002, 14:12
kerati kerati ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กรกฎาคม 2001
ข้อความ: 6
kerati is on a distinguished road
Cool

ที่คุณ Top บอกว่า 1/x dx ของข้างซ้ายและข้างขวาไม่เท่ากัน โดยค่า C ที่ออกมา มีผลต่างกันเท่ากับ 1 นั้น เป็นความเข้าใจผิดครับ
เพราะการอินทิเกรตนั้น ถ้าหากว่าเป็นอินทิเกรตไม่จำกัดขอบเขตตัวเดียวกัน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเท่ากันทุกประการ เพราะเป็นฟังก์ชั่นอย่างเดียวกัน

แต่ว่าสาเหตุที่ทำให้ 1 = 0 ในกรณีนี้ เกิดจากที่มาของสูตรอินทิเกรต บายพาร์ท ต่างหาก ที่ว่า
[f(x)g(x)]' = f(x)g'(x) + f'(x)g(x).

อินทิเกรต ทั้งสองข้าง จะได้

f(x)g(x) = f(x)g'(x) dx + f'(x)g(x) dx. + C

จัดรูปได้

f(x)g'(x) dx = f(x)g(x)- f'(x)g(x) dx +C

ซึ่งตั้งแต่ตรงนี้ จะเห็นว่ามี ค่าคงที่เกิดขึ้นหนึ่งครั้ง แต่สาเหตุที่สูตรทั่วไปละไว้นั้น ก็เป็นเพราะว่าการอินทิเกรตต่อไป จะต้องมีค่าคงที่เกิดขึ้นอีกอยู่ดี จึงละไว้ในฐานที่เข้าใจ

แต่ในกรณีนี้ ค่าคงที่ที่เราลืมไปตัวนี้ นี่แหละที่เป็นปัญหา จนทำให้เกิดความสับสน และคิดว่า1/x dx -1/x dx = 1 เนื่องจากค่า C ไม่เท่ากัน ซึ่งจริงๆแล้ว คือ
1/x dx -1/x dx + C = 1
ครับ
__________________
Man can never fly as freely as a bird or swim as swiftly as a dolphin
But, Man can build planes that fly higher than any birds or ships that run faster than any dolphins

15 มิถุนายน 2002 14:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kerati
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 15 มิถุนายน 2002, 15:11
TOP's Avatar
TOP TOP ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 มีนาคม 2001
ข้อความ: 1,003
TOP is on a distinguished road
Smile

คือผมมองว่า ตราบใดก็ตามที่เรายังไม่ได้ปลดเครื่องหมายอินทิเกรตออกจนหมด เครื่องหมายอินทิเกรต ตัวที่เหลือนั้นได้รวมตัว C ของอินทิกรัลอื่นๆ ไว้เรียบร้อยแล้วครับ นั่นคือ
หาก F'(x) = f(x) , G'(x) = g(x) , H'(x) = h(x)
จะได้ว่า f(x) dx + g(x) dx + h(x) dx
= f(x) dx + G(x) + H(x)
= F(x) + g(x) dx + H(x)
= F(x) + G(x) + h(x) dx
= F(x) + G(x) + H(x) + C

นอกจากนี้ f(x) dx - f(x) dx
= ( f(x) - f(x) ) dx = 0 dx = 0 + C = C เนื่องจากผลต่างของมันเป็นค่าคงที่ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ จึงไม่สามารถสรุปได้ว่าค่าอินทิกรัลเท่ากัน เพราะถ้าเท่ากัน จะได้ผลต่างเป็นศูนย์ (นี่เป็นการตีความ จากผลลัพธ์สุดท้ายที่ได้)

และจาก 1/x dx - 1/x dx + C = 1
ผมมองเป็น 1/x dx - 1/x dx = 1 - C = C1 นั่นเอง

ดังนั้นผมมองว่า u dv = uv - v du ได้โดยไม่จำเป็นต้องเพิ่ม C เข้ามาในสมการนี้ เพราะมันได้รวมไปกับอินทิกรัลตัวอื่นแล้ว และขั้นตอนสำคัญคือ ตอนที่เราปลดอินทิกรัลตัวสุดท้ายออกมา อย่าลืมนำ C กลับเข้ามาด้วย ก็แล้วแต่มุมมองของแต่ละคนครับ
__________________
The difference between school and life?
In school, you're taught a lesson and then given a test.
In life, you're given a test that teaches you a lesson.

15 มิถุนายน 2002 15:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:39


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha