ช่วยเฉลยสมการเชิงฟังก์ชันให้หน่อยครับ

[polsk133]

1. จงหา f1,oo)--->R ที่สอดคล้องกับ

$$f(x)-f(y)=(y-x)f(xy)$$

สำหรับทุก x,y>1 และ f(2)=2555

2. จงหาฟังก์ชัน f:R->R ทั้งหมดซึ่งเซต {f(x)/x | xเป็นจำนวนจริงและไม่เท่ากับ0} เป็นเซตจำกัดและสอดคล้องกับ

$$f(x-1-f(x))=f(x)-x-1$$ ทุกจำนวนจริง x

[จูกัดเหลียง]

มันสมมุติ $f(x+y)>f(x)+y$ ได้ป่าวอ่ะครับ

[polsk133]

ไม่น่าได้นะครับ มันอาจเป็นจริงแค่บางตัวอะครับ

[~ArT_Ty~]

ถ้าจะสมมุติ ควรสมมุติให้เป็นว่ามี $(x,y)$ บางคู่ที่สอดคล้องนะครับ

[ปากกาเซียน]

ข้อสองข้อสอบเก่าไม่ใช่หรอครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

2. จงหาฟังก์ชัน f:R->R ทั้งหมดซึ่งเซต {f(x)/x | xเป็นจำนวนจริงและไม่เท่ากับ0} เป็นเซตจำกัดและสอดคล้องกับ

$$f(x-1-f(x))=f(x)-x-1$$ ทุกจำนวนจริง x

ให้ $A = \left\{ x-1-f(x) \ | \ x \in \mathbb{R} \right\}$

$\dfrac{f(x-1-f(x))}{x-1-f(x)} = \dfrac{f(x)-x-1}{x-1-f(x)} = -1-\dfrac{2}{x-1-f(x)}$

จะเห็นว่า ถ้า $A$ เป็นเซตอนันต์แล้ว $\left\{ \dfrac{f(x)}{x} \ | \ x \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \right\}$ จะเป็นเซตอนันต์ด้วย ดังนั้น $A$ เป็นเซตจำกัด

ให้ $m$ เป็นสมาชิกที่มากที่สุดของ $A$
ถ้า $m>-1$

จาก $f(x-1-f(x))=f(x)-x-1$
$f(m) = -m-2$
$m-1-f(m) = 2m+1$
ดังนั้น $2m+1 \in A$
แต่ $2m+1 > m-1+1 = m$
ซึ่งขัดแย้ง

$\therefore m \le -1$

ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่าสมาชิกที่น้อยที่สุดของ $A$ ต้องมีค่าไม่น้อยกว่า $-1$

$\therefore A = \left\{ -1 \right\}$
$f(x)-x-1=-1$

$f(x)=x$

ซึ่งแทนค่าแล้วสอดคล้องกับสมการข้างต้น