(-n)!

[poper]

ปกติเรื่องแฟคทอเรียลจะนิยามเฉพาะจำนวนเต็มบวก
และกำหนด $0!$=1
สงสัยครับว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนลบมันจะมีนิยามมั้ยครับ
เช่น $(-4)!=?$
แค่สงสัยเฉยๆนะครับ

[nooonuii]

โดยทั่วไปเราขยาย $!$ โดยใช้ Gamma function ครับ

ซึ่งจะไม่นิยามที่จำนวนเต็มลบ

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

[poper]

ขอบคุณท่าน nooonuii ครับ เดี๋ยวลองอ่านดูก่อนนะครับ

[poper]

การขยาย ! โดยใช้ Gamma function คือการขยายสู่จำนวนเชิงซ้อนใช่มั้ยครับ แต่ก็ยังไม่รวมจำนวนลบอยู่ดี

ผมลองคิดดูเล่นๆนะครับ จากที่เราหา $0!=1$ โดยวิธีนี้

$n!=n(n-1)(n-2)(n-3)....3\cdot2\cdot1$
$n!=n(n-1)!$
แทน $n=1$ จะได้ $1=0!$

$n!=n(n-1)(n-2)!$
แทน $n=1$ จะได้ $1=(-1)!$

$n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!$
แทน $n=1$ จะได้ $1=(-2)!$
.....

แบบนี้แล้วสามารถสรุปได้มั้ยครับว่า $(-n)!=1$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

[lek2554]

$n!=\prod_{k = 1}^{n}k $

แทน $n=1$

$1!=\prod_{k = 1}^{1}k=1$

[poper]

ยังไงเหรอครับ ท่าน lek2554 ผมไม่เข้าใจอ่ะครับ
เกี่ยวกับฟังก์ชันแกมมาหรือเปล่าครับ

ผมเจอในวิกิ แบบนี้ใช่ตัวเดียวกันรึป่าวครับ
$ \Pi(n) = n!\,,$

for every non-negative integer n.

[lek2554]

$n!=\prod_{k = 1}^{n}k =1 \times 2 \times 3 \times ... \times n$

ถ้าแทน $n=3$

$3!=\prod_{k = 1}^{3}k =1 \times 2 \times 3$

ถ้าแทน $n=1$ ด้านขวาก็ต้องมี $1$ ตัวเดียวสิครับ

ปล.1 เมื่อกี้ผมพิมพ์ตกหน่อยหนึ่งครับ

ปล.2 ถ้าแทนแบบท่านด้านขวาจะมี $0$ คูณอยู่ทุกครั้งครับ

[poper]

เอ่อ...จริงด้วยสินะครับ
เอาอีกแล้วผม...

[poper]

งั้นก็ไม่มีนิยามสินะครับ
เพราะว่าถ้าเราแทน $n=1$ใน $n!=n(n-1)(n-2)!$ จะได้ว่า
$1=0(-1)!$
$\therefore (-1)!=\frac{1}{0}$ ซึ่งไม่นิยาม ถูกมั้ยครับ

[lek2554]

ท่าน nooonuii บอกไว้แล้วครับ

ปล. เขียน $(-1)!=\frac{1}{0}$ ไมได้นะครับ

ไม่นิยามจะบอกกว่าเท่ากันไม่ได้

[poper]

อ้อ..ขอบคุณมากค้าบบบบ

[kongp]

เรื่องนี้กลายเป็นเรื่องของวิชา Abstract Algebra แล้วละครับ เรื่อง Operator ใหม่นี้