0 ยกกำลัง 0 ไม่นิยาม หรือว่า ไม่มีความหมาย

[zzz010307]

วันนี้

ผมได้เรียนกะอาจารย์ท่านนึง
เขาให้โจทย์มา แล้ว แก้สมการ มันได้ 0 ยกกำลัง 0

ผมก็เขียนตอบไปว่า "ไม่นิยาม"

อ. เขาให้ผิดเต็มๆ
บอกว่า ต้องตอบว่า "ไม่มีความหมาย"

พอผมถามว่า "ไม่นิยาม กับ ไม่มีความหมาย ต่างกันอย่างไร?"
อ เขาตอบว่า "ก็มันเขียนไม่เหมือนกัน มันก็ต่างกันสิ"
เล่นเอาผมงงไปเลย???

พอผมถามว่า "ทำไมคำตอบของผมถึงผิด"
อ. เขาตอบว่า "ก็มันไม่ถูก มันก็ผิดสิ"
เล่นเอาผมงงรอบสองไปเลย???

ผมคิดว่า คณิต เป็นศาสตร์ของเหตุ และผล
ซึ่งทุกอย่างย่อมต้องมีเหตุผลมารองรับ

แต่เล่นตอบมาแบบนี้ แล้วก็สรุปว่า "พอได้แล้ว ครูจะสอนต่อ"
แล้วก็สอนต่อไปเฉยเลย

ถ้า "ไม่นิยาม" เป็นคำตอบที่ผิด ก็ควรอธิบายให้ผมฟังหน่อยว่า ทำไมมันถึงผิด
สมควรมีเหตุผลมาอธิบาย ไม่ใช่ตอบว่า "เพราะมันไม่ถูก"

ขอร้อง พี่ๆ เพื่อนๆ น้องๆ ช่วยอธิบายให้ผมฟังหน่อยนะครับล
ว่าทำไม "ไม่นิยาม" จึงเป็นคำตอบที่ผิด เพราะเหตุใดครับ??

[warut]

ดูก่อนมหาบุรุษ อย่าได้ไปยึดติดกับคำพูด "ถูก" หรือ "ผิด" เลย สนใจแต่ตัว "ความรู้" จริงๆก็พอแล้ว เอา "อัตตา" เข้าปะทะกันคงไม่ทำให้เกิดประโยชน์แลความรู้อันใด อมิตพุทธ _/|\_

เอ...จะเข้าใจความหมายของผมมั้ยเนี่ย

[zzz010307]

เท่าที่เห็นนะครับ

การเรียนการสอนเดี๋ยวนี้

จะให้ครูเป็นหุ่นยนต์ ที่ตั้งโปรแกรมมาสอนเพียงอย่างเดียว
ไม่ได้ตั้งโปรแกรมให้ตอบคำถามของนักเรียน
ไม่ได้ตั้งโปรแกรมให้อธิบาย เวลานักเรียนไม่เข้าใจ

ผมล่ะเบื่อกับครูประเภทนี้จริงๆ
ตอนนี้มีเต็มประเทศไทยไปหมดแล้ว

ผมไม่แปลกใจเลยว่า ทำไมการเรียนการสอนของไทย
ถึงพัฒนาคนที่เก่งเทียบเท่าต่างชาติไม่ได้

พอหลุดจากหมอ วิศวะ ไม่มีที่ไป ก็มาเป็นครู
พวกที่เป็นครูตอนนี้ กว่า 80 % เป็นพวก"เศษเหลือ" ครับ

ผมห่วงอนาคตประเทศจริงๆเลย
เฮ้ออออออออออออ

[gon]

หมายถึง เรื่องลิมิต หรือเปล่าครับ. 0⁰ ถ้าเรียกตามตำรา คือ indeterminate form ซึ่งถ้าแปลตามพจนานุกรมคณิตศาสตร์ ของเราฉบับปี 2545 แปลว่า "รูปแบบยังไม่กำหนด" ครับ. หมายถึง ถ้าหาลิมิตแล้วก็ยังไม่แน่ว่าจะมี หรือ ไม่มีลิมิต(มั้ง)

โดยส่วนตัวผมชอบเรียกว่า " ไม่นิยาม " มากกว่า เพราะถ้ากรณีที่มันหาลิมิตได้ ผมถือว่ามันมีความหมายครับ.

ปล. อาจารย์หรือครู ทุกแห่งในโลก ก็มีทั้งมีเหตุผลและไม่มีเหตุผลครับ. มีทั้งที่ถกกันได้และถกไม่ได้ ถ้าโชคดีก็ได้ครูที่ไม่หน่ายต่อการถก ถ้ามองในแง่ดี ลองหาเวลาไปคุยหลังเลิกเรียนครับ.

ในอนาคตเราก็จะเจอครู อาจารย์ หลากหลายแบบ ครับ. ไม่มีแบบในอุดมคติที่เราอยากให้เป็นทุกคนแน่นอน อย่างในมหาวิทยาลัย อ.บางคนจุกจิกจู้จี้ จนเราแทบรับไม่ได้ก็มี ถ้ามองแล้วเป็นวัตถุประสงค์ดี เราก็น้อมรับได้ครับ. แต่มีประเภทจับผิดลูกศิษย์ก็มีครับ. เรื่องมัน Hot มาก พี่เองเจอกับตัว ตอนเรียนมหาวิทยาลัย นี่้เอง เหอ ๆ อย่าให้ said เลย

[warut]

เรื่อง 0⁰ นี่เป็นเรื่องที่คนชอบถามมากอันนึง ผมจึงขอตอบอย่างยาวสักครั้งละกัน

อย่างแรกต้องแยกเรื่อง 0⁰ คือเอา 0 มายกกำลังด้วย 0 จริงๆออกจากเรื่องของ indeterminate form: 0⁰ ก่อนนะครับ

สำหรับ indeterminate form: 0⁰ นั้นหมายถึงลิมิตที่อยู่ในรูป\[\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\]โดยที่\[\lim_{x\to a}f(x)=0
\quad\text{และ}\quad\lim_{x\to a}g(x)=0\]ซึ่งลิมิตที่อยู่ในรูปนี้อาจจะมีค่าเป็นอะไรก็ได้หรืออาจจะหาค่าไม่ได้เลยก็ได้ เราไม่รู้จนกว่าจะคำนวณออกมาจริงๆ นั่นคือเหตุผลว่าทำไมเราถึงเรียกมันว่า "indeterminate"

สำหรับเรื่อง 0 ยกกำลัง 0 จริงๆนั้น เราถือกันว่าไม่นิยามครับ (ก็คล้ายๆกับเรื่อง 1/0 นั่นแหละ) ซึ่งนั่นก็ทำให้มันไม่มีความหมายอันใดที่จะถามว่ามันมีค่าเท่ากับเท่าไหร่

[TOP]

ใช่แล้วครับ 0⁰ จริงๆ กับ 0⁰ ที่เป็น indeterminate form แตกต่างกันอย่างที่คุณ warut ได้อธิบายไว้

อย่างไรก็ตาม แม้ว่า 0⁰ จริงๆจะไม่นิยาม แต่ก็มีนักคณิตศาสตร์และผู้ที่เกี่ยวข้องทั้งหลาย อยากจะเชื่อว่า 0⁰ = 1 เพราะอะไรนะหรือ เรามาดูความเห็นเหล่านี้กันดีกว่า

• เนื่องจาก \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^0 = 1\ } \) (ตรงจุดนี้ต้องระวังให้ดีครับ เพราะค่าของฟังก์ชันและลิมิตของฟังก์ชัน ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าเดียวกัน นอกจากนี้หากจะกำหนดจากลิมิตอย่างเดียว มันยังมีได้หลายค่า ยกตัวอย่างเช่น \( f(x) = e^{-1/x} \) และ \( g(x) = x \) แล้ว \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 }\) แต่ \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f(x)^{g(x)} = \frac{1}{e} \neq 1 } \))
• จากหนังสือ Concrete Mathematics (เล่มเดียวกับในหน้าแนะนำหนังสือ) หน้า 162 เขียนไว้ว่า (คำแปล)
  
  " หนังสือหลายเล่มกำหนดไว้ว่า 0⁰ ไม่นิยาม เพราะว่า \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0} x^0 \neq \lim_{x \to 0} 0^x } \) ซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่ถูกต้อง เราต้องนิยามว่า x⁰ = 1 สำหรับทุกจำนวนจริง x เนื่องจาก จะให้ผลตรงกับทฤษฏีบททวินาม เมื่อ x=0,y=0 หรือ x=-y ( (x+y)⁰ = 1x⁰y⁰ ) ทฤษฏีบททวินามมีความสำคัญมาก ซะจนไม่ควรจะมีข้อจำกัดในเรื่องนี้ ในทางตรงข้ามฟังก์ชัน 0^x ไม่มีความสำคัญเอาซะเลย "
• หากใครต้องการให้ทฤษฎีบททวินาม \( \displaystyle{ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k y^{n-k} } \) เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ จะต้องเชื่อว่า 0⁰ = 1 เพราะเมื่อเราแทนค่า x=0 และ y=1 ลงไป เราจะได้ ทางด้านซ้ายมือเป็น 1 และทางด้านขวามือเป็น 0⁰
• จำนวนการ mapping จากเซ็ตว่างไปยังเซ็ตว่าง คือ 0⁰ และเป็นสาเหตุให้มันควรจะมีค่าเป็น 1

อ้างอิงจาก Frequently Asked Questions in Mathematics

[warut]

ตอนที่ผมตอบก็คิดอยู่เหมือนกันครับว่าจะพูดเรื่องแนวคิดเกี่ยวกับการนิยามให้ 0⁰ = 1 จริงๆพิมพ์ไปตั้งเยอะแล้วด้วย แต่เปลี่ยนใจลบทิ้งครับ เพราะเกรงว่าจะทำให้สับสนเพิ่มขึ้น ถ้าผมจำไม่ผิด...นานแสนนานมาแล้วผมเคยเอ่ยถึงเรื่อง 0⁰ = 1 อย่างสั้นๆไว้ในบอร์ดแห่งนี้มาครั้งนึงแล้วด้วย

[zzz010307]

ขอถามอะไรอีกสักนิดนะครับ

(a + 2b - 1/2(2a+4b))0

พวกพี่ๆจะตอบว่าไงครับ?

[zzz010307]

ขอถามอีกนิดนะครับ

(a+2b - 1/2(2a+4b)) ทั้งหมดยกกำลัง 0 ครับ

พวกพี่ๆจะตอบว่าอย่างไรเหรอครับ?

[TOP]

จริงๆแล้วผมอยากจะตอบว่า ไม่ทราบ มากกว่าครับ หากเป็นกรณีของการหารด้วย 0 จะพบว่าเราไม่สามารถกำหนดค่าอะไรให้กับมันได้เลย เพราะจะทำให้เกิดข้อขัดแย้งเต็มไปหมด แต่สำหรับกรณีของ 0⁰ ผมก็ไม่แน่ใจว่า หากกำหนดค่า 1 ให้กับมันไปเลย จะทำให้เกิดข้อขัดแย้งอะไรขึ้นมารึเปล่า (แต่ถึงจะกำหนดค่าให้มัน ผมก็ยังไม่รู้อยู่ดีว่า 0⁰ คืออะไร)

แต่หากต้องตอบในข้อสอบ ก็ตอบว่า ไม่มีความหมาย (เพราะมันไม่มีความหมาย จึงไม่นิยาม มิใช่ว่า ไม่นิยาม แล้วมันจึงไม่มีความหมาย )

[bell18]

ขอตอบตามความเห็นดังนี้ครับ
ปกติแล้ว ถ้า 10/2 = 5 ก็จะได้ว่า 10 = 2ด5
แต่ถ้า 1/0 = a ก็จะได้ว่า 1 = 0ดa
แต่เราไม่สามารถหาค่าของ a ได้จากสมการนี้
ดังนั้น 1/0 จึงไม่สามารถหาค่าได้หรือหาค่าไม่ได้
คราวนี้ถ้าเป็น 0/0 = b ก็จะได้ว่า 0 = 0ดb
อันนี้จะได้ b เป็นจำนวนจริงใดๆก็ได้
ดังนั้น 0/0 จึงไม่ทราบว่าจะมีค่าเท่ากับเท่าใดจึงตอบว่าไม่มีนิยามครับ
แต่สังเกตว่าในทางคณิตศาสตร์ เวลาที่มี a/b ทีไร
เค้าก็จะเขียนไว้เสมอว่า b น 0 เพราะมันจะหาค่าไม่ได้
หรือเค้าไม่มีนิยามเอาไว้นั่นเอง
สรุปก็คือ จะหาค่าไม่ได้หรือไม่มีนิยาม ก็น่าจะเป็นอันเดียวกันครับ
เป็นเพียงความเห็นส่วนตัวนะครับ แต่ถ้าผมเป็นครู ผมไม่ซีเรียสเรื่องนี้เลย
เพราะจะตอบอย่างไรก็ถือว่านักเรียนคนนั้นเข้าใจถูกแล้วว่าเป็น 0/0 หรือ 0^{}0
อันนี้ดูจากโจทย์คำถามที่ให้มาก็คงคิดว่าคนออกข้อสอบเจตนาให้เราคิดได้ว่า
มันมีค่าเท่ากับ 0/0 และ 0^{}0 แต่จะตอบอย่างไรก็คงไม่น่าจะมีปัญหายืดเยื้อ
ขนาดนี้ ครูในโรงเรียนเดี๋ยวนี้ ประมาณ 80 เปอร์เซ็นต์ ไม่มีคุณภาพ และ
ไม่มีความรู้ไม่เพียงพอที่จะสอนเด็กให้เก่งขึ้นได้!!! เห็นกันอยู่แล้วว่าเด็กที่เก่ง
เค้าเก่งด้วยตัวเอง เค้าขยันทำโจทย์ เค้าตั้งใจ ไม่อย่างนั้นทำไมครูคนเดียวกัน
ถึงสอนเด็กในห้องเดียวกันมีทั้งเกรด0ถึง4 ล่ะครับ

[zzz010307]

เอ่อ

คราวนี้ช่วยอธิบายคำพูดของพี่หน่อยนะครับ
ไอ้ที่ว่า "เพราะมันไม่มีความหมาย มันจึงไม่นิยาม" น่ะครับ

เท่าที่ผมทราบมาครับ

"ความหมายทางคณิตศาสตร์" เกิดขึ้นจาก อนิยาม สัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบท

ดังนั้น การที่ระบบคณิตศาสตร์จะมีความหมายขึ้นมาได้ เราก็ต้องนิยามความหมายขึ้นมาก่อน
ใช่หรือเปล่าครับ?

ดังนั้น คำพูดที่น่าจะถูก ก็ควรจะบอกว่า เพราะไม่นิยาม จึงไม่มีความหมาย

ถ้าเราบอกว่า ไม่มีความหมาย ก็ไม่ได้หมายความว่า "มีความหมายไม่ได้" นี่ครับ มันแค่"ไม่มี"เฉยๆ ซึ่งในอนาคต อาจจะมีคนนิยามความหมายของมันขึ้นมาก็ได้
ไม่รู้เข้าใจถูกรึเปล่านะครับ

แต่ถ้าเกิดบอกว่า มัน "ไม่นิยาม" ก็คือ มันห้ามมีความหมาย หรือมีความหมายไม่ได้
อย่างนี้ถูกต้องไหมครับ? ช่วยอธิบายให้ทีครับ

[TOP]

พี่หมายความว่า เมื่อมนุษย์เราค้นพบความหมายใหม่ ข้อห้าม หรือข้อยกเว้นในเรื่องที่ตนเคยรู้ เราจึงไปเปลี่ยนนิยาม ให้มันสอดคล้องกับสิ่งที่เราค้นพบ นิยามตามความหมายของพี่นั้นคือ นำสิ่งที่เราคิดว่ารู้เรื่องนั้นเป็นอย่างดีแล้ว มากำหนดให้เป็นหลักการที่แน่นอน หรือนิยามถูกกำหนดขึ้นมาภายหลัง

หากจะมองเป็นเกม นิยาม ก็คือข้อตกลงร่วมกันหรือกติกาอย่างหนึ่ง หากภายหลังพบว่า กติกาข้อนั้นขัดแย้งกับกติกาข้ออื่น และเรายังอยากใช้กติกาข้อนี้ เราอาจแก้ไขได้ด้วยการใส่ข้อยกเว้นของกติกาข้อนี้ลงไป

เมื่อนำกติกาเหล่านี้ไปใช้ในเกม และพบกับเหตุการณ์ที่ต้องการคำชี้ขาด จะเลือกตอบเหตุผลที่ใช้กำหนดกติกาข้อนั้นขึ้นมา หรือจะเลือกอ้างจากกติกาข้อนั้น ก็แล้วแต่ความเห็นของแต่ละคนครับ หากอ้างจากกติกาก็จะเข้ากับเกมมากกว่า แต่หากอ้างจากเหตุผลที่ใช้กำหนดกติกา ก็จะเป็นตัวเหตุผลจริงๆ