Algebra : linear transformation

[B บ ....]

ช่วยพิสูจน์ทีครับ จนปัญญาแล้ว พยายามคิดแล้ว งง
-Let V be a finite-dimensional vector space,and let T: V$\rightarrow $V
Prove that $V=R(T^k) \oplus N(T^k)$ for some integers k,
where $\oplus $ denote direct sum,R(T) denote range of T and N(T) denotes null space of T
-Let V be a vector space. Determine all linear transformation T : V $\rightarrow $ V
such that $T=T^2$ (Hint : notice that x = T(x) + (x-T(x)) for all x in V and
show that V={$y|T(y)=y$} $ \oplus N(T)$$(hint มันเอาไปใ้อะไรอ่ะครับ งง )

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

-Let $V$ be a finite-dimensional vector space,and let $T: V\rightarrow V$
Prove that $V=R(T^k) \oplus N(T^k)$ for some integer $k$,
where $\oplus$ denote direct sum, $R(T)$ denote range of $T$ and $N(T)$ denote null space of $T$

-Let $V$ be a vector space. Determine all linear transformation $T : V \rightarrow V$
such that $T=T^2$ (Hint : notice that $x = T(x) + (x-T(x))$ for all $x \in V$ and
show that $V={y|T(y)=y}$ \oplus N(T)$

ข้อแรกพิสูจน์ว่า

$R(T)\supseteq R(T^2)\supseteq R(T^3)\supseteq\cdots$ และ $N(T)\subseteq N(T^2)\subseteq \cdots$

เนื่องจาก $V$ เป็น finite-dimensional vector space จะต้องมีบาง $k$ ที่ทำให้

$R(T^k)=R(T^{k+1})$ และ $N(T^k)=N(T^{k+1})$ เพราะ dimension ของสองอย่างนี้ไม่เกิน dimension ของ $V$ (เป็นสมบัติของจำนวนเต็มบวก)

ที่เหลือก็แค่พิสูจน์ตามที่โจทย์กำหนดครับ

ข้อสอง เหมือนข้อแรกใช้ไอเดียเดียวกัน พิสูจน์ว่า $T^2=T$ ก็ต่อเมื่อ $V=R(T)\oplus N(T)$

จริงๆแล้วโจทย์ข้อสองน่าจะมาก่อนข้อแรก

[B บ ....]

ข้อแรก งงๆ นิดนึงอ่ะครับ คือ $R(T^k)=R(T^{k+1})$ และ $N(T^k)=N(T^{k+1})$ เพราะ dimension ของสองอย่างนี้ไม่เกิน dimension ของ V (เป็นสมบัติของจำนวนเต็มบวก) เป็นผลมาจาก $R(T)⊇R(T^2)⊇R(T^3)⊇··· และ N(T)⊆N(T^2)⊆···$ $หรอครับ หรือ เป็นผลมาจากสมบัติของจำนวนเต็มบวก(เห็นวงเล็บไว้ : มันคือสมบัติอะไรของจำนวนเต็มบวกหรอครับ งง ไม่เคยเห้นมาก่อนเลย)

[B บ ....]

แล้วพอ ได้ว่า $R(T^k)=R(T^{k+1})$ และ $N(T^k)=N(T^{k+1})$ เอาไปใช้พิสูจน์ Direct sum ไงอ่ะครับ คือ ที่ผมเคยคิดไว้คร่าวๆ ถ้าเราแสดงได้ว่า $R(T^k) \cap N(T^k)$ = {0} จะได้ต่อมาจาก Dimension Theorem เลยว่า V = $R(T^k) + N(T^k) $ แล้วก็สรุปได้ว่า V = direct sum ของ $R(T^k)$ กับ $ N(T^k) $

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

ข้อแรก งงๆ นิดนึงอ่ะครับ คือ $R(T^k)=R(T^{k+1})$ และ

$N(T^k)=N(T^{k+1})$ เพราะ dimension ของสองอย่างนี้ไม่เกิน dimension ของ V (เป็นสมบัติของ

จำนวนเต็มบวก) เป็นผลมาจาก $R(T)⊇R(T^2)⊇R(T^3)⊇··· และ N(T)⊆N(T^2)⊆···$ $หรอ

ครับ หรือ เป็นผลมาจากสมบัติของจำนวนเต็มบวก(เห็นวงเล็บไว้ : มันคือสมบัติอะไรของจำนวนเต็มบวกหรอครับ งง ไม่เคยเห้นมาก่อนเลย)

เขาเรียก well-ordering principle ครับ ทุกสับเซตของจำนวนเต็มบวกรวมศูนย์ จะมีสมาชิกน้อยสุด

การที่ $R(T)⊇R(T^2)⊇R(T^3)⊇···$

จะเห็นว่า dimension ของแต่ละเซตจะลดลงหรือคงที่

ดังนั้น จะมีบางค่า $k_1$ ที่ทำให้ dimension คงที่

แต่ถ้า $dim R(T^K)=dim R(T^{k+1})$ จะบังคับว่า

$R(T^k)=R(T^{k+1})$ ด้วยเพราะมีเซตนึงเป็นสับเซตของอีกเซตนึงอยู่

ถ้า dimension เท่ากันก็แสดงว่าจะต้องเป็นเซตเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน $N(T)⊆N(T^2)⊆···$ จะบอกว่า dimension ของแต่ละเซตเพิ่มขึ้น

แต่ไม่ได้เพิ่มขึ้นตลอดเนื่องจากมีเพดานอยู่ทืี่ $dim V$

ดังนั้นจะต้องมีบาง $k_2$ ที่ทำให้ dimension คงที่

เราสามารถเลือก $k=\max\{k_1,k_2\}$ เพื่อทำให้เงื่อนไขทุกอย่างที่ผมเขียนไว้เป็นจริง

[B บ ....]

อ้อ ขอบคุณมากๆครับ พอเข้าใจมากขึ้นบาง มีการเลือก max ด้วย ออกแนว analysis จัง -*-

[nooonuii]

#4 ที่คิดไว้ถูกแล้วครับ