ข้อสอบประกายกุหลาบที่สอบวันที่ 10 ม.ค. 2553

[banker]

ตอนที่ 1 ปรนัยเลือกตอบ ข้อ 8



ข้อ2

461, 811, 943, 1199

[banker]

ข้อนี้ไม่แน่ใจ

1. ถ้า a เป็นจำนวนเต็มลบ ค.ร.น. ของ a เป็นบวก

2. ผลคูณของ ค.ร.น กับ ห.ร.น. เท่ากับ ab เสมอ ไม่น่าถูก เพราะถ้าจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็มลบ ก็ไม่เท่ากันแล้า

3. ถ้า a, b เป็นจำนวนเต็ม เราก็น่าจะหา ห.ร.ม. ได้เสมอ มันก็ถูก แต่ถึงไม่เป็นจำนวนเต็ม เช่น เป็นเศษส่วน ก็หา ห.ร.ม. ได้

4. ข้อนี้ก็น่าจะถูก
ไม่ว่า a = 0 หรือติดลบ ห.ร.ม. ก็น่าจะเป็น 1 เสมอ

[No.Name]

7.จงหาเลข 3 หลักสุดท้ายของ $7^{2553}$

$7^4 \equiv 401 \pmod{1000} $

$7^8 \equiv 801 \pmod{1000} $

$7^{16} \equiv 601 \pmod{1000} $

$7^{32} \equiv 201 \pmod{1000}$

$7^{40} \equiv 001 \pmod{1000}$

$7^{2553} \equiv 7^{33} \pmod{1000} $

$7^{33} \equiv 201 \cdot 7 \equiv 407 \pmod{1000} $

เพราะฉะนั้นเลข 3 หลักสุดท้ายของ $7^{2553}$ คือ 407

[กิตติ]

ข้อ8....น่าจะมีหลายคำตอบ


ผมลองแบ่งเป็นกลุ่มละ 400 ก่อน 5 กลุ่มเหลืออีก 25 เอาเลขมาเรียงกันห้าตัวได้คือ $3+4+5+6+7$ จะได้อีกชุดคือ
$403,404,405,406,407$

เดี๋ยวลองหาดูว่ามันมีรูปแบบการหาคำตอบได้ยังไงบ้าง เพราะโจทย์กำหนดไว้กว้างมากคือ ตัวเลขอย่างน้อย 2 ตัว คงต้องหาให้ออกก่อนว่า มากที่สุดได้กี่จำนวนที่เรียงกัน

[No.Name]

16.ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีมุม ABC เป็นมุมฉากและมีมุม BAC ขนาด$ \theta$จงหามุม ACB และกำหนดสมการ

$\dfrac{54}{\sqrt{3}}+6\tan^2 \theta-18\tan \theta-6\sqrt{3}\sin \theta \sec \theta =0 \tan 0$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม

$\dfrac{54}{\sqrt{3}}+6\tan^2 \theta-18\tan \theta-6\sqrt{3}\sin \theta \sec \theta=\dfrac{54}{\sqrt{3}}+6\tan^2 \theta-18\tan \theta-6\sqrt{3}\tan \theta $

$\dfrac{54}{\sqrt{3}}+6\tan^2 \theta-18\tan \theta-6\sqrt{3}\tan \theta =0$

$\tan^2 \theta-(3+\sqrt{3})\tan \theta+3\sqrt{3}=0$

$\left(\,\tan \theta-3\right) \left(\,\tan \theta-\sqrt{3}\right)=0$

จะได้ $\tan \theta=\sqrt{3}$

จะได้ว่า $\theta=60$

เพราะฉะนั้น มุม ACB=30

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณ NoNameที่เข้ามาช่วยกันเฉลย....เชิญเลือกตามสบายเลยครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ขอบคุณมากครับคุณ NoNameที่เข้ามาช่วยกันเฉลย....เชิญเลือกตามสบายเลยครับ

ต้องขอบคุณ คุณกิตติ มากกว่านะครับ เพราะถ้าคุณกิตติไม่มาเฉลยเลยผมก็คงไม่ได้เห็นหรอกครับ

แล้วอีกอย่างต้องขอบคุณ คนที่เขาให้ข้อสอบครับ ขอบคุณมากๆครับ


คุณกิตติเป็นหมอใช่หรือเปล่าครับ อยากปรึกษาอะไรหน่อยน่ะครับ

[กิตติ]

มีอะไรที่ผมพอช่วยได้ก็ส่งมาคุยกันทางPM ข้อความส่วนตัวได้ครับ

[No.Name]

15.กำหนด $\sin^3 \theta-\sin^2 \theta-\dfrac{29}{4}\sin \theta+3.75=0$ ถ้าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ด้าน AB//DC มุม ADC กาง $\theta$ จงหาขนาดของมุม BAD

$\sin^3 \theta-\sin^2 \theta-\dfrac{29}{4}\sin \theta+3.75=4\sin^3 \theta-4\sin^2 \theta-29\sin \theta+15$

$\left(\,2\sin \theta-1\right) \left(\,2\sin^2-\sin-15\right)=0$

$(2\sin \theta-1)(2\sin \theta+5)(\sin \theta -3)=0$

$\sin \therefore =\dfrac{1}{2}$

$\theta=30$

$\therefore BAD=150$

[กิตติ]

ข้อ8...ผมลองทำได้จำนวนเรียงกันมากที่สุดคือ $45$ พจน์
คือ $23,24,25,....,67$ กำลังเช็คเงื่อนไขอยู่ น่าจะยังมีคำตอบอื่นอีก เดี๋ยวทำเสร็จจะเอามาลงให้ดูครับ กำลังมึนๆ

ได้แล้วครับ $54$ พจน์เป็นจำนวนพจน์ที่มากที่สุดที่หาได้ครับ...
คือ$11,12,13,...,63,64$ผมว่าโจทย์ข้อนี้ทะแม่งๆแต่แรกแล้ว
ให้$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+n-1)=2025$....มีพจน์เรียงกัน $n$ พจน์
$nx+(1+2+3+...+n-1)=2025$
$nx+\frac{n(n-1)}{2}=2025 $
$n^2+2nx-n=4050$
$2x-1=\frac{4050}{n}-n $
เราจะได้ว่าค่าของ$n$ คือตัวประกอบของ $4050$ เท่ากับ $2\times 5^2\times 3^4$
ลองดูตัวประกอบตั้งแต่$45,54,81$ จะได้ว่าตัวประกอบของ$4050$ ที่มีค่ามากกว่า $81$ จะทำให้ค่าของ$\frac{4050}{n}-n $ น้อยกว่าศูนย์ ค่า$x$ ที่น้อยที่สุดคือ$1$ ดังนั้นค่าของ $2x-1$ น้อยที่สุดคือ $1$
สำหรับค่า$54$ เป็นค่ามากที่สุดที่ใช้ได้
อ่านโจทย์แล้วก็งงว่าจะถามอะไรกันแน่.....ผมว่าข้อนี้น่าจะตอบว่ามีจำนวนชุดตัวเลขดังนี้
3 พจน์.....พจน์แรกคือ $674$
5 พจน์.....พจน์แรกคือ $403$
6 พจน์.....พจน์แรกคือ $335$
9 พจน์.....พจน์แรกคือ $221$
10 พจน์.....พจน์แรกคือ $198$
15 พจน์.....พจน์แรกคือ $128$
18 พจน์.....พจน์แรกคือ $113$
27 พจน์.....พจน์แรกคือ $62$
30 พจน์.....พจน์แรกคือ $53$
45 พจน์.....พจน์แรกคือ $23$
50 พจน์.....พจน์แรกคือ $16$
54 พจน์.....พจน์แรกคือ $11$
จำนวนคำตอบคือ จำนวนนับที่เป็นตัวประกอบของ$4050$ ที่มีค่ามากกว่า$2$ แต่น้อยกว่า$54$
พจน์สุดท้ายเท่ากับ $พจน์แรก+จำนวนพจน์ที่เรียง-1$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

จากชัยบาดาลมาเพชรบุรีก็ไม่ไกลกันมากนะครับ ครึ่งวันกว่า ๆ เอง กลับลำปางก็วันหนึ่งเท่านั้นเอง

ถ้าได้ผ่านไปทางเพชร คงขอโอกาสพบปะตัวพี่เล็กด้วยครับ...ปกติผมลางานได้เต็มที่ไม่เกิน 4 วันครับ
หวังว่ายามไปแวะเยี่ยมเยือนพี่เล็ก คงไม่รบกวนเวลาของพี่นะครับ

[banker]

ตอนที่3 อัตนัยเติมคำตอบ ข้อ 9



$ = \dfrac{xyy^x - y^2 \cdot y^x}{yy^x \sqrt{(\sqrt{x} -\sqrt{y} )^2} } + \dfrac{x^{\frac{3}{2}}y}{x^{\frac{3}{2}}} - \dfrac{y(x+y)}{x+y}$

$ = \dfrac{yy^x(x-y)}{yy^x (\sqrt{x} -\sqrt{y} )} +y - y$

$ = \dfrac{(\sqrt{x} +\sqrt{y} )(\sqrt{x} -\sqrt{y} )}{\sqrt{x} -\sqrt{y} } $

$ = \sqrt{x} +\sqrt{y}$

[banker]

ตอนที่ 2 อัตนัยเติมคำตอบ ข้อ 17





$tan(a^{\circ} +b^{\circ} ) = \dfrac{tan a^\circ +tan b^\circ }{1- tana^\circ tan b^\circ }$

$\dfrac{t}{180} = \dfrac{\dfrac{t}{450}+ \dfrac{t}{300}}{1 - \dfrac{t}{450} \cdot \dfrac{t}{300}}$

$\dfrac{t}{180} = \dfrac{750t}{450 \cdot 300 - t^2}$

$ t^2 = 0$

ผิดพลาดตรงไหนหว่า? หรือว่าผิดตรงหนูกุ๊กกิ๊กมองยอดตึกอยู่ดีๆ สุดท้ายไปมองเสาธงเสียนี่ !

[Amankris]

#39
แปลกๆนะครับ ตรง $32=112_3$

#47
ให้เหตุผลตัวเลือกที่ 3 แบบนั้นไม่ได้นะครับ

#48
คูณเลขผิดครับ

#54
$\theta=150^\circ$ ได้นะครับ

#55
โจทย์ให้หาจำนวนชุดคำตอบครับ (ในที่นี้คือจำนวนชุด $(x,n)$)

#58
เห็นด้วยครับ - -"

[banker]

$a, b \ $เป็นรากของสมการจะได้

$a+b =- \frac{3}{2}$

$ab = -5$

$a^2+b^2 = 12 \frac{1}{4} = \frac{49}{4}$

$a^2 + 2ab+b^2 = \frac{9}{4}$

$a^2 -ab+b^2 = 17\frac{1}{4} = \frac{69}{4}$

$a^2 +ab+b^2 = 7\frac{1}{4} = \frac{29}{4}$

$a^3 + b^3 = \frac{87}{8}$

$a^3 +ab + b^3 = \frac{47}{8}$

$\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{a^2-ab+b^2}{a^3+ab+b^3} - \dfrac{537}{2726} $

$\dfrac{\frac{87}{8}}{\frac{29}{4}} + \dfrac{\frac{69}{4}}{\frac{47}{8}} - \dfrac{537}{2726}= \dfrac{15}{7} - \dfrac{537}{2726} = \dfrac{37131}{19082}$


ตัวเลขไม่สวย ผิดหรือเปล่า?