IWYMIC 2011 บาหลี indonesia

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -[S]ycoraX-

ช่วยอธิบายวิธีคิิดหน่อยได้รึเปล่าครับ ขอบคุณครับ

ลองอ่านดูครับ.

[-[S]ycoraX-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ลองอ่านดูครับ.

ขอบพระคุณมากๆครับ

[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อ 3 Individual
ให้ A =1!x2!x3!x4!x5!x6!x7!x ........x2011!x2012!
จัดรูปและจัดกลุ่มใหม่ได้
A =(1!x2!)x(3!x4!)x(5!x6!)x(7!x8!)x....x(2011!x2012!)
=$(1!)^2(2)x(3!)^2(4)x(5!)^2x(6)x(7!)^2(8)x.....x(2011!)^2(2012)$
=(2x4x6x8x.......x2012)x$(1!x3!x5!x7!x.....x2011!)^2$
=$2^{1006}$x(1x2x3x4x....x1006)x$(1!x3!x5!x7!x.....x2011!)^2$
=$2^{503x2}$x(1006!)x$(1!x3!x5!x7!x.....x2011!)^{2}$

ดังนั้น คำตอบที่ต้องการคือ 1006!

[ทิดมี สึกใหม่]

[quote=banker;122227]

ตัวหมากรุกวางบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 x 1 ไม่จำกัดขนาดของกระดาน
การเดินของตัวหมากรุกตามกฏดังนี้
1. ครั้งแรก ตัวหมากรุกเดินขึ้นเหนือ 1 ช่อง
2. ตัวที่อยู่ตำแหน่งคี่ขึ้นเหนือหรือลงใต้ ตัวที่อยู่ตำแหน่งคู่ เดินตะวันออก-ตะวันตก
3. ในการเดินครั้งที่ n ตัวหมากรุกเดินเป็นระยะทาง n ช่องในทิศทางเดียวกัน

ตัวหมากรุก เดิน 12 ครั้ง ทำให้ระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางของจุดเริ่มต้น และช่องสุดท้าย เล็กที่สุด
ระยะทางที่น้อยที่สุดเท่ากับเท่าไร

ขออนุญาต อธิบายความครับ

เดินครั้งแรก = 1 ช่อง ครั้งที่ 2 =2 ช่อง ครั้งที่ 3 = 3 ช่อง ...... ครั้งที่ n = n ช่อง
ต้องการให้เดินครบครั้งที่ 12 แล้ว ให้อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางมากที่สุด มีหลักการดังนี้.-
(1) ถ้าให้ y = จำนวนช่องของทิศเหนือและใต้ จะต้องให้ผลรวมของการเดินขึ้นทิศเหนือ (กำหนดให้เป็น +) และการเดินลงทิศใต้ (กำหนดเป็น -) มีค่าเข้าใกล้ศูนย์มากที่สุด
(2) ถ้าให้ x = จำนวนช่องของทิศตะวันออกและตะวันตก จะต้องให้ผลรวมของการเดินไปทิศตะวันออก (กำหนดให้เป็น +) และการเดินไปทิศตะวันตก (กำหนดเป็น -) มีค่าเข้าใกล้ศูนย์มากที่สุด
(3) ให้ y = 1*3*5*7*9*11 (เนื่องจากโจทย์กำหนดครั้งแรก ไปด้านทิศเหนือ) โดย * แทนด้วย - หรือ +
ข้อสังเกตุ 1+3+5+7+9+11=36
ดังนั้น เพื่อให้อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางมากที่สุด ของการเดินขึ้นเหนือลงใต้ จะต้องเดินขึ้นเหนือ หรือลงใต้ ใกล้เคียงกับ 36/2 = 18 มากที่สุด จะได้
จากข้อสังเกตุ เราสามารถแบ่งเดินขึ้นเหนือ = 18 และ ใต้ = 18 ได้ ดังนั้น

y = 1 +3 + 5 -7 +9 -11 = 0 (หมายความว่า การเดินขึ้นเหนือลงใต้ สามารถกำหนดให้อยู่ที่ ศูนย์กลางได้)



(4) ให้ x = *2*4*6*8*10*12 โดย * แทนด้วย - หรือ +
ข้อสังเกตุ 2+4+6+8+10+12=42
ดังนั้น เพื่อให้อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางมากที่สุด ของการเดินตะวันออกหรือตก ใกล้เคียงกับ 42/2 = 21 มากที่สุด
แต่ปัญหาที่เกิดขึ้น คือ ผลบวกของเลขคู่ใด ๆ ไม่เท่ากับ 21 จึงเลือกค่าใกล้เคียงที่สุดได้ 20 และ 22 ได้ 2 วิธี คือ

x = 2 +4 +6 +8 -10 -12 = -2 (ตะวันตก)
หรือ x = -2 -4 -6 -8 +10 +12 = 2 (ตะวันออก)

ดังนั้น คำตอบข้อนี้ จึงอยู่ห่างจากศูนย์กลาง = 2 cm (ออกหรือตกก็ได้)


อ้างอิงคำตอบที่ http://www.imc2012.org.tw/default.asp?Page=problem

[ทิดมี สึกใหม่]

Team 10
Arie, Bert and Caroline are given the positive integers a, b and c respectively.
Each knows only his or her own number. They are told that $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 , and are
asked the following two questions:
(a) Do you know the value of a+b+c ?
(b) Do you know the values of a, b and c?
Arie answers “No” to both questions. Upon hearing that, Bert answers “Yes” to
the first question and “No” to the second. Caroline has heard everything so far.
How does she answer these two questions?

Solution หลักการ (ก) หา set ของ (a,b,c,a+b+c) ทั้งหมด (ข) หาค่าของ (a,b,c,a+b+c) ที่สัมพันธ์กับเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด

หา set ของ (a,b,c,a+b+c)
(1) กรณี a = 1 จะได้ $\frac{1}{1} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 0 (ขัดแย้งโจทย์กำหนด a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก)

(2) กรณี a = 2 จะได้ $\frac{1}{2} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{1}{2}$ และ ทำให้ $b=\frac{2c}{c-2}$
แสดงว่า $ c > 2 $ จะได้คู่อันดับ (b,c)=[(6,3),(4,4),(3,6)]
และ (a,b,c,a+b+c)=[(2,6,3,11),(2,4,4,10),(2,3,6,11)]


(3) กรณี a = 3 จะได้ $\frac{1}{3} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{2}{3}$ และ ทำให้ $b=\frac{3c}{2c-3}$
แสดงว่า $ c > 1.5 $ จะได้คู่อันดับ (b,c)=[(6,2),(3,3),(2,6)]
และ (a,b,c,a+b+c)=[(3,6,2,11),(3,3,3,9),(3,2,6,11)]


(4) กรณี a = 4 จะได้ $\frac{1}{4} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{3}{4}$ และ ทำให้ $b=\frac{4c}{3c-4}$
แสดงว่า $ c > 1.33 $ จะได้คู่อันดับ (b,c)=[(4,2),(2,4)]
และ (a,b,c,a+b+c)=[(4,4,2,10),(4,2,4,10)]


(5) กรณี a = 5 จะได้ $\frac{1}{5} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{4}{5}$ และ ทำให้ $b=\frac{5c}{4c-5}$
แสดงว่า $ c > 1.25 $ ทำให้ b,c ไม่เป็นจำนวนเต็ม

(6) กรณี a = 6 จะได้ $\frac{1}{6} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ = 1 ทำให้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =\frac{5}{6}$ และ ทำให้ $b=\frac{6c}{5c-6}$
แสดงว่า $ c > 1.20 $ จะได้คู่อันดับ (b,c)=[(3,2),(2,3)]
และ (a,b,c,a+b+c)=[(6,3,2,11),(6,2,3,11)]

(6) กรณี a > 6 ทำให้ b,c ไม่เป็นจำนวนเต็ม

หาค่าของ (a,b,c,a+b+c) ที่สัมพันธ์กับเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด
ให้ Arie =a , Bert =b , Caroline = c
set ของ (a,b,c,a+b+c) =[(2,6,3,11),(2,4,4,10),(2,3,6,11),(3,6,2,11),(3,3,3,9),(3,2,6,11),(4,4,2,10),(4,2,4,10),(6,3,2,11),(6,2,3,11)] .......(1)

หลังจาก Arie ตอบ
a+b+c = ไม่รู้ ให้หาความสัมพันธ์ (a,a+b+c)=[(2,11),(2,10),(3,9),(3,11),(4,10),(6,11)]
แสดงว่าเลขของ Arie ไม่ใช่ 4 และ 6 {มีคำตอบเดียว}

==>> set ของ (a,b,c,a+b+c) เหลือพิจารณา =[(2,6,3,11),(2,4,4,10),(2,3,6,11),(3,6,2,11),(3,3,3,9),(3,2,6,11)] ........(2)
ค่า a,b,c = ไม่รู้

หลังจาก Bert ตอบ
a+b+c = รู้ แสดงว่า a+b+c = 10 หรือ 9 เท่านั้น
==>> set ของ (a,b,c,a+b+c) เหลือพิจารณา =[(2,4,4,10),(3,3,3,9)] ........(3)
[/color][/i] ค่า a,b,c = ไม่รู้
เหตุผลที่บอกไม่รู้ เพราะไม่แน่ใจว่า Arie = 2 หรือ 4 {(2,4,4,10) หรือ (4,4,2,10)}

หลังจากได้ยินทั้งสองคนตอบแล้ว
จาก (3)
ถ้า Caroline=3 ค่า a+b+c=9 ค่าเดียว
ถ้า Caroline=4 ค่า a+b+c=10 ค่าเดียว

Caroline ต้องตอบ รู้ ค่า a+b+c
ถ้า Caroline=3 ค่า (a,b)=(2,4) ค่าเดียว
ถ้า Caroline=4 ค่า (a,b)=(3,3) ค่าเดียว
Caroline ต้องตอบ รู้ ค่า a,b ,c

[ทิดมี สึกใหม่]

กำหนดให้ Gate A ยาว = a , Gate B ยาว = b และ Gate C ยาว = c
ขณะที่ A และ C ปิด จะได้ a+c = 13 ....(1)
ขณะที่ A และ B ปิด จะได้ a+b = 15 ....(2)
ขณะที่ B และ C ปิด จะได้ b+c = 14 ....(3)

ดังนั้น a+b+c = 21 (4)
(4)-(1) ได้ b=8
(4)-(2) ได้ c=6
(4)-(3) ได้ a=7

[math ninja]

ข้อ 2 ตอบ 6
ข้อ 4 ตอบ 250
ข้อ 8 ตอบ 60
ใช่เปล่า

[ปากกาเซียน]

วิธีทำข้อแรกอธิบายยังไง?????

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปากกาเซียน

วิธีทำข้อแรกอธิบายยังไง?????

$x^2+x=A$
$x^2+2x=B$

$3A-2B=(A+1)(B+4)$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ต้องบอกตรงๆว่า ตอนนี้ผมก็ยังไม่รู้ rigorous proof ตรงนี้เหมือนกันครับ เพียงแต่เท่าที่ผมลอง พยายามให้ มุมป้านวงในสุดมัน overlap กันให้ได้ทุก 2 quadrants ที่ติดกัน ก็ได้คำตอบไม่เกิน 75 หรือไม่ก็ ทะลุ 360 องศาไปเลยก็มี

ผมจึงคาดว่า maximum น่าจะเกิดได้เต็มที่แค่ 3 คู่ ของ quadrants ติดกัน

ตอนนั้นอาจจะยังไม่รู้ rigorous proof

แต่ตอนนี้ คิดว่ารู้แล้วครับ แต่ใช้อาวุธหนักซักหน่อยสำหรับเด็ก wymic

ให้รังสีแต่ละเส้นแทนจุดของกราฟ 15 จุด และถ้า 2 เส้นทำมุมป้าน จะให้มีเส้นเชื่อมถึงกัน

แน่นอนว่า 1 จุดไม่สามารถมีเส้นเชื่อมกับอีก 3 เส้นได้ เพราะมุมระหว่าง 4 รังสี ต้องมีมุมนึงไม่ใช่มุมป้าน

ดังนั้นกราฟที่สร้างเป็นกราฟที่ไม่มี $K_4$ หรือ complete graph degree 4

By Turan's theorem จำนวนเส้นมากสุด คือ $ \frac{15^2}{3} = 75 $

(ตัวอย่าง 75 มุม ผมเขียนไว้ในกระทู้นี้แล้วครับ)