IWYMIC 2000

[Thamma]

กรุณาแนะนำวิธีพิสูจน์ข้อนี้ให้ด้วยนะคะ

ขอบคุณค่ะ

[gon]

แบบหยาบ ๆ ก่อนนะครับ ผมยังไม่ได้มองหาทางสวย ๆ แบบอื่น

แบบนี้จะผสมผสานเรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic geometry) กับ ตรีโกณมิติ(หรือรูปสามเหลี่ยมคล้าย)

แบบรูปสามเหลี่ยมคล้ายล้วน ๆ ผมลองคิดดูแล้วมันยังไม่สวยเท่าไรครับ.

solution

สมมติว่าตั้งแกน x, y ที่จุด B โดยให้ BE = a, EA = b

ดังนั้นพิกัดของจุดต่าง ๆ คือ B(0, 0), E(0, a) และ A(0, a+b)

และเนื่องจาก EA = EA' ดังนั้น EA' = b และโดย ทบ. พีทาโกรัสจะได้ BA' = $\sqrt{b^2-a^2}$

และทำให้ได้ว่า $A'C = a+b-\sqrt{b^2-a^2}$

ความชันของ AA' คือ $-\frac{a+b}{b^2-a^2}$ แต่ EF ตั้งฉากกับ AA'

ดังนั้นความชันของ EF คือ $\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a+b}$

สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด E และ F คือ $\frac{y-a}{x} = \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a+b}$

จะหาพิกัดของ F โดยแทน x = a+b จะได้ y = $a+\sqrt{b^2-a^2}$

แต่ว่าพิกัดของจุด D คือ (a +b, a+b) แสดงว่า $FD = a+b - a+\sqrt{b^2-a^2} = b - \sqrt{b^2-a^2}$

ดังนั้น $FD' = FD = b - \sqrt{b^2-a^2}$

ถ้าให้มุม $BEA' = \theta$ จะได้ว่า มุม $GFD' = \theta$ ด้วย

ดังนั้นในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก GFD' จะได้ $\frac{FD'}{FG} = \cos \theta = \frac{a}{b}$

ดังนั้น $FG = \frac{b}{a}(b-\sqrt{b^2-a^2})$

จึงได้ว่า $A'E + FG = b + \frac{b}{a}(b-\sqrt{b^2-a^2}) = \frac{b(a+b-\sqrt{b^2-a^2})}{a}$ ... (*)

แต่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A'CG เราจะมี $\frac{A'C}{A'G} = \cos \theta = \frac{a}{b}$

ดังนั้น $A'G = \frac{b}{a}A'C = \frac{b}{a}(a+b-\sqrt{b^2-a^2})$ ... (**)

เพราะฉะนั้น จาก (*) และ (**) แสดงว่า A'E + FG = A'G

[Thamma]

Individual, Section B, # 3 เฉลย 10,800

10,800 น่าจะเป็นผลบวกที่มากที่สุดของจำนวน a+b+c

แต่โจทย์ถาม ผลบวกของเลขโดดที่มากที่สุดของ a+b+c
ลองคิดดูแล้วได้ 18 แต่ไม่แน่ใจว่าจะถูกหรือไม่

ช่วยตรวจให้ด้วยนะคะ

ขอบคุณค่ะ

[FedEx]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

Individual, Section B, # 3 เฉลย 10,800

10,800 น่าจะเป็นผลบวกที่มากที่สุดของจำนวน a+b+c

แต่โจทย์ถาม ผลบวกของเลขโดดที่มากที่สุดของ a+b+c
ลองคิดดูแล้วได้ 18 แต่ไม่แน่ใจว่าจะถูกหรือไม่

ช่วยตรวจให้ด้วยนะคะ

ขอบคุณค่ะ

รอคุณ Thamma เฉลยอยู่ ยังคิดไม่ได้เท่าคุณ Thamma เลยครับ

[Thgx0312555]

มาลองพิสูจน์ดูครับ

ให้ $S(x)$ แทนผลบวกของหลักของ $x$
ให้ $2 \ | \ x$

ก่อนอื่นจะพิสูจน์เอกลักษณ์ $S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{S(x)-O(x)}{2}+5O(x)$ เมื่อ $O(x)$ เป็นจำนวนหลักที่เป็นคี่ของ $x$

ให้ $x=\overline{x_1x_2...x_n}=\overline{y_1y_2...y_n}+\overline{z_1z_2...z_n}$

$y_i$ เป็นจำนวนคู่ที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $x_i$
$z_i = x_i \pmod 2$

เช่น $6125432=6024422+101010$

จะได้
$\dfrac{x}{2} = \overline{\dfrac{y_1}{2}\dfrac{y_2}{2}...\dfrac{y_n}{2}}+\overline{(5z_1)(5z_2)...(5z_{n-1})}$
เช่น $3062716=3012211+50505$

$\dfrac{x}{2} = \overline{\dfrac{y_1}{2}(\dfrac{y_2}{2}+5z_1)...(\dfrac{y_n}{2}+5z_{n-1})}$
ไม่มีหลักใดต้องทด

$S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{y_1}{2}+\dfrac{y_2}{2}+\cdots+\dfrac{y_n}{2}+5z_1+5z_2+\cdots+5z_{n-1}$
จะได้ว่า $S(\dfrac{x}{2})=\dfrac{S(x)-O(x)}{2}+5O(x)$ เมื่อ $O(x)$ เป็นจำนวนหลักที่เป็นคี่ของ $x$

พิสูจน์ไม่ยากว่า $S(2(a+b+c)) =9$
$S(a+b+c)=\dfrac{S(2(a+b+c)))-O(2(a+b+c))}{2}+5O(2(a+b+c))$

มีหลักเป็นจำนวนคี่ใน $2(a+b+c)$ ได้ 1 หรือ 3 หลัก (เพราะผลบวกทุกหลักได้ 9)
แทนค่า $S(2(a+b+c)) =9, O(2(a+b+c))=1,3$ จะได้ $S(a+b+c)=9,18$

ดังนั้น $S(a+b+c) \le 18$

[Thgx0312555]

$a \ | \ b$ แทน $b$ หารด้วย $a$ ลงตัวครับ เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไป
$ m \pmod n$ คือเศษที่เกิดจาก $m$ หารด้วย $n$
$a \equiv b \pmod n$ คือ $a$ และ $b$ หารด้วย $n$ เหลือเศษเท่ากัน

ผลบวกจำนวนหลัก อันนั้นผมพิมพ์ผิดครับ ก็คือผลบวกเลขโดดน่ะแหละครับ

ในบทพิสูจน์ผมไม่ได้เขียนอธิบายเท่าไร (เพราะยาวแล้ว) เดี๋ยวมาอธิบายตรงนี้ครับ
ในจำนวนคู่ใดๆ เราสามารถเขียนในรูปผลบวกของสองจำนวน

เช่น $3233472=2222462+1011010$
เมื่อเขียนในรูปนี้ก็จะหารด้วย 2 ได้สะดวกขึ้น

หารด้วย 2 ทั้งสมการจะได้ $1111231+505505$
สังเกตว่าสำหรับ 505505 หลักจะลดไปหนึ่งหลักจาก 1011010
พอนำมาบวกกันหลักซ้ายสุดก็จะเหลือ $y_1$ เพียงตัวเดียวครับ
1111231
+505505
ดังนี้ (สังเกตด้วยว่าจะไม่เกิดการทดขึ้น)

[Amankris]

โจทย์เรขา ข้อแรก ใช้ excenter จะง่ายครับ

[Thamma]

$ พิสูจน์ A \;เป็น\; excenter \;ของ\; \triangle \;A?CG \;บนด้าน\; A?G $

$ สะท้อนวงกลมที่มี\; A \;เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี = AB \;\;ผ่าน \;EF \;จะได้วงกลมที่มี\; A? \;เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากัน$

$ \because \;วงกลม\; A? \;สัมผัส\; AD \;\therefore \;วงกลม\; A \;สัมผัส\; A?D? $

[Thamma]

( ต่อ )

$ พิสูจน์ \; A?E + FG = A?G $

$ A?C + CG + GA? $

$= A?C + CG + GP + PA? $

$= A?C + CG + GD + A'B $

$= BC + CD $

$= BC + A?D?$

$= BA? + A?C + A?G + GD? $

$ จะได้\; CG = BA? + GD?$


$ \triangle \;A?CG \sim \triangle \;BA?E \sim \triangle \;GD?F $

$ \because \;CG = BA? + GD? $

$ \therefore \;A?G = A?E + FG $

[computer]

ข้อ 2 section B

รบกวนขอวิธีคิดด้วยค่ะ

[Thamma]

เคยคิดข้อนี้เมื่อนานมาแล้ว ลองดูว่าใช้ได้ไหม

วิธีคิด

ด้านหน้าการ์ด 10 ใบ เขียนจำนวน 2, 5, 17, 21, 24, 31, 35, 36, 42, x
ผลรวมของจำนวนด้านหน้าการ์ด = 213 + x

ให้ผลรวมของ 2 จำนวนที่ด้านหน้าและด้านหลังของการ์ดแต่ละใบเป็น y

ด้านหลังการ์ด 10 ใบ เขียนจำนวน y-2, y-5, y-17, y-21, y-24, y-31, y-35, y-36, y-42, y-x
ผลรวมของจำนวนด้านหลังการ์ด = 10y - (213 + x)

10y - (213 + x) = 213 + x
10y = 2(213 + x)
จะได้ว่า x เป็นจำนวนที่ลงท้ายด้วย 2 หรือ 7

ถ้า x ลงท้ายด้วย 2 , x ที่เป็นไปได้คือ 12, 22, 32, 52
ถ้า x ลงท้ายด้วย 7 , x ที่เป็นไปได้คือ 7, 27, 37, 47

ยกตัวอย่าง
ถ้า x = 12 จะได้ y = 45 แต่ 45 - 21 = 24 จะทำให้ด้านหลังของการ์ด 21 เป็น 24 ซึ่งไปซ้ำกับด้านหน้าของการ์ด 24 ดังนั้น x ไม่เท่ากับ 12
จำนวนที่เหลือก็ตรวจสอบในทำนองเดียวกัน

ในที่สุดจะได้ว่า มีค่าที่ใช้ได้เพียงค่าเดียวคือ x = 37 ( y = 50 )

[computer]

ขอบคุณมากค่ะ