Functional Equation

[Spotanus]

Given a function $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$. Show that there exist
(a) infinitely many functions $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ that
$$ \forall x\in \mathbb{R} ,\left(f\left(x\right)\right)^{2}=\left(g\left(x\right)\right)^{2}$$.
(b) exactly two functions $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ that
$$ \forall x,y\in \mathbb{R} ,f\left(x\right)f\left(y\right)=g\left(x\right)g\left(y\right)$$.

[Spotanus]

ควรค่าแก่กาลเวลา และกาลเทศะ...
(a) เห็นได้ชัด
(b) อันดับแรกเราแทน $y=x$ เป็นจำนวนจริงใดใดซะก่อน ทีนี้เราจะได้ว่า
ทุก $x \in \mathbb{R}$, $\left|f\left(x\right)\right| =\left|g\left(x\right)\right|$
เนื่องจาก $g\left(x\right) \not= 0$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}$
ดังนั้น $f\left(x\right) \not= 0$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}$ ด้วย
ต่อไปพิจาณา $f\left(0\right)$
กรณีที่๑ ถ้า $sgn\left(f\left(0\right)\right)=sgn\left(g\left(0\right)\right)$
แทนลงในสมการหลักด้วย $\left(x,y\right)$ เป็น $\left(x,0\right)$ สำหรับ $x \in \mathbb{R}$ ใดใด
ดังนั้น $f\left(x\right) \equiv g\left(x\right)$
กรณีที่๒ ถ้า $sgn\left(f\left(0\right)\right)=-sgn\left(g\left(0\right)\right)$
จะได้ว่า $f\left(x\right) \equiv -g\left(x\right)$

ในนัยกลับกัน นำสองฟังก์ชันนี้กลับไปแทน จะได้ว่าฟังก์ชันทั้งสองสอดคล้อง
ดังนั้น มีสองฟังก์ชันพอดีที่สอดคล้อง