Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 20 ธันวาคม 2012, 00:17
PURE MATH PURE MATH ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มิถุนายน 2012
ข้อความ: 171
PURE MATH is on a distinguished road
Default Math Induction

ช่วยหน่อยนะครับ
$$1. \forall n\in \mathbb{N} , \frac{1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot ...\cdot (2n)} < \frac{1}{\sqrt{2n+1} }$$
$$2. \forall n\in \mathbb{N} , 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)^2$$
$$3. จงพิสูจน์โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า
\forall n\in \mathbb{N} , \frac{1}{\sqrt{1} } +\frac{1}{\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} }+...+\frac{1}{\sqrt{n} } > \sqrt{n}$$
$$4. \forall n\in \mathbb{N} , 1 + 2n < 3^n$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 20 ธันวาคม 2012, 06:45
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ข้อ2.มันต้องเป็น $$1^3+2^2+..+n^3=(1+2+...+n)^2$$ นะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 20 ธันวาคม 2012, 11:05
PURE MATH PURE MATH ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มิถุนายน 2012
ข้อความ: 171
PURE MATH is on a distinguished road
Default

ใช่ละครับ ผมพิมผิด ช่วย. คิดตรง p(k+1) หน่อยครับ 55555.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 20 ธันวาคม 2012, 11:06
PURE MATH PURE MATH ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มิถุนายน 2012
ข้อความ: 171
PURE MATH is on a distinguished road
Default

ข้อสี่ผมคิดได้แล้ว เหลือช้อ 1-3 อ่าคับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 20 ธันวาคม 2012, 11:49
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH View Post
1. $\forall n\in \mathbb{N} , \frac{1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot ...\cdot (2n)} < \frac{1}{\sqrt{2n+1} }$

2. $\forall n\in \mathbb{N} , 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1+ 2+ 3+ ... + n)^2$

3. จงพิสูจน์โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า

$\forall n\in \mathbb{N} , \frac{1}{\sqrt{1} } +\frac{1}{\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} }+...+\frac{1}{\sqrt{n} } > \sqrt{n}$

4. $\forall n\in \mathbb{N} , 1 + 2n < 3^n$
1. ทำตรงๆครับสุดท้ายต้องพิสูจน์ว่า $\dfrac{2n+1}{2n+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+3}}$ ซึ่งกระจายออกมาก็จะเห็นเอง

2. ถ้าจะให้ง่ายต้องพิสูจน์ว่า $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ก่อนครับ

ถ้าได้สูตรนี้แล้วก็ทำตรงๆได้เลย

3. ทำตรงๆเหมือนเดิมสุดท้ายจะต้องพิสูจน์ว่า $\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$

ซึ่งคูณไขว้แล้วกระจายออกมาก็จะเห็นเอง

4. มองว่า $3^{n+1}=3\cdot 3^n>3(1+2n)>1+2(n+1)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 20 ธันวาคม 2012, 12:42
PURE MATH PURE MATH ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มิถุนายน 2012
ข้อความ: 171
PURE MATH is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
1. ทำตรงๆครับสุดท้ายต้องพิสูจน์ว่า $\dfrac{2n+1}{2n+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+3}}$ ซึ่งกระจายออกมาก็จะเห็นเอง

3. ทำตรงๆเหมือนเดิมสุดท้ายจะต้องพิสูจน์ว่า $\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$

ซึ่งคูณไขว้แล้วกระจายออกมาก็จะเห็นเอง.
55555. ผมยังมองไม่ออกน่ะครับว่า. มันมากกว่ากันยัง เวลาเขียนกลัวอาจานจะหักคะแนนส่วที่ไม่ชัดเจนอ่ารับ. เหมือนเราลักไก่อ่าครับ. $\dfrac{2n+1}{2n+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+3}}$. และ. $\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$
^^. ช่วยอธิบายตรงนี้เพิ่มเติมหน่อยครับ. ผมว่าสิ่งที่เป็นปัญหาคือ แสดง. p(k+1) = T
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 20 ธันวาคม 2012, 16:09
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH View Post
55555. ผมยังมองไม่ออกน่ะครับว่า. มันมากกว่ากันยัง เวลาเขียนกลัวอาจานจะหักคะแนนส่วที่ไม่ชัดเจนอ่ารับ. เหมือนเราลักไก่อ่าครับ. $\dfrac{2n+1}{2n+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+3}}$. และ. $\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$
^^. ช่วยอธิบายตรงนี้เพิ่มเติมหน่อยครับ. ผมว่าสิ่งที่เป็นปัญหาคือ แสดง. p(k+1) = T
แสดงว่าปัญหามันอยู่ที่คุณพิสูจน์อสมการไม่เป็นครับ ผมบอกไว้หมดแล้วว่าทำยังไง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Induction gcd B บ .... ทฤษฎีจำนวน 1 25 มกราคม 2013 09:51
Math Induction B บ .... คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 5 18 พฤศจิกายน 2012 16:18
แก้โดยใช้ induction น่ะค่ะ ช่วยดูให้หน่อยนะคะ Preeyalak Calculus and Analysis 1 07 พฤษภาคม 2012 13:23
แก้โดยใช้ induction น่ะค่ะ ช่วยดูให้หน่อยนะคะ Preeyalak Calculus and Analysis 1 02 พฤษภาคม 2012 08:50
ความแตกต่างของStrong induction กับ induction jabza ข้อสอบโอลิมปิก 5 11 ตุลาคม 2009 19:42

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:49


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha