diff ( x^2 )

[tana]

x^2 = x + x + ... + x ( x บวกกัน x ครั้ง )
หาอนุพันธ์ทั้ง 2 ข้าง
ได้ว่า diff ( x^2 ) = 1 + 1 + ... + 1 ( 1 บวกกัน x ครั้ง )
ดังนั้น diff ( x^2 ) = x ( อ้าว ทำไมมันเป็นงี้ได้อ่ะครับ )

[tana]

ชอบเรื่องๆนึงที่มีว่า

" ช่างตัดผมคนหนึ่ง บอกว่าจะตัดผมให้กับคนที่ไม่ตัดผมด้วยตนเองเท่านั้น ( และทุกคนด้วย ) "

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ !!!
เพราะถ้าช่างคนนี้ตัดผมให้ตัวเองก็ผิดกับที่บอกไว้
และถ้าไม่ตัดให้ตัวเองก็ผิดกับที่บอกไว้เหมือนกัน

[gools]

โปรดละเลยคำตอบนี้

[nooonuii]

(1/2)² = 1/2 + 1/2 +...+1/2 (บวกกันครึ่งครั้ง)

คุณสมบัตินี้จริงเฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้นครับ เรากำลังถูกหลอกโดยการเอาสามัญสำนึกของการบวกจำนวนเต็มมาเกี่ยวข้องน่ะครับ ต้องมองให้ออกว่าเราโดนเขาหลอกตรงไหน โจทย์จับผิดจะเป็นอย่างนี้ทั้งนั้นครับ จริงๆแล้วการหาอนุพันธ์ไม่ได้ทำที่ระดับของจำนวนเต็มครับ มันหยาบเกินไป ต้องไปทำที่ระดับของจำนวนจริงครับ ซึ่งในระดับนี้เขาไม่นิยามจำนวนจริงกำลังสองด้วยวิธีนี้ครับ

[tana]

แล้วนิยามการยกกำลังของจำนวนจริงนี่เค้าเขียนกันว่ายังไงเหรอครับ

[alongkorn]

สามารถหาอ่านได้จากหนังสือ calculus ทั่วไปครับ ในบทที่เกี่ยวกับ exponential function and logarithm function จริง ๆ แล้วเรานิยาม logarithm function ก่อน แล้วค่อยมานิยามการยกกำลัง

[tana]

แล้วนิยามการคูณกันของเลขจำนวนจริงนี่เขียนว่ายังไงหรอครับ ช่วยเขียนให้ดูหน่อยสิครับ

[nooonuii]

อืม คงต้องว่ากันยาวครับเรื่องนี้

เริ่มจากเรานิยามการคูณกันของจำนวนนับครับ
mn = m+m+...+m, n ตัว
จากนั้นก็ขยายไปยังจำนวนเต็มได้โดยนิยาม
0 x a = 0 ทุกจำนวนเต็ม a
แล้วก็นิยามการคูณกันของจำนวนเต็มลบคล้ายๆกับของจำนวนนับครับ

ต่อจากนี้ก็ขยายไปจำนวนตรรกยะได้ (a/b)(c/d) = ac/bd
ซึ่งก็ไม่มีปัญหาอะไรเพราะเป็นการคูณกันของจำนวนเต็มทั้งเศษและส่วน

พอมาถึงจำนวนจริงเราใช้นิยามเดิมไม่ได้แล้วครับ เพราะจำนวนอตรรกยะซึ่งเป็นประชากรส่วนใหญ่ของจำนวนจริงนั้นเขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้
เราจึงให้ความหมายของ e x p ไม่ได้ครับว่ามีค่าเท่าไหร่กันแน่
เราจึงต้องสร้างนิยามการคูณแบบใหม่ให้กับจำนวนจริง ซึ่งอาจจะต้องใช้ความรู้ชั้นสูงทางคณิตศาสตร์มาอธิบายครับ ที่ผมนำมาให้ดูก็คือการนิยามจำนวนจริงผ่านทาง Cauchy sequence ครับ (นิยามค่อนข้างยุ่งยากขอเล่าผ่านๆแล้วกันนะครับ)

โดยอาศัยทฤษฎีที่ว่า ทุกจำนวนจริง a ใดๆ จะมี Cauchy sequence ของจำนวนตรรกยะ {r_n} ซึ่งลู่เข้าหา a เสมอ

ดังนั้นถ้าให้ a,b เป็นจำนวนจริง จะมี Cauchy sequence ของจำนวนตรรกยะ {a_n} และ {b_n} ซึ่ง {a_n} ลู่เข้าหา a และ {b_n} ลู่เข้าหา b โดยอาศัยคุณสมบัติของลำดับเราพบว่าลำดับ {a_nb_n} ก็เป็น Cauchy sequence และ ลู่เข้า เราจึงนิยาม
ab = lim a_nb_n เมื่อ n-->ฅ

การคูณกันของจำนวนจริงที่เราใช้กันอยู่ในชีวิตประจำวันไม่ว่าในเครื่องคิดเลขหรือใน computer ส่วนใหญ่เป็นการคูณกันของค่าประมาณครับ(ในกรณีที่จำนวนนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ) ไม่ใช่ค่าที่แท้จริงแต่อย่างใด
จำนวนอตรรกยะนั้นอยู่นอกเหนือขอบเขตความคิดของมนุษย์ไปแล้วครับ การเรียนคณิตศาสตร์ให้เข้าใจอย่างลึกซึ้งนั้นเราต้องถอดเอาความเคยชินที่เราใช้อยู่ในโลกของความเป็นจริงออกไปให้หมดครับ โดยเฉพาะเมื่อเรากำลังเล่นกับกระบวนการซึ่งเกี่ยวข้องกับ infinity สามัญสำนึกจะใช้ไม่ได้ครับ ผมยกตัวอย่างง่ายๆเช่น เซตของจำนวนนับ {1,2,3,....} กับ เซตของจำนวนเต็ม {...,-2,-1,0,1,2,...} โดยสามัญสำนึกเราก็จะบอกว่า เซตของจำนวนเต็มนั้นมีจำนวนสมาชิกมากกว่าแน่นอน แต่ในวิชาคณิตศาสตร์เรากลับพบว่าแท้จริงแล้วสองเซตนี้มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน!!! (โดยความหมายในทฤษฎีเซต) ซึ่งจะขัดแย้งกับความคิดของเราเป็นอย่างมาก แต่อย่าลืมว่าทั้งสองเซตนี้มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์เหมือนกันครับ การนับจำนวนสมาชิกที่แท้จริงจึงทำไม่ได้ในทางปฏิบัติ เราจึงต้องนิยามจำนวนสมาชิกในเซตอนันต์กันใหม่ ยังมีอะไรอีกเยอะในคณิตศาสตร์ครับที่มักจะค้านกับความรู้สึกเราเสมอ

[tana]

งั้นช่วยพิสูจน์ ึa *ึa = a ให้ดูหน่อยสิครับ แล้วค่า a ที่ได้ออกมานี่เป็นค่าประมาณด้วยรึป่าวอ่ะครับ

[nooonuii]

ค่าที่ได้คือค่าจริงๆครับ จริงๆแล้วมันคือนิยามของรากที่สองของจำนวนจริงครับ แต่เราใช้สัญลักษณ์ กรณฑ์ ึa เพื่อให้สะดวกในการคำนวณ นิยามจริงๆก็คือ จำนวนจริงซึ่งยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ a เขียนแทนด้วย ึa ไงครับ (สำหรับค่าบวกถ้าค่าลบก็ใส่เครื่องหมายลบข้างหน้า)

ดังนั้น ึaึa = a ตามนิยามเลยครับ

[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tana

x^2 = x + x + ... + x ( x บวกกัน x ครั้ง )
หาอนุพันธ์ทั้ง 2 ข้าง
ได้ว่า diff ( x^2 ) = 1 + 1 + ... + 1 ( 1 บวกกัน x ครั้ง )
ดังนั้น diff ( x^2 ) = x ( อ้าว ทำไมมันเป็นงี้ได้อ่ะครับ )

ถ้าเพิ่ม$ x$ เป็น $x+\varepsilon $

$f(x)=x^2 = x + x + ... + x $( x บวกกัน x ครั้ง ) จะได้
$f(x+\varepsilon)= (x+\varepsilon)+(x+\varepsilon)+(x+\varepsilon)+..$ บวกกัน x ครั้ง จะได้
$f(x+\varepsilon)=x^2+(\varepsilon)x$ และ$ \frac{\triangle f(x)}{\triangle x}=\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}=x+\varepsilon $ ซึ่งไม่ตรงกับ
$f(x+\varepsilon)=(x+\varepsilon)^2=x^2+2\varepsilon x +(\varepsilon)^2 $ และได้

$ \frac{\triangle f(x)}{\triangle x}=\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}=2x+\varepsilon$
แสดงว่าการให้$f(x)=x^2 = x + x + ... + x $( x บวกกัน x ครั้ง ) ใช้ไม่ได้