พิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณ

[CHAOS]

ถ้า $A+B+C=180^{\circ} $

จงพิสูจน์ว่า $$\sin^2\frac{A}{2}+\sin^2\frac{B}{2}+\sin^2\frac{C}{2}=
1-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$$

ลบไม่ได้อ่ะครับ

[หยินหยาง]

hint ไปเรื่อยๆ

hint 1

ใช้ 1 ให้เป็นประโยชน์
อ้อยัง ถ้ายังดู hint 2

hint 2

sin อะไร ที่มีค่าเท่ากับ 1 โดยใช้เงื่อนไขสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้

อ้อยัง ถ้ายังดู hint 3

hint 3

$\sin(\frac{A+B+C}{2}) =1 $ กระจายออกมาโดยใช้ sin ผลบวก
อ้อยัง ถ้ายังดู hint 4

hint 4

โจทย์ข้อนี้ใช้ความรู้เรื่อง sin ผลบวก กับโคฟังชั่น แค่นั้นในการจัดรูปเพื่อให้อยู่ในรูปที่โจทย์ต้องการ
อ้อยัง ถ้ายังดู hint 5

hint 5

ความรู้ได้มาจากการฝึกฝน ไม่มี hint ต่อ เพราะหมดแล้วถ้าทำต่อคงไม่ใช้ hint คงเป็นแสดงวิธีทำแล้ว

คำตอบแม้สำคัญ แต่กระบวนการที่ได้มาซึ่งคำตอบสำคัญยิ่งกว่าหลายเท่านัก

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CHAOS

ถ้า$ A+B+C=180^{\circ} $
จงพิสูจน์ว่า
$ sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}=$
$1-2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

hint 6

$A+B+C=180^{\circ} \rightarrow \frac{A}{2} +\frac{B}{2} +\frac{C}{2} =90^{\circ} $

$1-2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
$=1-\left(\,2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}\right)sin\frac{C}{2} $
$=1-\left(\,cos(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})-cos(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})\right)sin\frac{C}{2} $
$=1-\left(\,cos(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})-cos(90^{\circ}-\frac{C}{2})\right)sin\frac{C}{2} $
$=1-\left(\,cos(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})-sin(\frac{C}{2})\right)sin\frac{C}{2} $
$=1-cos(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})sin\frac{C}{2}+sin^2\frac{C}{2}$
$=1-cos(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})cos(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})+sin^2\frac{C}{2}$
$=1-\frac{1}{2}\left\{\,cosA+cosB\right\} +sin^2\frac{C}{2} $
$=1-\frac{1}{2}\left\{\,(1-2sin^2\frac{A}{2})+(1-2sin^2\frac{B}{2})\right\} +sin^2\frac{C}{2}$
$=sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}$

วิธีนี้ขอให้เครดิตจากน้องๆในบอร์ดนี้ที่เคยทำให้ดู โทษทีครับที่คนแก่จำชื่อไม่ได้ อย่าว่ากันเลยนะ
เจ้าของโจทย์ลองพิสูจน์จากอีกข้างสิครับ...ลองดู

[lek2554]

คุณหมอ hint 6 แล้วครับ ท่านซือแป๋

[กิตติ]

พี่เล็ก...ผมฮิ้นให้ครึ่งเดียวครับ แค่จากขวาไปซ้าย ส่วนจากซ้ายไปขวาคว้านหาเอาเองครับ