ตรีโกณครับ

[CHAOS]

$ 1.จงหาค่าของ cos42^{\circ} sin168^{\circ} sin306^{\circ} $
$ 1. \frac{-1}{8} 2.\frac{1}{8} 3.\frac{-1}{4} 4.\frac{1}{4}$

$ 2. จงหาค่าของ tan20^{\circ} tan40^{\circ} tan80^{\circ} $

$ 3. จำนวนคำตอบของ สมการ arccos(cos\theta ) = arcsin(sin6\theta ) , 0 \leqslant \theta $ $ \leqslant \pi $
$ 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 $

$ 4. ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด $
$ ก. กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC มี a,b,c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B,C จะได้ว่า$

$ \frac{1+cos(A-B)cosC}{1+cos(A-C)cosB} = \frac{a^2+b^2}{a^2+c^2} $


$ ข. a,b,c \in R , a^2 + b^2 \not= c^2 , a^2 + b^2 \not= 0 $
$ หาก A,B \in [ 0,2\pi ) , A \not= B เป็นคำตอบของสมการ(ตัวแปร X) acosx + bcosx = c จะได้ว่า $

$ cos^2(\frac{A-B}{2}) = \frac{c^2}{a^2+b^2}$

$ 5. arcsec\sqrt{x^2+1} + arcsec\sqrt{x^2+2x+2} = arccos(-1) + arctan(-1) $
$ ผลบวกคำตอบเท่ากับเท่าไร$
$ 1. -1 2. 1 3. 2 4. 3 $

$ 6. สามเหลี่ยม ABC มี BC = 10 ความยาวรอบรูปเท่ากับ 36 ถ้า AC=b , AB=c $
$ จงหาค่าของ b^2sin2C + c^2sin2B$
$ 1.24\sqrt{bc+144} $
$ 2.48\sqrt{bc+144} $
$ 3.24\sqrt{bc -144}$
$ 4.48\sqrt{bc -144} $

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CHAOS

$ 1.จงหาค่าของ \cos42^{\circ} \sin168^{\circ} \sin306^{\circ} $

แปลงทุกค่าเป็นฟังก์ชันโคไซน์ให้หมด จากนั้นจับคู่ แล้วใช้สูตร $2\cos A \cos B = ...$ แล้วแทนค่า $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

[Amankris]

จขกท.ถามทีละจุดดีกว่าไหม

[CHAOS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CHAOS

$ 4. ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด $
$ ก. กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC มี a,b,c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B,C จะได้ว่า$

$ \frac{1+cos(A-B)cosC}{1+cos(A-C)cosB} = \frac{a^2+b^2}{a^2+c^2} $

$ L.S. = \frac{1-cos(A+B)cos(A-B)}{1-cos(A+C)cos(A-C)} $
$ = \frac{2-2cos(A+B)cos(A-B)}{2-2cos(A+C)cos(A-C)} $
$ = \frac{2-(cos2A+cos2B)}{2-(cos2A+cos2C)} $
$ = \frac{2-(1-sin^2A+1-sin^2B)}{2-(1-sin^2A+1-sin^2B)} $
$ = \frac{sin^2A+sin^2B}{sin^2A+sin^2C} $

จาก Law of sine จะได้

$ = \frac{a^2k^2+b^2k^2}{a^2k^2+a^2c^2} $
$ =\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2} $ = R.S.

[กิตติ]

ข้อ 6. คิดได้ 4.
สิ่งที่โจทย์ถามคือ 4 เท่าของพื้นที่สามเหลี่ยม พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ$\frac{1}{2}bc \sin A $
ลองคิดเองก่อนก็ได้ จากสูตรของcosine กับ sine
จะได้ค่า $c\sin B-b \sin C=0$........(1)
$c \cos B-b \cos C=\frac{c^2-b^2}{10} $..........(2)
จับ(1)คูณกับ(2) แล้วแปลงให้ $\sin(B+C)= \sin A$
สิ่งที่โจทย์ถาม
$b^2 \sin 2C+c^2 \sin 2B- =2bc \sin A$
แล้วเทียบกับสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมของHeronก็จะได้คำตอบ

[CHAOS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 6. คิดได้ 4.
สิ่งที่โจทย์ถามคือ 4 เท่าของพื้นที่สามเหลี่ยม พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ$\frac{1}{2}bc \sin A $
ลองคิดเองก่อนก็ได้ จากสูตรของcosine กับ sine
จะได้ค่า $c\sin B-b \sin C=0$........(1)
$c \cos B-b \cos C=\frac{c^2-b^2}{10} $..........(2)
จับ(1)คูณกับ(2) แล้วแปลงให้ $\sin(B+C)= \sin A$
สิ่งที่โจทย์ถาม
$b^2 \sin 2C+c^2 \sin 2B- =2bc \sin A$
แล้วเทียบกับสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมของHeronก็จะได้คำตอบ

ขอบคุณมากครับ พท.สามเหลี่ยมนี่เอง ซ่อนไว้ซะเนียนเชียว

[กิตติ]

ข้อ 2....ทำได้ 2แบบ
แบบที่1
$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$

$=\frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ} $

$=\frac{\sin 80^\circ (\cos 20^\circ - \cos 60^\circ)}{\cos 80^\circ (\cos 20^\circ + \cos 60^\circ)} $

$=\frac{2\sin 80^\circ \cos 20^\circ-2\sin 80^\circ \cos 60^\circ}{2\cos 80^\circ \cos 20^\circ+2\cos 80^\circ \cos 60^\circ} $

$=\frac{\sin 100^\circ+\sin 60^\circ-\sin 80^\circ}{\cos 100^\circ+\cos 60^\circ+\cos 80^\circ} $

$\sin 100^\circ =\sin80^\circ,\cos 100^\circ= -\cos 80^\circ$

$=\frac{\sin 60^\circ}{\cos60^\circ} $

$=\tan 60^\circ = \sqrt{3} $

แบบที่ 2....มันมีสูตรว่า
$\tan (60-x)^\circ \tan x^\circ \tan (60+x)^\circ= \tan 3x^\circ $

แทน $x=20^\circ$

$\tan (60-20)^\circ \tan20^\circ \tan (60+20)^\circ= \tan (3\times 20)^\circ$

$\tan 40^\circ \tan 20^\circ \tan 80^\circ = \tan 60^\circ = \sqrt{3} $

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CHAOS

5.$arcsec\sqrt{x^2+1} + arcsec\sqrt{x^2+2x+2} = arccos(-1) + arctan(-1) $
ผลบวกคำตอบเท่ากับเท่าไร
1. -1 2. 1 3. 2 4. 3

ข้อนี้คิดคำตอบได้ เท่ากับ -1

ให้ $arcsec\sqrt{x^2+1}=A \rightarrow \sec A=\sqrt{x^2+1} ,\cos A=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} ,\sin A=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $

$arcsec\sqrt{x^2+2x+2}=B \rightarrow \sec B=\sqrt{x^2+2x+2} ,\cos B=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} ,\sin B=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$

$arccos(-1)=C \rightarrow \sin C=0, \cos C=-1$

$arctan(-1)=D \rightarrow \sin D=-\frac{1}{\sqrt{2} } , \cos D=\frac{1}{\sqrt{2} }$

จับสมการมาใ่ส่ฟังก์ชั่นของ cos เพราะที่โจทย์กำหนดก็คือมุมทั้งสี่ค่า

$\cos(arcsec\sqrt{x^2+1} + arcsec\sqrt{x^2+2x+2})= \cos (A+B)$
$=\frac{1-x-x^2}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} } $

$\cos (arccos(-1) + arctan(-1))= \cos (C+D) = -\frac{1}{\sqrt{2} }$

$\frac{1-x-x^2}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} }= -\frac{1}{\sqrt{2} }$

$2(x^2+x-1)^2=(x^2+1)(x^2+2x+2)$

$x^4+2x^3-5x^2-6x=0$

$x(x+1)(x+3)(x-2)=0$

$x= 0,-1,-3,2$

ค่าที่ใช้ได้คือ $x=-3,2$
ผลรวมของคำตอบเท่ากับ $-1$

[lek2554]

#8

$arcsec\sqrt{x^2+1}=A \rightarrow \sec A=\sqrt{x^2+1} ,\cos A=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} ,\sin A=\frac{\left|x\right| }{\sqrt{x^2+1}} $

$arcsec\sqrt{x^2+2x+2}=B \rightarrow \sec B=\sqrt{x^2+2x+2} ,\cos B=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} ,\sin B=\frac{\left|x+1\right|}{\sqrt{x^2+2x+2}}$

$\cos (A+B)=\frac{1-\left|x\right|\left|x+1\right|}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} }= -\frac{1}{\sqrt{2} }$

เวลาแก้สมการไม่น่าจะง่าย ดังที่คุณหมอทำมาครับ แต่คำตอบได้ออกมาถูก อาจเป็นเพราะยกกำลังสองเข้าไปทำลายค่าสัมบูรณ์ แต่จริง ๆ ก็ไม่ได้ยกกำลังสองแค่ครั้งเดียว

แต่ถ้าแปลงโจทย์เป็น $arctan\left|x\right| +arctan\left|x+1\right|=\frac{3\pi}{4} $

ผมว่าน่าจะแก้สมการง่ายกว่าครับ

[กิตติ]

เห็นด้วยตามที่พี่เล็กว่า ผมลืมเช็คโดเมนกับเรนจ์ของอินเวอร์สฟังก์ชั่นตรีโกณ
ผมขอแก้ใช้ $\left|\,x\right| =\sqrt{x^2} $ กับ $\left|\,x+1\right| =\sqrt{(x+1)^2} $

$\frac{1-\sqrt{x^2(x+1)^2}}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} }=-\frac{1}{\sqrt{2} } $

$2(1+(x^2(x+1)^2)-2\sqrt{x^2(x+1)^2})=x^4+2x^3+3x^2+2x+2$

$2+2(x^4+2x^3+x^2)-4\left|\,x(x+1)\right|=x^4+2x^3+3x^2+2x+2 $

$x^4+2x^3-x^2-2x= 4\left|\,x(x+1)\right|$

$x(x-1)(x+1)(x+2)=4\left|\,x(x+1)\right|$

ผมไม่ยกกำลังสอง เพราะน่าจะติดกันวุ่นวาย ใช้นิยามของค่าสัมบูรณ์ ด้วยการแยกเป็นช่วงๆ
1.$x>0$
$x(x-1)(x+1)(x+2)=4x(x+1)$
$(x-1)(x+2)=4$
$x^2+x-6=0$
$x=-3,2$
เหลือแค่ $x=2$

2.$-1<x<0$
$x(x-1)(x+1)(x+2)=-4x(x+1)$
$(x-1)(x+2)=-4$
$x^2+x+2=0$
ค่า $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน

3.$x<-1$
$x(x-1)(x+1)(x+2)=4x(x+1)$
$(x-1)(x+2)=4$
$x^2+x-6=0$
$x=-3,2$
เหลือแค่ $x=-3$

ค่า$x=0,-1$....ก็ทำให้สมการ$x(x-1)(x+1)(x+2)=4\left|\,x(x+1)\right|$ เป็นจริง

ลองแทนค่ากลับไป$x=0,-3,2,-1$

$\frac{1-\sqrt{x^2(x+1)^2}}{\sqrt{(x^2+1)(x^2+2x+2)} }=-\frac{1}{\sqrt{2} } $

มีค่าที่เป็นจริงคือ $x=2,-3$

[lek2554]

ผมทำแบบนี้ครับ

$arcsec\sqrt{x^2+1} + arcsec\sqrt{x^2+2x+2} = arccos(-1) + arctan(-1) $

$arctan\left|x\right| +arctan\left|x+1\right|=\pi -\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4} $

$tan(arctan\left|x\right| +arctan\left|x+1\right|)=tan\frac{3\pi}{4} $

$\dfrac{|x|+ |x+1|}{1-|x||x+1|} =-1$

$|x|+ |x+1|-|x||x+1|+1=0$

$x<-1;\quad\quad-x-x-1-x(x+1)+1=0\rightarrow x^2+3x=0\rightarrow x=-3,0\rightarrow x=-3$

$-1\leqslant x\leqslant 0;-x+x+1+x(x+1)+1=0\rightarrow x^2+x+2=0\rightarrow x\in \phi $

$x> 0;\quad\quad\quad x+x+1-x(x+1)+1=0\rightarrow x^2-x-2=0\rightarrow x=-1,2\rightarrow x=2$

$\therefore x=-3,2$

ตรวจสอบคำตอบแล้วใช้ได้ทั้ง 2 ค่า

[กิตติ]

วิธีของพี่เล็กง่ายกว่าครับ....