แจกเฉพาะกิจ : รอบแรก

[gools]

ข้อ 12 ครับ
เนื่องจาก 2549 เป็นจำนวนเฉพาะ(ตรวจสอบได้โดยการหารด้วยจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 3 จนถึง 49 - -")
ดังนั้น $10^{2548}-1 \equiv 0 (\bmod \ 2549)$
พิจารณา $2549 | \frac{10^{2548}-1}{10-1}$
เนื่องจาก $9 \not| 2549$ และ $\frac{10^{2548}-1}{9}=10^{2547}+10^{2546}+\ldots +1$
ดังนั้น $2549 | 10^{2547}+10^{2546}+\ldots +1$
แสดงว่า $2549 | (111...1)_{10}$ (มี 1 อยู่ 2548 ตัว)
และจะได้อีกว่า $2549 | 10^n[(111...1)_{10}]$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
และเนื่องจาก $10^n[(111...1)_{10}] \in A$
ดังนั้นค่าความจริงของประพจน์ข้างต้นคือ "จริง"

[gools]

ข้อ 11 ครับ
จะได้ว่า
$(x^2+4)(x-1)=-1$
เนื่องจาก $x^2+4 > 0$ ดังนั้น $x-1<0$
และ $x^2+4 \geq 4$ และ $x-1<0$ ดังนั้น $x-1 \geq -\frac{1}{4}$
จะได้ว่า $\frac{3}{4} \leq x < 1$
ดังนั้น $\lfloor r \rfloor =0$

[M@gpie]

ฮืออออ พลาดไปแล้วครับ ผมก็เอะใจอยู่เล็กๆว่าทำไมมันง่ายผิดปกติเป่า หุหุ น้องๆ อย่าพลาดเหมือนผมนะคร้าบ หลุมคุณ passer-by อันตราย จริงๆ

ปล. เหมือนถูกคุณ passer-by ซ้ำเติม 555

[gools]

ข้อ 8 ครับ
$|A|=\sin\theta + \frac{\sin^2 \theta}{\cos\theta}-( \frac{\sin^2 \theta}{\cos\theta}-\sin\theta)+(-sin^2\theta-\cos^2\theta)=2\sin\theta-1$
ดังนั้น $\max\{\det(A^2)\}=\max\{(\det(A))^2\}=\max\{(2\sin\theta-1)^2\}=9$ โดยที่ $\sin\theta=-1$ แต่ $|\sin\theta| \not= 1$ เพราะจะทำให้ $\tan\theta$ หาค่าไม่ได้
ดังนั้น $\max\{(2\sin\theta-1)^2\}=8$ เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดซึ่ง $\tan\theta$ หาค่าได้

[gnopy]

มาตอบอีกครับ

[gnopy]

ตอบอีก

[passer-by]

เคลียร์ทีละประเด็น เลยนะครับ

(1) เรื่องคุณ M@gpie ผมอนุโลมให้ข้อนึงแล้วกันนะครับ โดยการไม่ติดลบคะแนนข้อเมตริกซ์

(2) ผมชอบคำตอบคุณ gools ข้อ 11,12 มากครับ ดูไม่ซับซ้อนดี แถมตอนนี้ คะแนนคุณ gools ก็ยังนำโด่งเช่นเดิม ตามมาด้วยคุณ Mastermander และน้อง Tummykung

ตอนนี้ใครที่ตามๆ อยู่ ก็รีบเพิ่มคะแนนให้ตัวเองด่วนเลยนะครับ ก่อนจะเหนื่อยในรอบสอง ที่ไม่มีคำถามแบบคำนวณแม้แต่ข้อเดียว

และผมตัดสินใจแล้วว่าจะขยับ deadline รอบนี้ให้เร็วขึ้น เป็น อังคาร 2 พ.ค. เวลา 9.00 น. เพราะช่วงนี้ ผมมีภาระต้องทำมากหน่อยครับ สรุปว่าคำถามรอบสองมาพรุ่งนี้ แน่นอน หลัง 9.00 น.

(3) สำหรับข้อ 7 ผม Hint ให้นิดนึงว่า ใช้ หลักรังนกพิราบก็ได้ครับ แต่ หารัง หานก ให้เจอแล้วกัน
ส่วนข้อ 5(B) ผมได้แรงบันดาลใจ จากเทคนิคเล็กๆ แต่มีประโยชน์ที่คุณ Punk เคยลงใน My Maths เล่มเมื่อปีที่แล้ว ซักเล่มนี่แหละครับ
และข้อ 11 ก็ยังทำแบบอื่นๆ ได้อีกนะครับ เช่นเดียวกับข้อ 12 ก็ใช้วิธีแบบอื่น อย่าง combinatorics มาช่วยได้นะ

(4) คำตอบคุณ gnopy ข้อ 2 รบกวนช่วยขยายความ ที่มาของผลบวก -0.5 ให้ชัดเจนด้วยครับ ตอนนี้ผมถือว่าให้ครึ่งหนึ่งของคะแนนเต็มข้อนั้นก่อนแล้วกัน และถ้าคุณ gnopy มาเติมเต็มที่ผมต้องการได้ ก็จะได้คะแนนเต็มข้อนั้นไป ส่วนข้อ 7ของคุณ gnopy ยังไม่ถูกนะครับ

[gnopy]

ผมคงต้องถอนตัวรอบแรกไปก่อนนะครับพอดีไม่คอ่ยสะดวกบ้านไม่ติดเน็ตคำตอบเลยช้า และผมก็พิมพ์ลาเท็กซืไม่เป็นเดี๋ยวรอผมศึกษาได้แล้วค่อยมาประลองใหม่ อีกอย่างวรยุทธ์ของผมปลายแถวมากหนำซ้ำยังอยู่ม.ปลายด้วย ผมว่าผมไปขยันก่อนดีกว่าค่อยมาสู้ใหม่ ส่วนรอบสองผมจาลงแข่งขันเพราะไม่ได้คำนวณฮ่าๆๆ
ป.ล คุณ gool ทำไมไม่มีตรงที่ให้คะแนน ผมดูประวัติไม่ได้เลยอะครับ ถามเลยละกัน เรียนระดับไหน และอยู่ชั้นอะไร หรือว่ามหาลัย เก่งมากเลยครับ ความคิดแนวดี ผมว่าผมอยู่ในบอร์ดนี้คงจะเก่งขึ้นสักวันแน่นอน

[gools]

ขึ้น ม.5 ครับ

[gools]

ข้อ 7 ครับ

สมมติให้ $|b_i|\leq 2$
จาก $ {n \choose 1} + {n \choose 3}+\cdots + {n \choose n}= {n \choose 0} + {n \choose 2}+\cdots + {n \choose n-1}$
จะได้ว่า $ {n \choose 1} + {n \choose 3}+\cdots + {n \choose n}=\frac{\sum^n_{k=0} {n \choose k}}{2}=2^{n-1}$
ดังนั้น $ b_1{n \choose 1} + b_2{n \choose 3}+\cdots + b_{(n+1)/2}{n \choose n}=S \in [-2^n,2^n]$
ถ้า $S$ มีค่าเท่ากับศูนย์จะทำให้ปัญหาถูกแก้ทันที
ดังนั้นสมมติให้ $S \not= 0$ ดังนั้น $S$ มีค่าได้ทั้งหมด $2^{n+1}$ ค่า

เนื่องจาก $b_i$ ใดๆมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 5 ค่าคือ -2,-1,0,1,2 และให้ $b_i$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน พิจารณาค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $S$ คือ $5^{\frac{n+1}{2}}-1$ ค่า สมมติให้เป็น $S_1,S_2,\ldots,S_{5^{\frac{n+1}{2}}-1}$

เนื่องจาก
\[\begin{array}{rcl} 5^{\frac{n+1}{2}}-1 &=& (5-1)(5^{\frac{n+1}{2}-1}+\ldots+1) > 2^2(4^{\frac{n+1}{2}-1}+\ldots+1) \\
&=& 2^2(2^{n-1}+\ldots+1) > 2^{n+1} \end{array}\]

ดังนั้นตามหลักรังนกพิราบจะมีจำนวนนับ $i$ และ $j$ ที่ $1\leq i < j \leq 5^{\frac{n+1}{2}}-1$ และ $S_i=S_j$
ดังนั้น $S_i-S_j=c_1{n \choose 1} + c_2{n \choose 3}+\cdots + c_{(n+1)/2}{n \choose n}=0$ โดยที่ $|c_i| \leq 4$

[passer-by]

สำหรับคุณ gnopy ก็ขยันๆ และเพิ่มพูนวรยุทธ์ตามที่ตั้งใจไว้ให้ได้นะครับ ขอเป็นกำลังใจให้

และในที่สุด ข้อ 7 ก็เรียบร้อยโรงเรียนคุณ gools อย่างงดงาม

ดูท่าทางคุณ gools นี่จะเป็น "problem-solving man" ตัวจริงเสียงจริงเลยนะครับ

สำหรับคะแนนถึง ณ เวลานี้ เป็นดังนี้ครับ

1. gools 34 คะแนน
2. Mastermander 12 คะแนน
3. tummykung 9 คะแนน
4. gnopy 3.5 คะแนน
5. M@gpie 1.5 คะแนน

ถ้ามีข้อผิดพลาดเรื่องคะแนนก็ชี้แจงได้นะครับ (ไม่รู้ว่าก่อนถึง 9.00 จะมีใครมาตอบเพิ่มมั้ยเนี่ย)

ส่วน deadline ของรอบสองซึ่งเป็นรอบสุดท้าย ผมขอเป็น 00.30 ของวันพุธที่ 3 พ.ค. นะครับ เห็นทำงานกันรวดเร็ว ก็เลยร่นเวลาให้เร็วขึ้น

สำหรับรอบหน้า คำถามอาจจะต้องใช้การค้นคว้ามาช่วย ประกอบกับการคาดคะเนในบางข้อครับ และอย่าลืมว่า ตอบทาง pm นะครับ

ที่สำคัญ ตอบได้ข้อย่อยละ 1 ครั้ง ผิดแล้วผิดเลยนะครับ ไม่มีหยวนแล้วนะครับ

ส่วนเงื่อนไขของคุณ M@gpie ที่ผมบอกไปในตอนแรกว่าทำเฉพาะข้อ 4,5 ผมลบออกไปแล้วนะครับ เพื่อจะได้ร่วมสนุกกันเต็มที่

[warut]

5(B) $$\sum_{n=1}^{100} \frac{n^2-n+1} {n^4-n^3+n^2-n+1} < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+ \displaystyle{ \frac{1-n}{n^2-n+1} }} < 1+ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1} = 1.75 < 1.99 $$

[M@gpie]

ยอดเยี่ยมกระเทียมเจียว ครับ คุณ warut คารวะ 3 จอก

[passer-by]

ระหว่างนี้ ใครจะ post Alternative solution ข้อไหนก็ตามสบายเลยนะครับ

ข้อ 3 ใช้แก้สมการอย่างเดียวก็เพียงพอครับ

และจริงๆ ระบบสมการนี้มี 4 คำตอบครับ

ถ้า x = 0 หรือให้ y=0 จะได้ อีกตัวเป็น 0 ด้วย ดังนั้น ได้ (0,0) เป็นคำตอบแรก

เมื่อจัดรูปสมการทั้งสองใหม่ จะได้

$ x(y+3)(y+2) = 50(y^{2}-8x) $
$ x^{2}(y+2) = 25(y^{2}-8x) $

ถ้า y = -2 ทำให้ x= 0.5 ดังนั้น (0.5,-2) เป็นคำตอบที่สอง

และเมื่อนำ 2 สมการมาหารกัน จะได้ y+3 = 2x จากนั้นก็แทนค่า x ในเทอมของ y ลงไป ก็จะได้ คำตอบมาอีก 2 คำตอบ คือ (5,7) และ (45,87) ครับ

ซึ่งคำตอบที่สอดคล้องกับโจทย์ก็คือ (5,7) เท่านั้น

ส่วนข้อ 5 (B) ดูเหมือนคุณ Warut จะได้ Upper bound ดีกว่าของผมอีกนะเนี่ย งั้นผมคงไม่ต้องเฉลยวิธีผมแล้วมั้งครับ

สำหรับข้อ 12 อาจทำได้ดังนี้ครับ

พิจารณา จำนวนในรูปแบบ $ 1+10^{2}+10^{4}+\cdots+10^{2k} \in A $ สำหรับจำนวนนับ k
แน่นอนว่า 2549 หารจำนวนในกลุ่มนี้ ย่อมต้องมีที่เหลือเศษเท่ากันอยู่เป็นจำนวนอนันต์ (ลองคิดดูนะครับ ว่าทำไม)

เลือก ออกมา 2 จำนวนที่เศษเท่ากัน สมมติเป็น $ x=1+10^{2}+10^{4}+\cdots+10^{2j} $ และ $ y=1+10^{2}+10^{4}+...+10^{2p} $ โดยเป็นไปได้ที่จะเลือกให้ j > p+1

ดังนั้น $ 2549 | (x-y) = 10^{2(p+1)}+10^{2(p+2)}+\cdots+10^{2j} =10^{2(p+1)} (1+10^{2}+\cdots +10^{2(j-p-1)})$

แต่ 2549 หาร $ 10^{2(p+1)}$ ไม่ลงตัว และ 2549 ก็เป็น จำนวนเฉพาะ ดังนั้น $ 2549| 1+10^{2}+\cdots +10^{2(j-p-1)} \in A $

ดังนั้นประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง