ช่วยแก้โจทย์ ที่ยาก ให้หน่อยครับ

[Pramote]

1.ถ้า 2548|(2005^2n+a.543^2n) สำหรับทุกค่าของจำนวนเต็มบวก n แล้วค่าของจำนวนเต็มบวก a ที่

น้อยที่สุดเท่าไร

2.กำหนด f เป็นฟังก์ชั่นก์พหุนามดีกรี 5 ซึ่งมีสมบัติว่า f(m)=1/m^2 ทุกค่า m=1,2,3,4,5,6

จงหาค่า f(7)

----------------------------------------------------------------
ป.ล.เป็นโจทย์มาจากM4U

[nongtum]

1. เพราะ $2005^{2n}+a\cdot543^{2n}\equiv(1+a)543^{2n}\pmod{2548}$ และ (543,2548)=1 ดังนั้น $2548|a+1$ นั่นคือจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุดคือ 2547

[Pramote]

1.ขอขอบคุณ คุณNongtum มากครับ ที่ช่วยเฉลยข้อ1 ผมคิดว่าพี่ตอบคำตอบผิดนะครับ
ผิดตรง 2005^2n บ 543 mod(2548)
ที่ถูกน่าจะเป็น2005^2n บ -543mod(2548)
ดังนั้น 2548|a-1จะได้ a=2549
2.ผมได้วิธีคิดใหม่แล้วครับ ที่พี่ตอบใน Vcharkarn.com ผมไม่เข้าใจ แต่ไปดูหนังสือของดร.ณรงค์ ได้วิธีคิดมาใหม่ พี่ช่วยดูด้วยว่าถูกหรือไม่?
f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Q(x)=f(x)-1/x^2
โดยจะได้Q(x)= 0
\(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=f(x)-1/x^2
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1/x^2
แทนค่าx=7 จะได้720+1/49
ตอบ720+1/49
ป.ล.1/x^2มาจากเงื่อนไขที่โจทย์บอก f(m)=1/m^2
พี่Nongtum หรือใครก็ได้ที่เก่งๆมาช่วยดูว่าผมคิดถูกไหมครับ

[nongtum]

โดยทฤษฎีบททวินามจะได้ $2005^{2n}=(2548-543)^{2n}=\dots+543^{2n}$
ผลรวม ... หารด้วย 2548 ลงตัว ดังนั้น $2005^{2n}\equiv543^{2n}\pmod{2548}$ ครับ

ข้อ 2 วิธีที่ทำมาไม่ได้รวมค่า f(6) ครับ (ลองแทน x=6 ดูจะเห็นว่าผิด) คำตอบเลยไม่ตรงกับที่พี่แอบใช้ mathematica แก้สมการเชิงเส้นหกตัวแปร(ได้ f(7)=-7/20 หากจำไม่ผิด) แต่จะลองใช้วิธีนี้คิดต่อก็ไม่เสียหายครับ ดีกว่าแก้ระบบสมการทั้งดุ้น

[gon]

เหอ ๆ นี่มันโจทย์ชิงรางวัลจาก M4U เล่ม 1 นี่ครับ.
ลองดูตัวเลขด้วยนะครับ. อาจผิด

ข้อ 2
จาก $f(m) = \frac{1}{m^2} \Rightarrow m^2f(m) - 1 = 0$
สมมติให้ $Q(x) = x^2f(x) - 1 = 0$
โดยทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต จะได้ว่า Q(x) เป็นพหุนามกำลัง 7 (เพราะ f กำัลัง 5)
โดยที่ $Q(x) = C(x-1)(x-2) \cdots (x - 6)(x - k)$

ดังนั้น $x^2f(x) - 1 = C(x-1)(x-2) \cdots (x - 6)(x - k) \quad \cdots (1)$

สมมติให้ $f(x) = a_5x^5 + a_4x^4 + \cdots + a_1x + a_0$

ดังนั้น $x^2(a_5x^5 + a_4x^4 + \cdots + a_1x + a_0) - 1 = C(x-1)(x-2) \cdots (x - 6)(x - k)$

เทียบสัมประสิทธิ์ของค่าคงตัว : $-1 = -6!Ck \Rightarrow Ck = \frac{1}{6!}$
เทียบสัมประสิทธิ์ของ x : 0 = C[ (1)(2)(3)(4)(5)(6) + (2)(3)(4)(5)(6)(k) + (3)(4)(5)(6)(k)(1) + (4)(5)(6)(k)(1)(2) + (5)(6)(k)(1)(2)(3) + (6)(k)(1)(2)(3)(4) +(k)(1)(2)(3)(4)(5) ]

0 = C[720 + 720k + 360k + 240k + 180k + 144k + 120k]

0 = C[720 + 1764k] แต่ C ไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น k = -720/1764 = -20/49
ดังนั้น $C = -\frac{1}{6!}(\frac{49}{20})$

แทน x = 7 ลงในสมการ (1) :
$7^2f(7) - 1 = -\frac{1}{6!}(\frac{49}{20})6!(7 + \frac{20}{49}) = -\frac{363}{20}$
$7^2f(7) = -\frac{343}{20} = -\frac{7^3}{20}$

นั่นคือ f(7) = -7/20

[Pramote]

ขอขอบคุณ คุณNongtum + คุณgonเป็นอย่างมากผมเริ่มเข้าใจแล้ว เหมือนเด็กหัดเรียนใหม่ไว้สอนลูกสาวม.6 (พี่ของแจ๊บ) หลักพีชคณิตก็ไม่แน่นConcruenceก็ไม่เก่ง กำลังหัดอยู่ ตอนนี้เข้าใจแจ่มแจ้งทั้ง2ข้อ เรื่องเงินรางวัลผมไม่สนใจหรอก สนใจแต่วิชาคณิตศาสตร์เพื่อเอามาสอนลูก อายุก็มากแล้วชอบคิดวิชาคณิตศาสตร์ จะได้ไม่เป็นโรคอัลไซเมอร์
ขอบคุณมากๆๆๆๆๆครับ

[Pramote]

ถึงคุณgon
ขอรบกวนอีกครั้งหนึ่งตรงบรรทัดนี้ เทียบสัมประสิทธิ์ของ x : 0 = C[ (1)(2)(3)(4)(5)(6) + (2)(3)(4)(5)(6)(k) + (3)(4)(5)(6)(k)(1) + (4)(5)(6)(k)(1)(2) + (5)(6)(k)(1)(2)(3) + (6)(k)(1)(2)(3)(4) +(k)(1)(2)(3)(4)(5) ]
ไม่เข้าใจแทนค่าอย่างไร ต้องคูณออกมาแล้วเทียสัมประสิทธิ์ใช่ไหมครับ ผมงงจังเลยบรรทัดนี้บรรทัดเดียวเท่านั้น มันมีวงเล็บ7วงเล็บเลยขี้เกียจคูณ ช่วยอธิบายเฉพาะส่วนนี้ให้เข้าใจหน่อยครับ

[gon]

ลองพิจารณาผลการกระจายพหุนามกำลัง 2, 3, 4 ต่อไปนี้ โดยสังเกตเฉพาะสัมประสิทธิ์ของ x กำลัง 1 เท่านั้นนะครับ.
$(x-a)(x-b) = x^2 - (a + b)x + ab$
$(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc$
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4 - (a+b+c+d)x^3 + (ab + ac + ad + bc + bd + cd)x^2 $
$- (abc + abd + acd + bcd)x + abcd$

สัมประสิทธิ์ของ x (โดยยังไม่ดูเครื่องหมาย +-)
ก็จะคือ ผลบวกของผลคูณทีละ n - 1 ครั้งของ a, b, c, ... ของพหุนามกำัลัง n นั่นเอง.

ในที่นี้มี 7 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, k
ผลบวกของผลคูณทีละ 6 ครั้งของจำนวนทั้งหมด 1, 2, 3, 4, 5, 6, k จะมีอยู่ ${7 \choose 6}$ = 7 ชุด

[Pramote]

ขอขอบคุณ พี่GONเข้าใจแล้วครับ อธิบายได้ดีมากๆเลยครับ