marathon:ม.ปลาย

[~ArT_Ty~]

มาต่อกันอีกดีมั้ยครับ

[PP_nine]

มาได้จังหวะพอดีเลย เพิ่งไปสอบ กพ มา

มีข้อนึงคาใจมาก งงกับโจทย์ ทำไปทำมาก็ไม่มีคำตอบ

จงแสดงวิธีหาสมการพาราโบลาที่มีแกน (แกนอะไรไม่รู้ โจทย์บอกแค่นี้) อยู่บน $y=2$

โดยที่พาราโบลาตัดกับกราฟ $y=2^{x+1}$ สองจุดด้วยกัน และจุดกึ่งกลางสองจุดนั้นคือจุด $(2,10)$
________________________________________________________________________________

ทำได้แล้วครับ คาดว่าคงเป็นแกนสมมาตรตามที่ควรจะเป็นแหละครับ

[mebius]

ผมได้
$147x=2(y-2)^2+139$ไม่รู้ถูกไหมครับ

[PP_nine]

งั้นมาต่อโจทย์ทุน กพ. ข้อนึง ไม่รู้ว่าคนอื่นจะทำยังไง แต่ผมแอบใช้ integration by part เอาครับ แหะๆ

อินทิเกรท $\int x(x-1)^n \, dx$ ออกมาในเทอมของ $n$ (ท่าทางจะต้องแยกกรณีที่ $n=-1$ เอาไว้)

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

งั้นมาต่อโจทย์ทุน กพ. ข้อนึง ไม่รู้ว่าคนอื่นจะทำยังไง แต่ผมแอบใช้ integration by part เอาครับ แหะๆ

อินทิเกรท $\int x(x-1)^n \, dx$ ออกมาในเทอมของ $n$ (ท่าทางจะต้องแยกกรณีที่ $n=-1$ เอาไว้)

ผมลองทำดูแล้วได้ $$\frac{x(x-1)^{n+1}}{n+1}-\frac{(x-1)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}+C$$

ป.ล. ใช้ by part แหละครับ ^^'

มีอีกวิธีครับ จาก $x(x-1)^n=(x-1)^{n+1}+(x-1)^{n}$ จะได้ว่า

$$\int x(x-1)^n\,dx = \int (x-1)^{n+1}\,dx+\int (x-1)^n\,dx=\frac{(x-1)^{n+2}}{n+2}+\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1} +C,(dx=d(x-1))$$

แต่ไม่แน่ใจว่าสองค่านี้เท่ากันมั้ยอ่ะครับ 555

[PP_nine]

ถ้าทำถูกก็ต้องเท่ากันอยู่แล้ว เพราะค่าคงที่จะเป็นเท่าไหร่เรายังไม่รู้

เหมือนกับพวกอินเวอร์สตรีโกณที่คำตอบต่างกัน แต่ความจริงแล้วแค่บวกค่าคงที่ก็ได้คำตอบที่เหมือนกัน

ปล.ลืมบวกค่าคงที่แน่ะ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ถ้าทำถูกก็ต้องเท่ากันอยู่แล้ว เพราะค่าคงที่จะเป็นเท่าไหร่เรายังไม่รู้

เหมือนกับพวกอินเวอร์สตรีโกณที่คำตอบต่างกัน แต่ความจริงแล้วแค่บวกค่าคงที่ก็ได้คำตอบที่เหมือนกัน

ปล.ลืมบวกค่าคงที่แน่ะ

จิงด้วยคับ ว่าแต่มีโจทย์ กพ. ของปีนี้อีกมั้ยอ่ะครับ ช่วยเอามาลงด้วยครับ

[PP_nine]

จำไม่ค่อยได้ละครับ วันนี้เจอเคมีโจทย์ยาวเกือบหน้าจนมึนละ

แต่จำข้อแรกได้ เพราะมีคนผิดกันเยอะ มาถามกันเยอะ

1)กำหนดให้

$A=\left\{\, x \mid ||x|-3|\cdot||x|+3|<7 \right\} $
$B=\left\{\, x \mid \sqrt[3]{3x+1} > \sqrt{x+1} \right\} $
$C=\{ p \mid p$ เป็นจำนวนเฉพาะบวก และ $ p|(2554-p)^2\} $
$D=\{ n \mid n$ เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ $0$ ถึง $100$ และไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $21 \}$

จงหาจำนวนสมาชิกของ $(A \cap \mathbb{N} ) \cup (B \cap \mathbb{N} )$
จงหาเซต $C-D$


2)กระป๋องรูปทรงกระบอกมีฝาปิดปริมาตร 1 ลิตร จงบอกความยาวรัศมี และความยาวส่วนสูงที่ทำให้ใช้โลหะ (พื้นผิว) น้อยที่สุด (แนะนำ : $1000 (L) = 1 (m^3)$)

3)มีถุงเท้า 7 คู่สีต่างกัน จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบทีละข้างแล้วได้ 2 ข้างที่มีสีเหมือนกัน

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

3)มีถุงเท้า 7 คู่สีต่างกัน จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบทีละข้างแล้วได้ 2 ข้างที่มีสีเหมือนกัน

เหตุการณ์ทั้งหมด 14*13

เหตุการณ์ให้หยิบได้สีแรก 2*1
เหตุการณ์ให้หยิบได้สีสอง 2*1
.
.
.
เหตุการณ์ให้หยิบได้สีเจ็ด 2*1

ดังนั้น เหตุการณ์ที่สนใจจะมี 2+2+2+2+2+2+2 = 14

ตอบ $\frac{14}{13*14}$ $=$ $\frac{1}{13}$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 ได้ $(A \cap \mathbb{N} ) \cup (B \cap \mathbb{N} )
=\left\{\,1,2,3,4,5,6\right\} $ มีสมาชิก 6 ตัวครับ

ข้อ 2 ได้ว่า $C-D=\left\{\,2,1277\right\} $ ครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

2)กระป๋องรูปทรงกระบอกมีฝาปิดปริมาตร 1 ลิตร จงบอกความยาวรัศมี และความยาวส่วนสูงที่ทำให้ใช้โลหะ (พื้นผิว) น้อยที่สุด (แนะนำ : $1000 (L) = 1 (m^3)$)

เฉลยข้อนี้ให้ละกัน ข้อนี้ก็ต้องใช้อนุพันธ์มาหาค่าต่ำสุด แล้วก็เช็คอีกทีด้วยอนุพันธ์อันดับสอง ว่าเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

เพื่อความรวดเร็ว ผมเชื่อว่าหลายคนคงจะรู้จัก AM-GM ดี จึงขอใช้เพื่อความสะดวก ดังนี้

สำหรับจำนวนจริงบวก $a_1,a_2,...,a_n$ ทั้ง $n$ ตัว จะสอดคล้องอสมการ
$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n}$$
โดยสมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a_1=a_2=\cdots=a_n$

ให้รัศมีฐานและส่วนสูงยาว $r,h$ เมตร ตามลำดับ

ปริมาตรคือ $10^{-3}$ $m^3$ เขียนสมการได้เป็น $\pi r^2h = \dfrac{1}{1000}$

หรือก็คือ $h=\dfrac{1}{1000 \pi r^2}$ แทนลงไปในสูตรพื้นที่ผิว $f(r)$ เป็น
$$f(r)=2 \pi r^2 + \frac{1}{500r}$$
โดย AM-GM ได้ว่า
$$f(r)=2 \pi r^2 + \frac{1}{1000r}+\frac{1}{1000r} \ge 3\sqrt[3]{\frac{2 \pi}{10^6}}$$
ผลที่ได้คือ พื้นผิวน้อยสุดเกิดเมื่อ $2 \pi r^2 = \dfrac{1}{1000r}$ หรือก็คือ $r=\dfrac{1}{10 \sqrt[3]{2 \pi}}$ และได้ $h=\dfrac{1}{\sqrt[3]{250 \pi}}$ ในหน่วยเมตร

(จะใช้อนุพันธ์คำตอบก็เท่ากันครับ )