ปัญหาตรีโกณ :))

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

โจทย์นี้อาจจะทำให้เห็นการผสมผสานความรู้ให้มากยิ่งขึ้น (วิธีคล้ายกับที่พี่ gon เคยทำบ่อยๆ)

หาค่าของ $$\sin 3^{\circ} \sin 33^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 69^{\circ} \sin 75^{\circ}$$

ได้ $$\frac{2\sqrt{6}+\sqrt{2}}{32}$$

หรือเปล่าครับ

[PP_nine]

เกือบถูกแล้วครับ

Solution

พิจารณารากสมการ $\sin 5\theta = \sin 15^{\circ}$

ซึ่งมีคำตอบเป็น $\sin 3^{\circ}, \sin 75^{\circ}, \sin 147^{\circ}, \sin 219^{\circ}, \sin 291^{\circ}$

หรือก็คือ $\sin 3^{\circ}, \sin 75^{\circ}, \sin 33^{\circ}, -\sin 39^{\circ}, -\sin 69^{\circ}$


พิจารณา $\cos 5\theta+i\sin\theta = (\cos \theta + i \sin \theta)^5$

กระจายแล้วเทียบส่วนจินตภาพได้ว่า $\sin 5\theta = 16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta$

จาก $\sin 15^{\circ} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ สมการเดิมเปลี่ยนเป็น

$16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=0$

ผลคูณรากคำตอบเป็น $(\sin 3^{\circ})(\sin 75^{\circ})(\sin 33^{\circ})(-\sin 39^{\circ})(-\sin 69^{\circ})=-\Big( -\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4 \times 16} \Big)$

ซึ่งก็ทำให้ $\sin 3^{\circ}\sin 33^{\circ}\sin 39^{\circ}\sin 69^{\circ}\sin 75^{\circ} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{64}$ #

[~ArT_Ty~]

มีโจทย์แบบนี้อีกมั้ยอ่ะครับ

[BLACK-Dragon]

My Solution

$\sin 3^{\circ} \sin 33^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 69^{\circ} \sin 75^{\circ}=\left(\,\dfrac{\cos 30^\circ+\cos 72^\circ}{2}\right) \left(\,\dfrac{\cos 30^\circ-\cos 36^\circ}{2}\right) \left(\,\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ \ \ \ =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}\left(\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 72^\circ \right) \left(\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos 36^\circ\right) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ \ \ \ =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{64}\left(\,2-\sqrt{3}\right) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ \ \ \ = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{64}$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

มีโจทย์แบบนี้อีกมั้ยอ่ะครับ

แต่งให้ครับ ถ้าอยากได้แนวทฤษฎีสมการ
จงหาค่าของ $$\cos^5 5^{\circ}+\cos^5 125^{\circ}+\cos^5 245^{\circ}$$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

แต่งให้ครับ ถ้าอยากได้แนวทฤษฎีสมการ
จงหาค่าของ $$\cos^5 5^{\circ}+\cos^5 125^{\circ}+\cos^5 245^{\circ}$$

ได้ $$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{64}$$
หรือเปล่าครับ??

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ได้ $$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}$$

หรือเปล่าครับ??

ยังไม่ถูกครับ.

คำตอบคือ

$$\frac{15(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{64}$$

[~ArT_Ty~]

มีวิธีทำมั้ยอ่ะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

มีวิธีทำมั้ยอ่ะครับ

solution

พิจารณาสมการ $\cos 3A = \cos 3\theta$
จะได้ว่า $\cos A = \cos \theta, \cos(2\pi/3 + \theta), \cos(4\pi/3 + \theta)$
เป็นรากของสมการ $4\cos^3A - 3\cos A - \cos 3 \theta = 0$


ถ้า $a + b + c = 0$ แล้วจะได้ว่า $a^5+b^5+c^5 = -5abc(ab+bc+ca)$

แทนค่าจะได้

$\cos^5 \theta + \cos^5 (2\pi/3 + \theta) + \cos^5(4\pi/3 + \theta) = -5(-\frac{3}{4})\frac{\cos 3\theta}{4}$

เลือก $\theta = 5^{\circ}$

[A.DreN@l_ine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$\sin 3^{\circ} \sin 33^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 69^{\circ} \sin 75^{\circ}=\left(\,\dfrac{\cos 30^\circ+\cos 72^\circ}{2}\right) \left(\,\dfrac{\cos 30^\circ-\cos 36^\circ}{2}\right) \left(\,\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ \ \ \ =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}\left(\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 72^\circ \right) \left(\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos 36^\circ\right) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ \ \ \ =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{64}\left(\,2-\sqrt{3}\right) $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ \ \ \ = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{64}$

$4\left(\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 72^\circ \right) \left(\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos 36^\circ\right)=\left(\,2-\sqrt{3}\right)$ มายังไงเหรอครับ

[polsk133]

เข้ามาขอคำแนะนำหน่อยครับ

คือว่าเรื่องฟังก์ชันตรีโกณตอนเรียนแรกๆผมก็คิดว่าสนุกดีลูกเล่นเยอะดี แต่พอไม่ได้เรียนสักพัก(เรียนจากที่เรียนพิเศษอยู่ในห้องเรียนเนื้อหาตามหลักสูตร)ผมก็เริ่มลืมสูตร ลองค้นๆดูบางแหล่งก็บอกว่าให้จำว่า cos+cos ได้ cosคูณcos อะไรพวกนี้แล้วผมก็ลืม เวลาเข้ามาในเว็บนี้เจอโจทย์ตรีโกณ ม.ปลาย ก็หมดสนุกเลย เลยอยากได้คำแนะนำว่าจะทำยังไงให้จำได้ดีครับ ทำโจทย์บ่อยๆ(แต่โจทย์ในนี้ผมก็ว่ายังยากอยู่) หรือ ท่องทุกวัน หรือเข้าใจวิธีพิสูจน์(แต่ก็อาจลืมวิธีพิสูจน์55+)

ตอนเริ่มแรกจำ ใช้วิธีอะไรกันหรอครับ

[~ArT_Ty~]

ท่องครับ และก็ลองฝึกทำดูครับ เริ่มจากโจทย์ง่ายๆก่อน

ในหนังสือก็ได้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ A.DreN@l_ine

$4\left(\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 72^\circ \right) \left(\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos 36^\circ\right)=\left(\,2-\sqrt{3}\right)$ มายังไงเหรอครับ

ลองการะจายแล้วก็ลองหาค่าที่ติดอยู่ครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

เข้ามาขอคำแนะนำหน่อยครับ

คือว่าเรื่องฟังก์ชันตรีโกณตอนเรียนแรกๆผมก็คิดว่าสนุกดีลูกเล่นเยอะดี แต่พอไม่ได้เรียนสักพัก(เรียนจากที่เรียนพิเศษอยู่ในห้องเรียนเนื้อหาตามหลักสูตร)ผมก็เริ่มลืมสูตร ลองค้นๆดูบางแหล่งก็บอกว่าให้จำว่า cos+cos ได้ cosคูณcos อะไรพวกนี้แล้วผมก็ลืม เวลาเข้ามาในเว็บนี้เจอโจทย์ตรีโกณ ม.ปลาย ก็หมดสนุกเลย เลยอยากได้คำแนะนำว่าจะทำยังไงให้จำได้ดีครับ ทำโจทย์บ่อยๆ(แต่โจทย์ในนี้ผมก็ว่ายังยากอยู่) หรือ ท่องทุกวัน หรือเข้าใจวิธีพิสูจน์(แต่ก็อาจลืมวิธีพิสูจน์55+)

ตอนเริ่มแรกจำ ใช้วิธีอะไรกันหรอครับ

วิธีผม ผมเริ่มจากตั้งแต่ 0 แล้วค่อยๆเดินช้าๆ เลยว่า

$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$ มันมาได้ยังไง ?

พอรู้อันนี้ปุ๊บก็ลองไปหาสูตรอื่นๆแล้วพิสูจน์ ให้มันเป็น original ของตัวเองไปเลย ไม่ลืมแน่ครับ