โจทย์สมการวงกลมในภาคตัดกรวย

[pood]

คิดยังไงก็ไม่ออกอ่ะค่ะ ช่วยหน่อยนะคะ

สมการของวงกลมที่ผ่านจุดตัดกันของวงกลม $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 4 = 0$ และ $x^2 + y^2 +2x -4y - 6 = 0$ และ มีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง y = x คือสมการใด

[gon]

อย่างแรกต้องแก้สมการหาจุดตัดของสมการวงกลมทั้งสองก่อนครับ

แก้ได้หรือเปล่า?

[mercedesbenz]

ช่วยอีกแรงครับลองเอาสองสมการมาลบกัน แล้วจัดตัวแปร x ในเทอม y หรือ y ในเทอม x ก็ได้
แล้ว แทนกลับเข้าไปในสมการวงกลมไหนก็ได้จะได้สมการที่มีตัวแปรเดียวแล้วครับ
แล้วแก้หาจุดตัดเอานะครับ

[munoi]

แสดงวิธีทำให้ดูหน่อยได้ไม๊ค๊า ไม่แน่ใจว่าถูกไม๊ เหอะๆ ^_^

[หยินหยาง]

จากโจทย์จะได้
$x^2+y^2+2x-4y-6 = x^2+y^2-6x+2y+4$
จะได้ว่า $y =\frac{4}{3} x-\frac{5}{3}$
นำ $y$ ที่ได้จากข้างบนไปแทน ลงในสมการวงกลมใดก็ได้ ในที่นี้จะแทนในสมการนี้
$x^2+(\frac{4}{3} x-\frac{5}{3})^2+2x-4(\frac{4}{3} x-\frac{5}{3})-6 = 0$
จะหาค่าได้ว่า $ x = \frac{7 \pm 3\sqrt{2}} {5} $ แล้วนำไปหาค่า $y $จะได้ว่า
$ y = \frac{1 \pm 4\sqrt{2}} {5} $
ดังนั้นจะได้จุดตัด $(x,y)$ เนื่องจากจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง $y=x$ ซึ่งก็คือการหาระยะทางระหว่างจุดตัดของวงกลมกับจุดศูนย์กลาง ซึ่งก็คือรัศมี
แล้วแ้ก้สมการจะได้ว่าจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(\frac{5}{7} ,\frac{5}{7})$
ต่อจากนั้นนำไปแทนค่าหารัศมีได้ $r^2 = \frac{134}{49}$
ดังนั้นสมการวงกลม คือ $ (x-\frac{5}{7})^2+(y-\frac{5}{7})^2 = \frac{134}{49}$
หวังว่าคงเข้าใจนะครับ

[pood]

เราอ่านเฉลยในหนังสืออ่ะค่ะ แต่ว่า เขามีข้อความมาบอกว่า (ตามรูป) งงว่าไอ้สมการวงกลมที่สมมติมาใหม่ มันมาได้ไงเร๋อ

ให้วงกลมที่ผ่านจุดตัดของวงกลมที่โจทย์กำหนดมาให้ทั้งสองวง มีสมการ คือ

$x^2 + y^2 -6x + 2y + 4 + k(x^2 + y^2 + 2x -4y-6) = 0$

[gon]

คำถามด้านบนอธิบายได้ไม่ยาก ดังนี้ครับ.

ทฤษฎีบท : ถ้าวงกลม $C_1 : x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ ตัดกับวงกลม $C_2 : x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$ แล้วจะได้ว่า $(x^2 + y^2 + ax + by + c) + k(x^2 + y^2 + dx + ey + f ) = 0$ เป็นสมการวงกลมที่ผ่านจุดตัดของวงกลม $C_1$ และ $C_2$ เมื่อ $k \ne -1$

การพิสูจน์ : เนื่องจาก $C_1 + kC_2$ แทน
$(x^2 + y^2 + ax + by + c) + k(x^2 + y^2 + dx + ey + f ) \quad \cdots (*) $

$= (1+k)x^2 + (1+k)y^2 + (a+kd)x + (b+ke)y + c + kf $

ดังนั้น $C_1 + kC_2 = 0$ จะแทน
$= (1+k)x^2 + (1+k)y^2 + (a+kd)x + (b+ke)y + c + kf = 0 $

ซึ่งสมมูลกับ $ x^2 + y^2 + (\frac{a+kd}{1+k})x + (\frac{b + ke}{1+k})y + \frac{c + kf}{1 + k} = 0 $

และตรงกับรูปทั่วไปของสมการวงกลม เมื่อ $k \ne - 1$ ดังนั้น $C_1 + kC_2 = 0\quad$ จะเป็นสมการวงกลมแน่นอน

แล้วทำไม ถึงเป็นสมการวงกลมที่ผ่านจุดตัดของวงกลมทั้งสอง?

สมมติให้จุดตัดของวงกลมทั้งสองแทนด้วย $P_1(x_1, y_1) , P_2(x_2, y_2)$

เนื่องจากจุดตัด $P_1, P_2$ อยู่บนวงกลมทั้งสอง

นั่นคือ

$x_1^2 + y_1^2 + ax_1 + by_1 + c = 0$
$x_2^2 + y_2^2 + ax_2 + by_2 + c = 0$
$x_1^2 + y_1^2 + dx_1 + ey_1 + f = 0$
$x_2^2 + y_2^2 + dx_2 + ey_2 + f = 0$

จาก (*) ถ้าแทนด้วย $(x_1, y_1)$ ก็จะได้ว่า $C_1 + kC_2$ = 0 + k(0) = 0
ในทำนองเดียวกัน ถ้าแทนด้วย $(x_2, y_2)$ ก็จะได้ว่า $C_1 + kC_2$ = 0 + k(0) = 0

นั่นคือ $(x_1, y_1) , (x_2, y_2)$ อยู่บนกราฟของสมการ $C_1 + kC_2 = 0$

แต่ $C_1 + kC_2 = 0$ เป็นสมการวงกลม

จึงสรุปได้ว่า $C_1 + kC_2 = 0$ เป็นสมการวงกลมที่ผ่านจุดตัดทั้งสองของสมการวงกลม #

คำถามฝากทิ้งเป็นการบ้าน : ถ้า $k = -1$ จะได้ว่าสมการ $C_1 +kC_2 = 0$ แทนสมการของอะไร และมีลักษณะอย่างไร ลองคิดดูครับ

[pood]

ขอบคุณพวกพี่ที่ช่วยมาตอบให้ค่ะ สำหรับการบ้านที่พี่ gon ถามมาว่าถ้ k = -1 แล้ว สมการก็จะกลายเป็นสมการเส้นตรงทันที