อินทีเกรตครับ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kheerae

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}}$$
มันอยู่ในรูปฟอร์ม
$$\sqrt{a^2 - u^2}$$
หรือ
$$a^2 - u^2$$
ดังนั้นจะกำหนดให้
$$u = asin\theta = \frac{3}{4}sin\theta = x-\frac{3}{4}$$
$$du = \frac{3}{4}cos\theta {d\theta} = dx$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\frac{3}{4}cos\theta {d\theta}}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(\frac{3}{4}sin\theta )^2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} \int \frac{\frac{3}{4}cos\theta {d\theta}}{\sqrt{1-(sin\theta )^2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{cos\theta {d\theta}}{\sqrt{(cos\theta)^2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int d\theta$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\theta +C$$
$$sin\theta = \frac{x - \frac{3}{4}}{\sqrt{\left(\,\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2 }}$$
$$\theta =sin^{-1}\left(\, \frac{x - \frac{3}{4}}{\sqrt{\left(\,\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2 }}\right)$$

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{3x-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}\left(\, \frac{x - \frac{3}{4}}{\sqrt{\left(\,\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2 }}\right) + C$$
เมื่ออินทิเกรตเสร็จแล้วต้องใช้สามเหลี่ยมตรีโกณมาช่วยอีกที ซึ่งจะใช้ค่า sin ในตอนแรกเลยไม่ได้ครับ
ต้องวาดรูปสามเหลี่ยมตรีโกณออกมาแล้วถึงจะเอาค่าไปแทนได้

บรรที่8 ที่จริงน่าจะมีเงื่อนไขที่ว่า $-\frac{\pi }{2}\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$ เพราะ $\sqrt{cos^2\theta}=|cos\theta|$
แล้วค่า $sin\theta คือ sin\theta=\frac{u}{a} ซึ่ง u =x-\frac{3}{4} และ a = \frac{3}{4} ไม่ใช่หรอคับ$
ซึ่งคำตอบน่าจะเป็น $\frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}(\frac{4x-3}{3})+C$

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x = e
\]

$=\frac{\lim_{x \to \infty} }{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x$

อยู่ในรูป $1^{\infty} $ เป็น indeterminate from

ต้องหาลิมิตของ $ln(1+\frac{1}{x})^x$

$\lim_{x \to \infty} xln(1+\frac{1}{x})$

$e^{\lim_{x \to \infty} xln(1+\frac{1}{x})}$

$\lim_{x\to\infty} \frac{ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

อยู่ในรูป $\frac{0}{0}$ ใช้กฏของโลปิตาล

$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{1+1/x}(\frac{-1}{x^2})}{\frac{-1}{x^2}}$

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+1/x} =1 $

ได้ $e^1$

ตอบ e คับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

[hidden=Hint 1]
$$\therefore\int_{-2}^{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{16-x^2}}{8}dx$$
$$=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}2\cos^2{\theta}d\theta$$

คือ $2\sqrt{2}$ เปลี่ยนเป็น $\frac{\pi}{4}$ ยังไงหรอครับ
มีหลักในการเปลี่ยนเป็นเรเดียนหรือเปล่าครับ ช่วยตอบหน่อยครับ ขอบคุณครับ

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

คือ $2\sqrt{2}$ เปลี่ยนเป็น $\frac{\pi}{4}$ ยังไงหรอครับ
มีหลักในการเปลี่ยนเป็นเรเดียนหรือเปล่าครับ ช่วยตอบหน่อยครับ ขอบคุณครับ

ผมว่าน่าจะอินทริเกรตแล้วแปลงกลับมาก่อนนะครับแล้วค่อยแทนค่า จะได้ไม่ต้องกังวลเรื่องการเปลี่ยนการแทนค่า

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kheerae

ผมว่าน่าจะอินทริเกรตแล้วแปลงกลับมาก่อนนะครับแล้วค่อยแทนค่า จะได้ไม่ต้องกังวลเรื่องการเปลี่ยนการแทนค่า

อ่อ ขอบคุณครับ