โจทย์น่าสน

[Siren-Of-Step]

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3$
$x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 10$
$x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 17$
$.$
$.$
$.$
$x_{60} + x_{61} + x_{62} + x_{63} = 416$
$x_{61} + x_{62} + x_{63} + x_1 = 423$
$x_{62} + x_{63} + x_1 + x_2 = 430$
$x_{63} + x_1 + x_2 + x_3 = 437$

จงหา $x_{63} - x_1$

2. กำหนด $a^3 = b^3$ และ $a \not= b$

$ A = \frac{a}{a+b} + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2547}$

$B = \frac{b}{a+b} + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2547}$

จงหาค่าของ $-100(A+B)$

3. . กำหนดให้ x>0 และ
$$\frac{1}{x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^4}}}} = \frac{1}{1+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^5}}}} - \frac{1}{x^2+\frac{1}{x+\frac{1}{x^4+\frac{1}{x^3}}}}$$ เซตคำตอบของสมการคือเท่าใด

[Siren-Of-Step]

ไม่มีใครทำเลย สงสัยมันง่ายเกินไป

[หยินหยาง]

ต้องการเฉลยหรือเอามาให้ทำครับ ถ้าต้องการเฉลยลองค้นกระทู้เก่าดูครับ น่าจะเป็นข้อสอบเพชรยอดมงกุฎมั้ง ถ้าจำไม่ผิด

[Siren-Of-Step]

ต้องการ hint ข้อ 3 อย่างเดียวครับ ตอนนี้ ได้ 2 ข้อแล้ว

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2. แปลกๆนะครับมันเป็นจำนวนเชิงซ้อนเหรอครับ

ให้ $a=\omega , b=\omega ^2$ เป็นรากที่สามของ 1

จะได้ $A=\sum_{n = 1}^{2547}(\frac{\omega }{\omega +\omega ^2})^n =\sum_{n = 1}^{2547}(-\omega )^n$

$B=\sum_{n = 1}^{2547}(-\omega ^2 )^n $

$\therefore 100(A+B)=\sum_{n = 1}^{2547}(-(\omega +\omega ^2))^n=254700 $

[PoSh]

ถ้าจำไม่ผิดข้อ 3 เป็นข้อสอบเก่าแล้วนะครับ (เคยเจอในหนังสือ) ลองดูดีๆนะครับมันสามารถดึง x ออกมาได้ในแต่หละส่วนอ่ะครับ แล้วจัดรูปไปจัดรูปมาจะได้
$x^2 - x - 1 = 0 $

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

3. . กำหนดให้ x>0 และ
$$\frac{1}{x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^4}}}} = \frac{1}{1+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^5}}}} - \frac{1}{x^2+\frac{1}{x+\frac{1}{x^4+\frac{1}{x^3}}}}$$ เซตคำตอบของสมการคือเท่าใด

$hint : $ ลองแทน

$ \frac{1}{1+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^5}}}} = A $

[Siren-Of-Step]

เอามาเพิ่มเห็นว่าน่าสนใจ (ทำได้หมดแล้ว ใครจะทำเชิญเลยครับ)
1. ให้ (a,b,c) เป็นจำนวนจริงในระแบบสมการ $x^3-xyz = 2 ,y^3-xyz = 6 ,z^3-xyz = 20$ โดยนำค่า $x^3+y^3+z^3$น้อยที่สุด มาเขียนในรูป $\frac{m}{n}$ โดย $n$ เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด จงหา $m+n$

2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงซึ่งไม่เท่ากับ 0 และ$a+b+c = 0$
$a^3+b^3+c^3 = a^5+b^5+c^5$ จงพิสูจน์ว่า $a^2+b^2+c^2 = \frac{6}{5}$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

เอามาเพิ่มเห็นว่าน่าสนใจ (ทำได้หมดแล้ว ใครจะทำเชิญเลยครับ)
1. ให้ (a,b,c) เป็นจำนวนจริงในระแบบสมการ $x^3-xyz = 2 ,y^3-xyz = 6 ,z^3-xyz = 20$ โดยนำค่า $x^3+y^3+z^3$น้อยที่สุด มาเขียนในรูป $\frac{m}{n}$ โดย $n$ เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด จงหา $m+n$

2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงซึ่งไม่เป็นลบและ$a+b+c = 0$
$a^3+b^3+c^3 = a^5+b^5+c^5$ จงพิสูจน์ว่า $a^2+b^2+c^2 = \frac{6}{5}$

มันขัดแย้งยังไงๆอยู่นะครับ อย่างนี้ก็ได้ $a=b=c=0$ สิครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

มันขัดแย้งยังไงๆอยู่นะครับ อย่างนี้ก็ได้ $a=b=c=0$ สิครับ

โทษทีครับ ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงซึ่งไม่เท่ากับ 0

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงซึ่งไม่เท่ากับ 0 และ$a+b+c = 0$
$a^3+b^3+c^3 = a^5+b^5+c^5$ จงพิสูจน์ว่า $a^2+b^2+c^2 = \frac{6}{5}$

ข้อนี้มาจาก

$\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=\Big(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\Big)\Big(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\Big)$

[Siren-Of-Step]

ยัง งง ข้อ 3 ที่ คุณ mind hint อยู่เลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ยัง งง ข้อ 3 ที่ คุณ mind hint อยู่เลยครับ

ก็ดูว่าแต่ละก้อนสัมพันธ์กับ $A$ ยังไงบ้าง เช่น

$\dfrac{A}{x}$ หน้าตาจะไปคล้ายกับก้อนไหนบ้างรึปล่าว

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

3. . กำหนดให้ x>0 และ
$$\frac{1}{x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^4}}}} = \frac{1}{1+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^5}}}} - \frac{1}{x^2+\frac{1}{x+\frac{1}{x^4+\frac{1}{x^3}}}}$$ เซตคำตอบของสมการคือเท่าใด

ผมว่าโจทย์ข้อนี้น่าจะผิด ที่ถูกควรเป็น

3. . กำหนดให้ x>0 และ
$$\frac{1}{x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^4}}}} = \frac{1}{1+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^5}}}} - \frac{1}{x^2+\frac{1}{\color{red}{x^2}+\frac{1}{x^4+\frac{1}{x^3}}}}$$ เซตคำตอบของสมการคือเท่าใด

งั้นเรามาลองตัวเลขง่ายๆกันดู

สมมุติว่า $A = \dfrac{1}{3+\frac{1}{3}}$

ถ้าเราเอา 3 คูณ ก็จะได้ $\color{red}{3}A = \dfrac{\color{red}{3}}{3+\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{\frac{3}{\color{red}{3}} + \frac{1}{\color{red}{3}\cdot 3}}$ ....(*)

จากโจทย์ ให้ $ \ \ A = \dfrac{1}{x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^4}}}} $

เอา $x$ คูณ $(x\not= 0) \ $ จะได้ $ \ \ \color{red}{x}A = \dfrac{1}{\dfrac{x}{\color{red}{x}}+\dfrac{1}{\color{red}{x}x^2+\dfrac{1}{\dfrac{x^3}{\color{red}{x}}+\dfrac{1}{\color{red}{x} \cdot x^4}}}} = \dfrac {1}{1+ \dfrac{1}{x^3 +\dfrac{1}{x^2 +\dfrac{1}{x^5}}}} \ \ \ $ ....(**)





สมมุติว่า $A = \dfrac{1}{3+\frac{1}{3}}$

ถ้าเราเอา 3 หาร $(x\not= 0) \ $ก็จะได้ $ \dfrac{A }{\color{red}{3}} =\dfrac{1}{\color{red}{3}} \times \dfrac{1}{3+\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{\color{red}{3} \cdot 3+\dfrac{\color{red}{3}}{3}} \ \ \ $....(***)

จากโจทย์ ให้ $ \ \ A = \dfrac{1}{x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^3+\frac{1}{x^4}}}} $

ถ้าเราเอา $x$ หาร $(x\not= 0) \ $ ก็จะได้ $\dfrac{A}{\color{red}{x}} = \dfrac{1}{\color{red}{x}\cdot x+ \dfrac{\color{red}{x}}{\color{red}{x}\cdot x^2 + \dfrac{\color{red}{x}}{\color{red}{x}\cdot x^3+\dfrac{\color{red}{x}}{x^4}}}}$

$= \dfrac{1}{x^2+ \dfrac{x}{x^3 +\dfrac{x}{x^4+\dfrac{1}{x^3}}}} = \frac{1}{x^2+ \dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^4+\dfrac{1}{x^3}}}}$


จากรูปแบบโจทย์ เราจะได้

$A = xA - \frac{A}{x}$

$x^2A - Ax -A = 0$

$A \not= 0 ---> x^2-x-1 =0$

$x = \dfrac{1\pm \sqrt{1-4(1)(-1)} }{2} = \dfrac{1\pm \sqrt{5} }{2}$

แต่โจทย์กำหนด $x > 0$ ดังนั้น $x = \dfrac{1+\sqrt{5} }{2}$

ตอบ เซตคำตอบของสมการคือ $ \dfrac{1+\sqrt{5} }{2}$



หมายเหตุ ยังไม่ได้แทนค่ากลับไป ว่าค่านี้ใช้ได้ไหม <--- ขี้เกียจ

[MiNd169]

ผมว่าโจทย์ถูกแล้วนะครับ

ถ้าให้
$\ \ A = \dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^3+\dfrac{1}{x^4}}}}$

ตรงโจทย์ที่ คุณอา แก้จาก

$\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^3+\dfrac{1}{x^4}}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^3+\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^5}}}} - \dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x^4+\dfrac{1}{x^3}}}} $

เป็น

$ \dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^3+\dfrac{1}{x^4}}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^3+\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^5}}}} - \dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{\color{red}{x^2}+\dfrac{1}{x^4+\dfrac{1}{x^3}}}}$

จากการนำ $\dfrac{1}{x}$ หาร $A$ จะได้ว่า

$\dfrac{A}{\color{red}{x}} = \dfrac{1}{\color{red}{x}\cdot x+ \dfrac{\color{red}{1}}{\color{red}{\frac{1}{x}}\cdot x^2 + \dfrac{\color{red}{1}}{\color{red}{x}\cdot x^3+\dfrac{\color{red}{x}}{x^4}}}}$

$= \dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x^4+\dfrac{1}{x^3}}}}$

ผมว่าไม่ใช่

$= \dfrac{1}{x^2+ \dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^4+\dfrac{1}{x^3}}}}$

แบบนี้นะครับ