little combinatoric

[กิตติ]

ลองอ่านในArtofProblemsolving.....Ball-and-urn
กับในwikipedia.....Stars and bars (probability)

ผมก็กำลังอ่าน ยังไงลองมาแลกเปลี่ยนกันครับ

[MiNd169]

ขอบคุณครับ

ผมจะลองพยายามแปลละกัน (อังกฤษไม่แข็งซะด้วย - -)

[Siren-Of-Step]

ที่ค่าย 1 ไม่สอนหรอครับ

[MiNd169]

ไม่ได้สอนเลย ที่ศูนย์ มช. สอนด้วยหรอครับ

[Siren-Of-Step]

สอนครับ แต่ อสมการไม่สอนอะ T_T

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

สอนครับ แต่ อสมการไม่สอนอะ T_T

แสดงว่าสอน 5 เรื่องหรอครับ

[Siren-Of-Step]

ขอถามเพิ่มหน่อยครับ
1. มีอักษรและหมายเลข abcd123 จะจัดสลับตัวอักษรกับหมายเลขโดยลำดับตัวอักษรและหมายเลขคงเดิม(เช่น 1ab23cd)
2. ชาย 4 คนหญิง 6 คนยืนเรียงแถวหน้ากระดานได้กี่วิธี โดยแต่ละเพศเรียงตามลำดับความสูงจากสูงไปต่ำ
3. มีตัวอักษร A 2 ตัว B 2 ตัว Cและ D อย่างละตัว นำมาจัดลำดับคราวละ 4 ตัว มีแบบต่าง ๆ ไม่ซ้ำกันกี่แบบ
4. มีบัตร 100 ใบ ในจำนวนนี้มีบัตรที่ได้รับรางวัล 3 ใบ เราไปซื้อมา 4 ใบ จงหาจำนวนวิธีที่เราจะได้บัตรรางวัลอย่างน้อย 1 ใบ

[กิตติ]

โจทย์นี้ไม่น่าจะใช่ระดับ ม.ปลายแล้วมั้งครับ
อย่างข้อแรก ผมมองว่าเอาตัวเลขมาเป็นตัวแทรกระหว่างตัวอักษร
_a_b_c_d_
เอา 1 มาเลือกลงก่อน จะเห็นว่าลงได้ 5 วิธี หมายเลข 2 จะเหลือที่ลงได้เท่ากับที่ว่างที่เหลือทางขวามือ คือมีตั้งแต่$1,2,3,4$ ขึ้นกับตำแหน่งของการวางเลข 1
1a_b_c_d_ เลข2ลงได้ 4
a1_b_c_d_ เลข2ลงได้ 4
ab1_c_d_ เลข2ลงได้ 3
abc1_d_ เลข2ลงได้ 2
abcd1_ เลข2ลงได้ 1
พิจารณาแบบแรก
1a2b_c_d_ เลข 3 ลงได้ 3
1ab2_c_d_ เลข 3 ลงได้ 3
1abc2_d_ เลข 3 ลงได้ 2
1abcd2_ เลข 3 ลงได้ 1
ถ้านั่งไล่ก็เหมือนมันจะวน.....เกินความรู้ที่มีครับ ความรู้ระดับม.ปลายที่เรียนกันไม่น่าจะไขได้ครับ
น่าจะต้องใช้ความรู้ระดับในค่ายมากกว่าแล้วครับ
รอท่านผู้ชำนาญดีกว่าครับ

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

1. มีอักษรและหมายเลข abcd123 จะจัดสลับตัวอักษรกับหมายเลขโดยลำดับตัวอักษรและหมายเลขคงเดิม(เช่น 1ab23cd)

ข้อนี้ยังคงอยู่ในเนื้อหาระดับมัธยมปลายครับ เป็นการประยุกต์การจัดเรียงของซ้ำ

ให้ลองสังเกตดู 6 แบบต่อไปนี้ ซึ่งจะตรึงตำแหน่งของ abcd เรียงไว้คงเดิม ส่วน 123 จะสลับที่กันได้ 3! = 6 แบบนะครับ
1ab23cd
1ab32cd
2ab13cd
2ab31cd
3ab12cd
3ab21cd

เราจะเห็นได้ว่า ใน 3! แบบนี้ จะมีเพียง 1 แบบที่เข้าเงื่อนไขที่ต้องการ หรือกล่าวได้ว่า ทุก ๆ 3! แบบ จะคิดเป็น 1 แบบที่ต้องการ

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราตรึง 123 เรียงไว้ จากนั้นสลับที่ abcd จะทำได้ 4! แบบ เช่น
1ab23cd
1ab23dc
1ac23bd
...
จะพบว่าทุก ๆ 4! แบบ จะมีเพียง 1 แบบที่เข้าเงื่อนไขที่ต้องการ หรือกล่าวได้ว่า ทุก ๆ 4! แบบ จะคิดเป็น 1 แบบที่ต้องการ

แต่การเรียงอักษรที่ต่างกันทั้งหมด ทำได้ 7! วิธี ดังนั้นทุก ๆ 3! แบบ กับทุก ๆ 4! แบบ คิดเป็น 1 วิธีเท่านั้น
ดังนั้นการจัดเรียงที่เข้าเงื่อนไข จะทำได้ $\frac{7!}{3!4!} = 35$ วิธี

เช่น ถ้ามี 12ab จะสลับแบบที่ต้องการได้ $\frac{4!}{2!2!} = 6$ ได้แก่
ab12
a1b2
1ab2
a12b
1a2b
12ab

หรือถ้ามี 123ab จะสลับแบบที่ต้องการได้ $\frac{5!}{3!2!} = 10$ ได้แก่
ab123
a1b23
1ab23
a12b3
1a2b3
12ab3
a123b
1a23b
12a3b
123ab

[{([Son'car])}]

1. มีอักษรและหมายเลข abcd123 จะจัดสลับตัวอักษรกับหมายเลขโดยลำดับตัวอักษรและหมายเลขคงเดิม(เช่น 1ab23cd)
อีกวิธีที่คล้ายกันครับ
ข้อนี้ให้ $x$แทนตัวเลขและ$y$แทนตัวภาษาอังกฤษ

จะได้ว่าแบบตัวอักษรเป็น$\;\;\;yyyyxxx$

ดังนั้นเรียงสลับได้$\frac{7!}{4!3!} =35$วิธีครับ

สังเกตว่าถ้าเราเอาตัวเลขและตัวอักษรไปเเทนกลับโดยที่ลำดับตัวอักษรและหมายเลขยังคงเดิม
ก็จะได้ตามเงื่อนไขครับ

[{([Son'car])}]

2. ชาย 4 คนหญิง 6 คนยืนเรียงแถวหน้ากระดานได้กี่วิธี โดยแต่ละเพศเรียงตามลำดับความสูงจากสูงไปต่ำ
ข้อ2ทำเหมือนข้อ1เลยครับ

จะได้ว่าให้ผู้ชายแทน$x$ผู้หญิงแทน$y$
จะได้การเรียงแถวเป็น$xxxxyyyyyy$
ซึ่งจะสลับกันได้$\frac{10!}{6!4!} =210$วิธี
โดยนำx,yแทนกลับเป็นชายหญิงโดยยืนเรียงตามลำดับความสูง

[กิตติ]

ขอบคุณคุณRM@กับน้อง{([Son'car])}มากเลยครับ.....ก็คิดเสียว่าเป็นของเหมือนกัน เราไม่นับผลจากการสลับที่กัน
แค่นั้นก็จบแล้ว ไม่น่าคิดลึกเกินไปเลย

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

4. มีบัตร 100 ใบ ในจำนวนนี้มีบัตรที่ได้รับรางวัล 3 ใบ เราไปซื้อมา 4 ใบ จงหาจำนวนวิธีที่เราจะได้บัตรรางวัลอย่างน้อย 1 ใบ

ผมตีความว่า บัตรต้องมีหมายเลข ซึ่งถือว่าแต่ละบัตรนั้นต่างกัน
จำนวนวิธีที่ไม่ได้บัตรที่มีรางวัลเลยคือ เลือกบัตร 4 ใบจากบัตรที่ไม่ถูกรางวัลซึ่งมี 97 ใบได้$\binom{97}{4} $
จำนวนวิธีการเลือกบัตร 4 ใบจากบัตรทั้งหมด 100 ใบเื่ท่ากับ$\binom{100}{4} $
จำนวนวิธีที่เราจะได้บัตรรางวัลอย่างน้อย 1 ใบ เท่ากับ$\binom{100}{4}-\binom{97}{4}=456385$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

3. มีตัวอักษร A 2 ตัว B 2 ตัว Cและ D อย่างละตัว นำมาจัดลำดับคราวละ 4 ตัว มีแบบต่าง ๆ ไม่ซ้ำกันกี่แบบ

มีกรณีเกิดขึ้นทั้งหมด 3แบบ
1.ตัวอักษรไม่ซ้ำกันเลย เกิดได้$4! = 24$
2.ตัวอักษรซ้ำกัน2ตัว เกิดได้$2\times \binom{3}{2} \times \frac{4!}{2!} =72$
3.ตัวอักษรซ้ำกัน2ตัว2คู่ จัดเรียงได้$\frac{4!}{2!2!}=6 $
รวมกันทั้งหมดเกิดได้$24+72+6 = 102$

[Siren-Of-Step]

ข้อ 3 เฉลยคือ 18820
ข้อ 4 เฉลยคือ 102