ถามโจทย์สมาคมหน่อยครับ

[skygoe]

1.กำหนดให้ a b c เป็นค่าคงตัว และ เมื่อหาร $x^4$ + 33x ด้วย a$x^2$ + bx +c ได้ผลหารเป็น
$(x+2)^2$ และมีเศษเหลือเป็น x - 48 ค่าของ 5a + b + c เท่ากับเท่าใด

2.กำหนดให้ a b c เป็นจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากและ 3abc = 8(a+b+c) ค่าของ
3$a^2$ + 2$b^2$ + $c^2$

3.ถ้า (x+2)(x+3)(x-4)(x-6) = 10$x^2$ โดยที่ x$\not=$-4,3 แล้ว $x^2$ - 6x + 1 = ?

4.สมบูรณ์เปิดโรงงานผลิตปากกา ซึ่งมีค่าใช้จ่ายต่อวันเป็น 2 ส่วน โดยค่าใช้จ่ายส่วนแรก คือค่าจ้างคนงานวันลั 1200 บาท
และค่าใช้จ่ายส่วนที่ 2 คือค่าต้นทุนผลิตปากกา ด้ามละ 2 บาท ถ้าเขาขายปากกา x ด้าม ก็จะได้เงิน 100$\sqrt{x}$ แล้ว จงหาว่า สมบูรณ์ต้องขายปากกากี่ด้ามจึงเริ่มมีกำไร

5.ให้ p เป็น จำนวนเฉพาะ และ m,n เป็นจำนวนเต็ม ถ้า x+3 หาร $x^3$+m$x^2$+nx+p ลงตัว และ
x-1 หาร $x^3$+m$x^2$+nx+p เหลือเศษ 4 แล้ว ข้อใดถูกต้อง

1. p = 3 เท่านั้น 2. m = -2 เท่านั้น
3. m = 2 เท่านั้น 4. ไม่มีข้อถูก (ข้อ 5 ไม่ใช้สมาคมนะงับ แต่อยากรู้)

6. $(x+2)^2$ = 2485555 แล้ว จงหาค่าของ (x+2538)(x+2558)

7.ค่าใช้จ่ายในการเดินเรือโดยสารแห่งหนึ่ง ประกอบด้วย ดอกเบี้ยของเงินต้นซึ่งแปรผันตามเวลาที่ใฃ่ในการเดินเรือ
กับค่าน้ำมันและค่าซ่อมซึ่งแปรผันตามกำลังสองของความเร็ว ถ้าเดินเรือโดยสารด้วยความเร็ว 25 ไมล์ ต่อชั่วโมง
จะเสียค่าใช้จ่าย 1830 บาท แต่ถ้าลดความเร็วลง 5 ไมล์ ต่อ ชั่วโมง จะเสียค่าใช้จ่ายลดลงถึง 610 บาท อยาก
ทราบว่า ถ้าเดินเรือโดยใช้ความเร็ว 40 กิโลเมตร ต่อชั่วโมงจะเสียค่าใช้จ่ายทั้งสิ้นที่บาท (อันนี้ก็ไม่ใช่สมาคมครับ)




ข้อถามผู้รู้ทุกท่านครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ skygoe

7.ค่าใช้จ่ายในการเดินเรือโดยสารแห่งหนึ่ง ประกอบด้วย ดอกเบี้ยของเงินต้นซึ่งแปรผันตามเวลาที่ใฃ่ในการเดินเรือ
กับค่าน้ำมันและค่าซ่อมซึ่งแปรผันตามกำลังสองของความเร็ว ถ้าเดินเรือโดยสารด้วยความเร็ว 25 ไมล์ ต่อชั่วโมง
จะเสียค่าใช้จ่าย 1830 บาท แต่ถ้าลดความเร็วลง 5 ไมล์ ต่อ ชั่วโมง จะเสียค่าใช้จ่ายลดลงถึง 610 บาท อยาก
ทราบว่า ถ้าเดินเรือโดยใช้ความเร็ว 40 กิโลเมตร ต่อชั่วโมงจะเสียค่าใช้จ่ายทั้งสิ้นที่บาท (อันนี้ก็ไม่ใช่สมาคมครับ)




ข้อถามผู้รู้ทุกท่านครับ

ข้อนี้หมูมาก

โจทย์ถาม "ถ้าเดินเรือโดยใช้ความเร็ว 40 กิโลเมตร ต่อชั่วโมงจะเสียค่าใช้จ่ายทั้งสิ้นที่บาท"

40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ก็เท่ากับ $\frac{40}{1.6} = 25 \ $ ไมล์ต่อชั่วโมง

จากโจทย์ "ถ้าเดินเรือโดยสารด้วยความเร็ว 25 ไมล์ ต่อชั่วโมง
จะเสียค่าใช้จ่าย 1830 บาท "

ดังนั้นตอบว่า 1830 บาท


ช่วยดูโจทย์ให้ใหม่ครับ ว่าที่ถาม 40 กิโลเมตรหรือ 40 ไมล์

ถ้าเป็นกิโลเมตร แล้ว ไมล์ที่ว่า เป็นไมล์บก (1.6 กิโลเมตร) หรือไมล์ทะเล (1.8 กิโลเมตร)
(เรือข้ามฟาก เขาวัดระยะเป็น 1.6 กิโลเมตร = 1 ไมล์)




ขออนุญาตเปลี่ยนเป็น 40 ไมล์ต่อชั่วโมงก็แล้วกัน

A = ค่าใช้จ่าย
I = ดอกเบี้ย
t = เวลา
s = ค่าน้ำมัน+ค่าซ่อม
v = ความเร็ว (ไมล์ต่อชั่วโมง)
m = ระยะทาง (ไมล์)

จากโจทย์
$A = I + s$

$A = k_1t + k_2v^2 \ \ $ เมื่อ $k_1, \ k_2 \ $เป็นค่าคงตัว


ถ้าเดินเรือโดยสารด้วยความเร็ว 25 ไมล์ ต่อชั่วโมง
จะเสียค่าใช้จ่าย 1830 บาท

$1830 = k_1t_1 +k_2 \cdot 25^2 $

$1830 = k_1(\frac{m}{25}) +k_2 \cdot 25^2 $

$45750 = k_1m + 15625 k_2 $ ....(*)


แต่ถ้าลดความเร็วลง 5 ไมล์ ต่อ ชั่วโมง จะเสียค่าใช้จ่ายลดลงถึง 610 บาท

$1830-610 =1220 = k_1t_2 +k_2 \cdot 20^2$

$1830-610 =1220 = k_1(\frac{m}{20}) +k_2 \cdot 20^2$

$24400 = k_1m +8000k_2$ ....(**)

(*) - (**) $ \ \ 21350 = 7625k_2$

$k_2 = 2.8$

แทนค่าใน (**) จะได้ $ \ \ k_1m = 2000$

ดังนั้นถ้าวิ่งด้วยความเร็ว 40 ไมล์ต่อชั่วโมง จะเสียค่าใช้จ่ายเท่ากับ $ \ k_1(\frac{m}{40}) + k_2 40^2$

$ = \frac{2000}{40} + 2.8 \times 1600 = 4530 \ $บาท

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ skygoe

4.สมบูรณ์เปิดโรงงานผลิตปากกา ซึ่งมีค่าใช้จ่ายต่อวันเป็น 2 ส่วน โดยค่าใช้จ่ายส่วนแรก คือค่าจ้างคนงานวันลั 1200 บาท
และค่าใช้จ่ายส่วนที่ 2 คือค่าต้นทุนผลิตปากกา ด้ามละ 2 บาท ถ้าเขาขายปากกา x ด้าม ก็จะได้เงิน 100$\sqrt{x}$ แล้ว จงหาว่า สมบูรณ์ต้องขายปากกากี่ด้ามจึงเริ่มมีกำไร

ข้อถามผู้รู้ทุกท่านครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...9&postcount=22

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ skygoe

1.กำหนดให้ $a, b ,c $เป็นค่าคงตัว และ เมื่อหาร $x^4 + 33x $ ด้วย $ax^2 + bx +c $ ได้ผลหารเป็น
$(x+2)^2$ และมีเศษเหลือเป็น $x - 48$ ค่าของ $5a + b + c$ เท่ากับเท่าใด

เขียนออกมาเป็น
$x^4 + 33x = (x+2)^2(ax^2 + bx +c)+(x-48)$...........***

$\dfrac{x^4 + 32x+78}{x^2+4x+4} = ax^2 + bx +c$

ใช้การหารพหุนามแล้วเทียบสัมประสิทธิ์.....ทำต่อเองไหมครับ แนะให้พอสมควรแล้วครับ
อีกวิธีหนึ่งที่น่าจะใช้ได้ ลองแทน$x=0$ ในสมการ...***
จะได้ว่า $4c-48=0 \rightarrow c=12$
ลองแทน$x=1$ ในสมการ...***
$34=9(a+b+c)-47 \rightarrow a+b+c=9$
ลองแทน$x=-1$ ในสมการ...***
$-32=(a-b+c)-49 \rightarrow a-b+c=17$
แก้สมการก็ได้ค่าออกมาแล้วครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ skygoe

5.ให้ $p$ เป็น จำนวนเฉพาะ และ $m,n$ เป็นจำนวนเต็ม ถ้า $x+3$ หาร $x^3+mx^2+nx+p$ ลงตัว และ
$x-1$ หาร $x^3+mx^2+nx+p$ เหลือเศษ 4 แล้ว ข้อใดถูกต้อง

1. p = 3 เท่านั้น 2. m = -2 เท่านั้น
3. m = 2 เท่านั้น 4. ไม่มีข้อถูก (ข้อ 5 ไม่ใช้สมาคมนะงับ แต่อยากรู้)

ถ้า $x+3$ หาร $x^3+mx^2+nx+p$ ลงตัว แล้วเราแทนค่า$x=-3$ แล้วจะทำให้ $x^3+mx^2+nx+p=0$
$-27+9m-3n+p=0 \rightarrow 9m-3n+p=27$....*

$x-1$ หาร $x^3+mx^2+nx+p$ เหลือเศษ 4 จากความรู้ที่ว่า" $x-c$ หารพหุนาม $P(x)$ เหลือเศษเท่ากับ $P(c)$"
ดังนั้น $4=1+m+n+p\rightarrow m+n+p=3$.....**
*-** $8m-4n=24 \rightarrow 2m-n=6$

สมการพหุนามกำลังสามจะมีรากทั้งหมดสามตัว โดยให้$a,b,c$ แทนรากสมการ เราจะเขียนได้ว่า$(x-a)(x-b)(x-c)$ เมื่อเรากระจายพจน์ทั้งหมดแล้ว พจน์สุดท้ายที่ไม่มีตัวแปร$x$ ในนี้คือ$p$ จะมีค่าเท่ากับ$-abc$ โจทย์กำหนดให้ว่า$p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และกำหนดให้$-3$ เป็นรากหนึ่งของสมการ และ 1 ก็ไม่ได้เป็นรากหนึ่งของสมการ แสดงว่ารากที่เหลือคูณกันได้เท่ากับ$1$ ซึ่งรากที่ต้องการคือ$(-1)(-1)$ ดังนั้นเราเอา$x= -1$ไปแทนได้

$-1+m-n+p=0 \rightarrow m-n+p=1$....***
แก้สมการ**กับ*** ได้ค่า$n=1$
แก้สมการได้ค่า$m=\frac{7}{2} $....แต่โจทย์ให้ค่า$m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกนี่ครับ ไม่รู้ว่าผมเขียนสมการตรงไหนผิด เดี๋ยวขอไล่ดูอีกที
ค่า$p$ เท่ากับ $3$ ผมตอบข้อ 1.

ผมน่าจะคิดผิดรีบสรุปเกิน
$x^3+mx^2+nx+p$....เขียนมาได้เป็น$(x-a)(x-b)(x-c)$
$p=-abc$...รากตัวหนึ่งคือ$-3$และให้เป็น $a$ ดังนั้น$p=3bc\rightarrow bc=\frac{p}{3} $
$m=-(b+c-3)\rightarrow b+c=3-m$
$n=-3b-3c+bc \rightarrow n=(-3)(3-m)+\frac{p}{3}$
$n=-9+3m+\frac{p}{3}$
$n+9-3m=\frac{p}{3}$
$p=3(n+9-3m) $....และ$n=2m-6$
$p=3(3-m)$.......กำหนดให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น$3-m=1$
$m=2 \rightarrow n=-2$
ผมขอตอบใหม่เป็นข้อ 4 คือไม่มีข้อถูก เพราะ$p=3$ และ $m=2$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ skygoe

3.ถ้า (x+2)(x+3)(x-4)(x-6) = 10$x^2$ โดยที่ x$\not=$-4,3 แล้ว $x^2$ - 6x + 1 = ?

$(x+2)(x+3)(x-4)(x-6) = 10x^2$

$x^4-5 x^3-20 x^2+60 x+144 = 10 x^2$

$(x-3) (x+4) (x^2-6 x-12) = 0$

เมื่อ $x\not= 3, \not= -4 \ $ ก็แปลว่า เอา $(x-3) (x+4) \ $ หารตลอดได้

$x^2 - 6x -12 =0 $

$x^2 - 6x +1 = 13 $

เอาอย่างนี้แหละ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

[skygoe]

เอ่ออ ข้อ 4 อะครับ ผมลองคิดดูแล้วอะครับ

แต่ไม่ค่อยแน่ใจเท่าไหร่อะครับ รบกสน ช่วยดูให้หน่อยนะครับ
$x^3$ + m$x^2$ + nx + p เศษ -3 = -27 + 9m - 3n + p --------1

$x^3$ + m$x^2$ + nx + p เศษ 1 = 1 + m + n + 1 = 4 --------2

p = 27-9m+3n = 3(9+3m+n)

$\therefore$ p = 3

9 - 3m + n = 1 ---------3
m + n = 0 ---------4

$\therefore$ m = 2 n = -2

ผมเลยตอบ ข้อ 1 อะครับ ผิดตรงไหนช่วยดูด้วยนะครับ


ฝากดูด้วยนะครับ

[กิตติ]

ข้อ3....ผมก็ทำวิธีเดียวกับลุงBanker ได้คำตอบเท่ากันครับ ยังนึกวิธีสั้นๆไม่ออกครับ กระจายอย่างเดียว
ข้อ2....ยังหาวิธีืั้ที่ดูดีไม่ได้ ลองแทนค่าได้ค่ามาชุดหนึ่งคือ $1,4,10$ ยังตอบไม่ได้ว่ามีชุดค่าอื่นอีกไหม
ถ้าจะตอบขอตอบก่อนว่า $3a^2+2b^2+c^2=3+32+100 =135$ ขอลองหาวิธีต่อครับ หรือรอท่านผู้ชำนาญการมาช่วยชี้แนะอีกที

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ skygoe

เอ่ออ ข้อ 4 อะครับ ผมลองคิดดูแล้วอะครับ

แต่ไม่ค่อยแน่ใจเท่าไหร่อะครับ รบกสน ช่วยดูให้หน่อยนะครับ
$x^3$ + m$x^2$ + nx + p เศษ -3 = -27 + 9m - 3n + p --------1
ตรงนี้ตรงเศษ0 คือหารลงตัว
สมการจะเป็น $0= -27 + 9m - 3n + p $

$x^3$ + m$x^2$ + nx + p เศษ 1 = 1 + m + n + 1 = 4 --------2
ตรงนี้แทน$x=1$
สมการจะเป็น $ 4=1+m+n+p$

p = 27-9m+3n = 3(9+3m+n)

$\therefore$ p = 3

9 - 3m + n = 1 ---------3
m + n = 0 ---------4

$\therefore$ m = 2 n = -2

ผมเลยตอบ ข้อ 1 อะครับ ผิดตรงไหนช่วยดูด้วยนะครับ


ฝากดูด้วยนะครับ

ดูตามที่เขียนแทรกให้ครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ skygoe

2.กำหนดให้ $a, b ,c $เป็นจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากและ $3abc = 8(a+b+c)$ ค่าของ
$3a^2+ 2b^2+ c^2$

ถ้าสมมุติให้จำนวนสามตัวนี้เรียงกันเป็น $x-1,x,x+1$.....วิธีนี้แอบจำมาจากลุงBanker
แทนในสมการที่โจทย์กำหนด
$3x(x-1)(x+1)=24x$
$3x(x^2-1)-24x=0$
$3x^3-27x=0$
$3x(x+3)(x-3)=0$
$x=0,3,-3$
โจทย์กำหนดให้ $a, b ,c $เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นค่า$x$ที่ใช้ได้คือ $3$
จำนวนสามจำนวนนี้คือ $2,3,4$
$3a^2+ 2b^2+ c^2 = 12+18+16=46$

ข้อนี้ตอนแรกผมตีโจทย์แบบคิดมาก เลยไปโผล่โน่น $1,4,10$ เรียงจากน้อยไปมากเหมือนกัน
โจทย์น่าจะบอกว่าสามจำนวนนี้เป็นจำนวนนับที่เรียงลำดับกันติดกัน

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

มาช่วยทำข้อ3 ครับ
จับคู่$(x+2)(x-6)=x^2-4x-12$
และ$(x+3)(x-4)=x^2-x-12$
ให้ $A=x^2-12$
ดังนั้น $(x+2)(x+3)(x-4)(x-6)=10x^2$
$(A-4x)(A-x)=10x^2$
$A^2-5x-6x^2=0$
$(A-6x)(A+x)=0$
$(x^2-6x-12)(x^2+x-12)=0$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เขียนออกมาเป็น
$x^4 + 33x = (x+2)^2(ax^2 + bx +c)+(x-48)$...........***

$\dfrac{x^4 + 32x+78}{x^2+4x+4} = ax^2 + bx +c$

ใช้การหารพหุนามแล้วเทียบสัมประสิทธิ์.....ทำต่อเองไหมครับ แนะให้พอสมควรแล้วครับ
อีกวิธีหนึ่งที่น่าจะใช้ได้ ลองแทน$x=0$ ในสมการ...***
จะได้ว่า $4c-48=0 \rightarrow c=12$
ลองแทน$x=1$ ในสมการ...***
$34=9(a+b+c)-47 \rightarrow a+b+c=9$
ลองแทน$x=-1$ ในสมการ...***
$-32=(a-b+c)-49 \rightarrow a-b+c=17$
แก้สมการก็ได้ค่าออกมาแล้วครับ

ต้อง 48 หรือเปล่าครับ