[มาราธอน]TMC#1-M.4 สอบ 27 มี.ค. 54

[-Math-Sci-]

กระทู้ก็เหมือนกับ มาราธอนทั่วไป แต่เป็นโจทย์เฉพาะ ม.4 นะครับ

โดยมีเนื้อหาดังต่อไปนี้นะครับ

เซต ตรรกศาสตร์ จำนวนจริง เลขยกกำลัง ทฤษฏีจำนวนเบื้องต้น ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน เมทริกซ์

ตรีโกณมิติ เรขาคณิตวิเคราะห์ ภาคตัดกรวย

1. (จำนวนจริง) ถ้า S = {x $\in$ R / $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-1} = \sqrt{7x+1}$}

จงหาผลบวกในสมาชิก S

[{([Son'car])}]

แทน$a=3x+1,b=x-1$
จะได้$\sqrt{a} +\sqrt{b} =\sqrt{2a+b} $
ยกกำลัง2ทั้ง2ข้างได้$a+b+2\sqrt{ab} =2a+b$
$a=2\sqrt{ab} $
$a^2-4ab=0$
$a(a-4b)=0$
$(3x+1)(5-x)=0$
$x=-\frac{1}{3} ,5$
แต่$x=5$เพียงกรณีเดียวครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

แทน$a=3x+1,b=x-1$
จะได้$\sqrt{a} +\sqrt{b} =\sqrt{2a+b} $
ยกกำลัง2ทั้ง2ข้างได้$a+b+2\sqrt{ab} =2a+b$
$a=2\sqrt{ab} $
$a^2-4ab=0$
$a(a-4b)=0$
$(3x+1)(5-x)=0$
$x=-\frac{1}{3} ,5$
แต่$x=5$เพียงกรณีเดียวครับ

ตั้งข้อต่อไปเลยครับ นึกว่าจะไม่มีคนมาเล่นแล้ว (ส่วนใหญ่ก็เรียนกันอยู่)

[{([Son'car])}]

ข้อ2.
abcเป็นจำนวนเต็มบวก3หลักซึ่งมีa,b,cเป็นเลขโดดถ้าabc=a!+b!+c!แล้วa+b+c=?

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

ข้อ2.
abcเป็นจำนวนเต็มบวก3หลักซึ่งมีa,b,cเป็นเลขโดดถ้าabc=a!+b!+c!แล้วa+b+c=?

พิจารณาค่า

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

จำนวนที่สอดคล้องอยุ่ระหว่าง 1-6

a! + b! +c! จะเป็นเลขสามหลักก้ต่อเมื่อ มี a,b,c อย่างน้อย 1 ตัว ที่เป็น 6 หรือ 5

แต่ 6 นั้นใ้ช้ไม่ได้แน่ ๆ

ถ้ามี 5 อย่างน้อย 1 ตัวก็จะพบว่า

5bc หรือ a5c หรือ ab5 = 120 + ... + ....

กรณีที่ หลักหน่วยเป็น 5 มีค่าที่สอดคล้องคือ

a = 1 b = 4 c = 5

abc = 145 = 120+24+1 = 145

a+b+c = 10

ยังไม่รู้ว่ามีชุดอื่นที่สอดคล้องรึเปล่านะครับ

[-Math-Sci-]

โจทย์ข้อต่อไปแนบมาแล้วนะครับ

ข้อ 3. ภาคตัดกรวย

[Influenza_Mathematics]

วิธีทำ
จากโจทย์ $100a+10b+c = a!+b!+c!$
เราจะได้ว่า $10 \left|\,\right. a!+b!+c!-c$
คราวนี้มาดูขอบเขตกัน $a,b,c \leqslant 6$
ผลลัพธ์ของ $a!+b!+c!-c$ เป็นเลข $3$ หลัก
เห็นได้ชัดเจนว่า $a,b,c$ ต้องมีเลขใดเลขนึง มากกว่า $5$ แน่นอน ---- $(\bullet )$
กรณีที่ 1 $c=1,2,4$ จากเงื่อนไข $(\bullet )$ >> $561,562,564,651,652,654$
กรณีที่ 2 $c = 3$ อันนี้เห็นไ้ด้ชัดเจนเพราะ $c!-c$ เป็นเลขคี่
กรณีที่ 3 $c= 5,6$ เห็นได้ชัดเจนอีกที่ $a$ หรือ $b$ ต้องเท่ากับ $1$ หรือ $3$ >> $145,415,146,416$

ก็ไล่ไปอะครับ ไม่รู้ว่ามันจะเยิ่นเย้อไปรึปล่าว

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

วิธีทำ
จากโจทย์ $100a+10b+c = a!+b!+c!$
เราจะได้ว่า $10 \left|\,\right. a!+b!+c!-c$
คราวนี้มาดูขอบเขตกัน $a,b,c \leqslant 6$
ผลลัพธ์ของ $a!+b!+c!-c$ เป็นเลข $3$ หลัก
เห็นได้ชัดเจนว่า $a,b,c$ ต้องมีเลขใดเลขนึง มากกว่า $5$ แน่นอน ---- $(\bullet )$
กรณีที่ 1 $c=1,2,4$ จากเงื่อนไข $(\bullet )$ >> $561,562,564,651,652,654$
กรณีที่ 2 $c = 3$ อันนี้เห็นไ้ด้ชัดเจนเพราะ $c!-c$ เป็นเลขคี่
กรณีที่ 3 $c= 5,6$ เห็นได้ชัดเจนอีกที่ $a$ หรือ $b$ ต้องเท่ากับ $1$ หรือ $3$ >> $145,415,146,416$

ก็ไล่ไปอะครับ ไม่รู้ว่ามันจะเยิ่นเย้อไปรึปล่าว

มันผิดอยู่นะครับ เพราะ 6! มันก็ 720 แล้ว

มันตัดกรณีที่ขึ้นด้วย 6 ได้ หมดตั้งแต่แรกแล้วครับ

นอกนั้นตอนแรกก็คิดแบบนี้ครับ แต่รู้สึกว่า ตรง ๆ ไปเลยน่าจะเร็วกว่าเยอะ

ทำภาคตัดกรวยแล้วตั้งโจทย์่ต่อเถอะครับ

ขอบคุณครับ

[{([Son'car])}]

คุณ-Math-Sci- คิดถูกแล้วครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

โจทย์ข้อต่อไปแนบมาแล้วนะครับ

ข้อ 3. ภาคตัดกรวย

9 หน่วยรึเปล่า

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

9 หน่วยรึเปล่า

ถูกแล้วครับ ถ้าเป็นไปได้ก็ช่วยแสดงวิธีทำ แล้วตั้งข้อต่อไปหน่อยนะครับ

ผมตั้งเผื่อไว้ให้ถ้าไม่อยู่นะครับ

4. (Matrix)

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

ถูกแล้วครับ ถ้าเป็นไปได้ก็ช่วยแสดงวิธีทำ แล้วตั้งข้อต่อไปหน่อยนะครับ

ผมตั้งเผื่อไว้ให้ถ้าไม่อยู่นะครับ

4. (Matrix)

สำหรับข้อ 4 ก็หาตรง ๆ เลยครับ ได้ $10$
ส่วนข้อสาม น่าจะเคยเรียน

hide

กำหนดให้ $P$ เป็นจุดใด ๆ เป็น hyperbola และ $F,F'$ แทนจุดโฟกัสทั้งสอง
$\left|\,\right. PF\left|\,\right. -\left|\,\right. PF'\left|\,\right. = 2a$
ถ้ายัังไม่เคยเรียนก็ลองพิสูจน์ดู

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

สำหรับข้อ 4 ก็หาตรง ๆ เลยครับ ได้ $10$
ส่วนข้อสาม น่าจะเคยเรียน

hide

กำหนดให้ $P$ เป็นจุดใด ๆ เป็น hyperbola และ $F,F'$ แทนจุดโฟกัสทั้งสอง
$\left|\,\right. PF\left|\,\right. -\left|\,\right. PF'\left|\,\right. = 2a$
ถ้ายัังไม่เคยเรียนก็ลองพิสูจน์ดู

วิธีทำก้เหมือนกันครับ แต่จะหาได้มั๊ย ถ้าไม่ใช้ินิยาม อ่ะครับ

ตั้งข้อต่อไปเลยครับ

[Influenza_Mathematics]

ไหน ๆ เล่น matrix กัน
5. จงหา det ของเมตริกซ์
$$\bmatrix{x & y & z & v \\ y & x & v & z \\ z & v & x & y \\ v & z & y & x}$$

[ดุ๊กดิ๊กคุง]

$-[(x^2-z^2)(v^2-y^2)]^2$
ผิดถูกชี้แนะทีนะครับ