ลอการิทึมครับ

[CHAOS]

$ถ้า x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เท่ากับ 1 ซึ่งทำให้$
$(log_yx \bullet log_zx - log_xx) + (log_xy \bullet log_zy -log_yy) + (log_xz \bullet log_yz - log_zz) = 0 $
$find xyz $

$กำหนดให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ$
$ log(2xy) = logx\bullet logy$
$ log(yz) = logy\bullet logz$
$ log(2zx) = logz\bullet logx$
$find x+y+z$

ปล.รบกวนขอโจทย์ลอการิทึมกับตรีโกณด้วยครับ

[Amankris]

ข้อแรก
กระจาย แยกตัวประกอบ

ข้อสอง
จัดรูปสมการใหม่

[กิตติ]

ถ้า$ x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เท่ากับ $ 1 $ ซึ่งทำให้
$(log_yx \bullet log_zx - log_xx) + (log_xy \bullet log_zy -log_yy) + (log_xz \bullet log_yz - log_zz) = 0 $
find $xyz $

ผมคิดได้ $1$
ให้$log_x=a$ , $log_y=b$ และ $log_z=c$
$(log_yx \bullet log_zx - log_xx) + (log_xy \bullet log_zy -log_yy) + (log_xz \bullet log_yz - log_zz) = 0 $
แปลงแล้วจะได้
$a^3+b^3+c^3=3abc$
ซึ่งเกิดขึ้นในกรณีที่$a+b+c=0$
$log x+log y+log z=0$
$\log xyz=0$
$xyz=1$

แต่โจทย์กำหนดให้$x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เท่ากับ $1$ ดังนั้นไม่น่าจะมีจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับที่หาได้
เพราะมีกรณีเดียวคือ $x=y=z=1$ เดี๋ยวขอกลับไปคิดใหม่ก่อน
ถ้าโจทย์กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก คงจะพอตอบได้

ข้อ2.ผมว่าโจทย์น่าจะกำหนดค่าของ$x,y,z$ที่ไม่สอดคล้องกับนิยามของ$log$ ซึ่งกำหนดให้$\log x$นั้นอยู่เฉพาะ$x>0$ แต่โจทย์ให้$x,y,z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งมันรวมค่าที่เป็นศูนย์กับลบด้วย ช่วยเช็คโจทย์อีกทีครับ

[Amankris]

#3
$a+b+c$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#3
$a+b+c$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ครับ

สมการข้างต้นจะเป็นจริงเมื่อ $a=b=c$ ครับ

[กิตติ]

ขอบคุณคุณAmankris....ทำต่ออีกหน่อยก็พอออกแล้ว
$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3abc(a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} )-3abc$
$a^3+b^3+c^3=3abc$
$(a+b+c)^3=3abc(a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} )$
เมื่อ$a+b+c\not= 0$
$(a+b+c)^2=3ab+3bc+3ac$
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
$2\left(\,\frac{a}{2}-\frac{b}{2} \right)^2+2\left(\,\frac{b}{2}-\frac{c}{2} \right)^2+2\left(\,\frac{c}{2}-\frac{a}{2} \right)^2=0 $
จะได้ว่า $a=b=c$

ดังนั้นจะได้ว่า$\log x=\log y=\log z \rightarrow x=y=z$ เพราะลอการิธึมเป็นฟังก์ชัน1-1
โจทย์กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เท่ากับหนึ่ง $x=y=z=2,3,4,...$
จะได้ว่าค่าของ$xyz$ เท่ากับ $8,27,64,....$ คำตอบเป็นอนันต์

[กิตติ]

กำหนดให้ $ x,y,z $ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ
$ log(2xy) = logx\bullet logy$...........(1)
$ log(yz) = logy\bullet logz$............(2)
$ log(2zx) = logz\bullet logx$............(3)
$find x+y+z$

(1)-(3) $\log (2xy) -\log (2zx) =\log x(\log y-\log z)$
$\log(\frac{y}{z}) =\log x\log(\frac{y}{z})$
$\log(\frac{y}{z})\left(\,\log x-1\right) =0$

เกิดได้2แบบคือ
1.$\log x=1 \rightarrow x=10$
หรือ
2.เมื่อ $\log(\frac{y}{z})= 0 \rightarrow y= z$ ซึ่งค่าของ$\log x$จะเป็นเท่าไหร่ก็ได้

นำกรณีที่หนึ่งมาคิดก่อนคือ $x=10$....นำไปแทนในสมการที่1
$ \log (20y) = \log y$.....ซึ่งไม่มีค่าของ$y$ที่มากกว่าศูนย์ ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง เพราะฟังก์ชั่นลอการิธึมเป็นฟังก์ชั่น1-1....ดังนั้นกรณีนี้ไม่สามารถหาค่าของ$y$ ได้ เช่นเดียวกับค่า$z$

มาพิจารณากรณีที่สองคือ $y= z$....แทนในสมการที่2
$ \log (y^2) =( \log y)^2$
$ 2 \log (y) =( \log y)^2$
$\log (y)\left(\,\log (y)-2\right) =0$
ได้ค่า$y$ สองค่าคือ $y=1,100$ ได้ค่า$z$ ตามข้อกำหนด เหลือแต่หาค่า$x$

$y=1$ แทนในสมการที่1
$ log(2x) = 0 \rightarrow x=\frac{1}{2} $
ได้คำตอบชุดแรกคือ $(x,y,z)=(\frac{1}{2},1,1)$

$y=100$ แทนในสมการที่1
$ log(200x) =2\log x$
$\log x=\log 200$
$x=200$
ได้คำตอบชุดที่สองคือ $(x,y,z)=(200,100,100)$

พอดีโจทย์กำหนดว่า$x,y,z$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้นตอบทั้งสองชุด
ค่าของ$x+y+z$ เท่ากับ $\frac{5}{2} $ และ $400$