ปัญหาตรีโกณ :))

[~ArT_Ty~]

ผมลองแต่งโจทย์เองนะครับ จะเอามาลงให้บ่อยๆนะครับ เปิดกระทู้มาจัดไป 1 ข้อ ^^ ใครมีโจทย์อะไรก็มาเพิ่มเติมได้นะครับ

ส่วยเฉลยใครคิดได้กรุณาโพสต์ลงเพื่อเป็นวิทยาทานด้วยนะครับ

1. แก้สมการ $$\sin x+\sin 3x+\sin 5x+\sin 7x+\sin 9x+\sin 11x = \cos x-\cos 3x+\cos 5x-\cos 7x+\cos 9x-\cos 11x$$

[Ne[S]zA]

$$(\sin x+\sin 3x)+(\sin 5x+\sin 7x)+(\sin 9x+\sin 11x) = (\cos x-\cos 3x)+(\cos 5x-\cos 7x)+(\cos 9x-\cos 11x)$$
$$2\sin 2x\cos x+2\sin 6x\cos x +2\sin 10x \cos x = 2\sin 2x \sin x +2\sin 6x \sin x +2\sin 10x \sin x$$
$$\cos x (\sin 2x+\sin 6x +\sin 10x)=\sin x (\sin 2x+\sin 6x +\sin 10x)$$
$$(\cos x - \sin x)(\sin 2x+\sin 6x +\sin 10x)=0$$
$$(\cos x - \sin x)(2\sin 6x \cos 4x +\sin 6x)=0$$
$$(\cos x - \sin x)(\sin 6x)(2\cos 4x +1)=0$$
$$\therefore x=2n\pi+\pi / 4,2n\pi + 5\pi / 4, n\pi / 6 , n\pi/2 + \pi/6 , n\pi/2+\pi/3;\forall n\in \mathbb{Z} $$
ช่วย check ด้วยนะครับ

[Puriwatt]

ดูเหมือนว่าจะมีการพิมพ์เลข 2 ตกหล่นไปบ้าง

สำหรับกรณี $cos x = sin x$ อาจจะตอบเป็น $x = n \pi + \frac{ \pi}{4}$ ตัวเดียวก็ได้ ครับ
และ กรณี $x = \frac{n \pi}{2}+\frac{\pi}{6}= \frac{3n \pi}{6}+\frac{\pi}{6}= \frac{(3n+1) \pi}{6} $ ผมว่ามันอยู่ใน $x =\frac{n \pi}{6} $ แล้วครับ
และ กรณี $x = \frac{n \pi}{2}+\frac{\pi}{3}= \frac{(3n+2) \pi}{6} $ ก็อยู่ใน $x =\frac{n \pi}{6} $ เหมือนกันครับ

ดังนั้น $x = n \pi + \frac{ \pi}{4}$ หรือ $\frac{n \pi}{6}$ ครับ

[BLACK-Dragon]

มาเติมให้นะครับ(พี่อาร์ทกำลังฟิตอยู่)

2.จงหาค่าเฉลี่ยของ $\displaystyle \sum_{n = 1}^{90} 2n \sin 2n^{\circ}$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2. (แต่งเอง)ให้ $x$ เป็นมุมในหน่วยองศาที่เป็นบวกและน้อยกว่า $90^\circ $ แก้สมการ

$$\sin 2x+\sin 6x+\sin 10x+\sin 14x = 4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$

[Ne[S]zA]

ข้อของคุณ BLACK-Dragon
$$\displaystyle \sum_{n = 1}^{90} 2n \sin 2n^{\circ} =\sum_{n = 1}^{89} 2n \sin 2n^{\circ} =2\sin 2^{\circ} +4\sin 4^{\circ} +... + 88\sin 88^{\circ} +90\sin 90^{\circ} +92\sin 92^{\circ} +...+178\sin 178^{\circ}=A $$
$\because \sin (180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$
$$\therefore A=180\sum_{n = 1}^{44} (\sin 2n^{\circ})+90=\dfrac{90}{sin1^{\circ}}\sum_{n = 1}^{44} ( 2\sin1^{\circ}sin 2n^{\circ})+90$$
$$=\dfrac{90}{sin1^{\circ}}(cos 1^{\circ}-\cos 3^{\circ}+\cos 3^{\circ}-\cos 5^{\circ}+...+\cos 87^{\circ}-\cos 89^{\circ})+90$$
$$=90(\cot 1^{\circ}-1)+90=90\cot 1^{\circ}$$
เพราะฉะนั้นค่าเฉลี่ยมีค่าเท่ากับ
$$\cot 1^{\circ}$$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 2. (แต่งเอง)ให้ $x$ เป็นมุมในหน่วยองศาที่เป็นบวกและน้อยกว่า $90^\circ $ แก้สมการ

$$\sin 2x+\sin 6x+\sin 10x+\sin 14x = 4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$

ใช้ตัวนี้นะครับ

$\sin A+\sin B=2\sin(\dfrac{A+B}{2})\cos(\dfrac{A-B}{2})$
$\cos A+\cos B=2\cos(\dfrac{A+B}{2})\cos(\dfrac{A-B}{2})$

$$\sin 14x+\sin 2x+\sin 6x+\sin 10x=4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$
$$2\sin 8x\cos 6x+2\sin 8x\cos 2x=4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$
$$2\sin 8x\left(\,\cos 6x+\cos 2x\right)=4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$
$$4\sin 8x\cos 4x\cos 2x=4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$
$$\cos 2x\cos 4x\left(\,\sin 8x-\cos 3x\right) =0$$


$\therefore x=45^{\circ},22.5^{\circ},67.5^{\circ},\dfrac{270}{11}^{\circ},\dfrac{630}{11}^{\circ} $


ปล.ส่วนคำตอบของ $\sin 8x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-3x)$ อันนี้ตอบไม่เป็นอ่ะครับไม่รู้อันไหนเกิน

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$\therefore x= \dfrac{2n+1\pi}{4},\dfrac{2n+1\pi}{8},$

ปล.ส่วนคำตอบของ $\sin 8x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-3x)$ อันนี้ตอบไม่เป็นอ่ะครับไม่รู้อันไหนเกิน

อย่าลืมเงื่อนไขของคำตอบนะครับ

[Ne[S]zA]

ข้อที่ 2
$$\sin 2x+\sin 6x+\sin 10x+\sin 14x = 4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$
$$\dfrac{1}{2\sin 2x}(2\sin 2x\sin 2x+2\sin 2x\sin 6x+2\sin 2x\sin 10x+2\sin 2x\sin 14x)= 4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$
$$=\dfrac{1}{2\sin 2x}(\cos 0 - \cos 4x +\cos 4x - \cos 8x +\cos 8x -\cos 12x +\cos 12x -\cos 16x)=4\cos 2x\cos 3x\cos 4x$$
$$\dfrac{1-\cos 16x}{2}=4\sin 2x \cos 2x\cos 3x\cos 4x$$
$$\sin^2 8x=2\sin 4x \cos 4x \cos 3x=\sin 8x \cos 3x$$
$$\sin 8x (\sin 8x - \cos 3x)=0$$
$\therefore 1.\sin 8x = 0 \Rightarrow x=\dfrac{n\pi}{8}$
$~~~2.\sin 8x = \cos 3x =\sin (2n\pi+\dfrac{\pi}{2}-3x) \Rightarrow x=\dfrac{(4n+1)\pi}{22}$
Because $x\in (0, \pi/2)$
therefore
$$x=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{\pi}{22},\dfrac{5\pi}{22},\dfrac{9\pi}{22}$$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$\therefore 1.\sin 8x = 0 \Rightarrow x=\dfrac{n\pi}{8}$
$~~~2.\sin 8x = \cos 3x =\sin (2n\pi+\dfrac{\pi}{2}-3x) \Rightarrow x=\dfrac{(4n+1)\pi}{22}$
Because $x\in (0, \pi/2)$
therefore
$$x=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{\pi}{22},\dfrac{5\pi}{22},\dfrac{9\pi}{22}$$

$\sin 8x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-3x)$ ตรงนี้มันแยกได้แบบนี้หรือเปล่าครับอะคร

$\sin 8x=\sin ((2n+1)\pi-(\dfrac{\pi}{2}-3x))$<<< อันนี้ของผม

$\sin 8x=\sin (2n\pi+\dfrac{\pi}{2}-3x)$ <<<<<< อันนี้ของคุณ Ne[S]zA

[~ArT_Ty~]

ข้อ 3. หา $x$ ที่สอดคล้องกับ

$$\sin x+\sin 3x+sin 5x = \cos 2x+\cos4x+\cos 6x$$

[Ne[S]zA]

ข้อที่ 3 แยกได้
$$(\sin 3x - \cos 4x)(2\cos 2x+1)=0$$
$$x=\dfrac{(4n+1)\pi}{14},2n\pi \pm \dfrac{2\pi}{3}$$
ปล.ข้อที่ตอบไปแล้วถูกหรือเปล่าครับ?

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

แยกได้
$$(\sin 3x - \cos 4x)(2\cos 2x+1)=0$$
$$x=\dfrac{(4n+1)\pi}{14},2n\pi \pm \dfrac{2\pi}{3}$$
ปล.ข้อที่ตอบไปแล้วถูกหรือเปล่าครับ?

ได้เหมือนกันครับ

แล้ว มันแยกได้ 2 แบบหรือเปล่าอ่ะครับข้อเมื่อกี้น่ะ

[~ArT_Ty~]

ถ้าดูจากวิธีทำแล้วน่าจะถูกแล้วครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$\sin 8x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-3x)$ ตรงนี้มันแยกได้แบบนี้หรือเปล่าครับอะคร

$\sin 8x=\sin ((2n+1)\pi-(\dfrac{\pi}{2}-3x))$<<< อันนี้ของผม น่าจะเป็นบวกมากกว่า $(2n+1)\pi-(\dfrac{\pi}{2}+3x)$
$\sin 8x=\sin (2n\pi+\dfrac{\pi}{2}-3x)$ <<<<<< อันนี้ของคุณ Ne[S]zA

น่าจะเหมือนกันนะครับ ของผม จาก $2n\pi+\dfrac{\pi}{2}-3x=2n\pi+\pi-\dfrac{\pi}{2}-3x=(2n+1)\pi-(\dfrac{\pi}{2}+3x)$