ปัญหาตรีโกณ :))

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

มาอีกเป็นล็อตๆ

แก้สมการ
a. $$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x$$

สมมูลกับ $$\sin^2x(\sin x-1)(\sin x+1)(2\sin x+1)(2\sin x-1)=0$$
เเต่ผมตอบช่วงค่า $\pi$ ไม่เป็นอ่ะครับ = =

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

b. $$\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x +\cos^2 4x=2$$

นับถือคนแต่งครับ
$$2\cos^2 x+2\cos^2 2x+2\cos^2 3x +2\cos^2 4x=4$$
$$2\cos^2 x-1+2\cos^2 2x-1+2\cos^2 3x-1 +2\cos^2 4x-1=0$$
$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0$$
$$\cos 5x\cos 3x+\cos 5x\cos x=0$$
$$\cos 5x \cos 3x \cos x =0$$
$\therefore x= \dfrac{(2n+1)\pi}{10},\dfrac{(2n+1)\pi}{6},\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

c. $$2^{\cos 2x}=3\cdot 2^{\cos^2 x}-4$$

$$2^{\cos 2x}=3\cdot 2^{\cos^2 x}-4\equiv (2^{\cos^2x}-1)(2^{\cos^2x}-4)=0 $$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

c. $$2^{\cos 2x}=3\cdot 2^{\cos^2 x}-4$$

ให้ $a=\cos x$ จะได้สมการ
$$2^{2a^2-1}-3 \cdot 2^{a^2}+4=0$$

จากนั้นให้ $y=2^{a^2}$ จะได้สามารถจัดรูปได้
$$y^2-6y+8=(y-4)(y-2)$$
$$(2^{\cos^2 x}-4)(2^{\cos^2 x}-2)=0$$

จะได้ $\cos^2 x=2$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะขัดแย้งกับ $0 \leq \cos^2 A \leq 1$ เพราะฉะนั้น $\cos^2 x= 1$

$\therefore x=2n\pi,(2n+1)\pi$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

d. $$\tan 2x+\cot x=4\sin 2x$$

$$\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=4\sin 2x$$
$$\sin 2x\sin x+\cos x\cos 2x=2\sin 4x\sin x$$
$$\dfrac{\cos x-\cos 3x}{2}+\dfrac{\cos 3x-\cos x}{2}= 2\sin 4x\sin x$$
$$\sin 4x\sin x=0$$

$\therefore x=n \pi,\dfrac{n\pi}{4}$

[~ArT_Ty~]

ผมไม่ได้แต่งครับ เอามาจากหนังสือ Problem book in High school mathematics ครับ

http://www.4shared.com/file/we6n57iW...lMathema.html?

ไฟล์เป็น .djvu นะครับ ถ้าใครอ่านแล้วเอามาเฉลยบ้างก็ดีนะครับ ^^

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$$\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=4\sin 2x$$
$$\sin 2x\sin x+\cos x\cos 2x=2\sin 4x\sin x$$
$$\dfrac{\cos x-\cos 3x}{2}+\dfrac{\cos 3x-\cos x}{2}= 2\sin 4x\sin x$$
$$\sin 4x\sin x=0$$

$\therefore x=n \pi,\dfrac{n\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4}$ จริงหรอครับ??

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

$\frac{\pi}{4}$ จริงหรอครับ??

จริงด้วยไม่ได้ตรวจคำตอบเลยๆ ขอบคุณครับ

[~ArT_Ty~]

เอ่อ จริงครับๆ 555 โทดทีๆ

[จูกัดเหลียง]

คือ ถามนิดนึงครับ ถ้าเราเเยกตปก.ได้เเล้วอ่ะ
เเต่ เราจะรู้ได้ไงว่า คำตอบมันเป็น $n\pi$ อะไรเเบบนี้อ่าครับ =/l\=

[~ArT_Ty~]

ไม่รู้ว่าแบบผมถูกมั้ยนะ อย่าง $\sin5x=0$

$\therefore 5x=\frac{(2n+1)\pi}{2}$ จะได้ว่า $x=\frac{(2n+1)\pi}{10}$ แบบนี้ถูกมั้ยอ่ะครับ??

[จูกัดเหลียง]

#41 โอ้ว ขอบคุณครับ เเล้วถ้าเป็น ฟังก์ชัน $\cos$ อ่ะครับ

[Real Matrik]

ลองพิจารณาในช่วง $[0,2\pi]$ ก็ได้ครับ เช่น สมการ
$$\sin 5x=0$$
ในช่วง $[0,2\pi]$ จะได้ว่า $5x=0,\pi$ หรือ $x=0,\frac{\pi}{5}$

ดังนั้น คำตอบของสมการคือ $0+2n\pi,2n\pi+\frac{\pi}{5}$ ทุกๆ $n\in I$
หรือ $2n\pi+\frac{\pi}{10}\pm\frac{\pi}{10}=\frac{(20n+1\pm1)\pi}{10}$ ทุกๆ $n\in I$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

ลองพิจารณาในช่วง $[0,2\pi]$ ก็ได้ครับ เช่น สมการ
$$\sin 5x=0$$
ในช่วง $[0,2\pi]$ จะได้ว่า $5x=0,\pi$ หรือ $x=0,\frac{\pi}{5}$

ดังนั้น คำตอบของสมการคือ $0+2n\pi,2n\pi+\frac{\pi}{5}$ ทุกๆ $n\in I$
หรือ $2n\pi+\frac{\pi}{10}\pm\frac{\pi}{10}=\frac{(20n+1\pm1)\pi}{10}$ ทุกๆ $n\in I$

แบบนี้หมายถึงว่า $5x\in[0,2\pi]$ แล้วแบบนี้จะหา $x\in[0,2\pi]$ ที่เป็นคำตอบครบทุกตัวเหรอครับ??

[Real Matrik]

งั้นลองเปลี่ยนใหม่เป็นแก้สมการ $\sin\theta = 0$ แล้วแทน $\theta=5x$ ตอนหลังจะได้มั้ยครับ
ปล. มีอีกคำตอบสวยๆของสมการ $sin5x=0$ คือ $x=\frac{n\pi}{5}$ ครับ