อนุกรมอนันต์2

[Mastermander]

12 + 123 + 1234 + ... + 123456789 + 1234567891 + 12345678912 + 123456789123

[warut]

โจทย์น่าสนใจ (และยาก) มากครับ พอจะบอกที่มาได้ไหมครับ

[Mastermander]

[warut]

ผมคาดว่าคำตอบอาจเป็น $$ \Big \lfloor \frac{ 13717421 \cdot 10^{n+2} }{999999999} \Big \rfloor -5 \Big \lfloor \frac{n}{9} \Big \rfloor -f(n \bmod 9)$$ โดยที่ $$f(0)=1, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=2, f(4)=3$$ $$f(5)=4, f(6)=5, f(7)=6, f(8)=6$$ แต่ยังไม่ได้พิสูจน์ครับ คิดว่าน่าจะยากมากๆ แล้วก็ยังไม่แน่ใจว่า simplify ต่อได้รึเปล่า ยังไงขอดูเฉลยหน่อยได้ไหมครับ

[Mastermander]

$$ \frac{1}{81}\bigg[\frac{100(10^{n+1}-1)}{9}-\frac{9n^2+47n+200}{2}\bigg] $$

[warut]

สูตรที่น้อง Mastermander ให้มานั่นเป็นผลบวกย่อยของอนุกรม

12 + 123 + 1234 + 12345 + 123456 + 1234567 + 12345678 + 123456789 + 1234567900 + 12345679020 + 123456790230 + 1234567902340 + 12345679023450 + 123456790234560 + ...

ไม่ใช่ของอันที่เป็นคำถามครับ

[Mastermander]

อ่าว โทษทีครับ ผมเข้าใจผิด ในหนังสือให้มาแค่นั้น

มีโจทย์มาฝาก 1 ข้อครับ

จงหาค่าของอนุกรมอนันต์
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{36}+\frac{3}{216}+\frac{17}{1296}+\frac{83}{7776}+...$$

Answer

$\frac14$

[passer-by]

ทำไมผมรู้สึกว่าเทอมแรกของอนุกรม มันดูไม่เข้าพวกกับเทอมที่เหลือเลยล่ะเนี่ย (หรือว่าเราเข้าใจผิดเอง )

ยังไง ถ้าไม่ลำบากมากนัก รบกวนน้อง Mastermander เขียนเทอมต่อไป(เทอมที่ 6) ในอนุกรม ให้ดูซักนิดนึงได้ไหมครับ เพราะตอนนี้ผมคิดได้ 2/7 ซึ่งไม่ตรงกับเฉลย

[Mastermander]

next term
$$ \frac{345}{46656} $$

[passer-by]

สรุปว่า เทอมล่าสุดที่น้อง Mastermander post ไว้ ไม่ตรงกับที่ผมคิด แสดงว่าผมคงเข้าใจผิดเอง

งั้นผมว่าน้อง Mastermander ลง $ a_n $ไว้ให้นิดนึงก็ดีครับ ถือเป็นการเฉลยไปในตัว (ไม่ต้องแสดงวิธีทำก็ได้ครับ)

และจากโจทย์ข้อนี้ ก็ทำให้ผมได้ไอเดีย เกิดคำถามใหม่ขึ้นมา

Evaluate $$ \frac{1}{6}+\frac{3}{36}+\frac{17}{216}+\frac{83}{1296}+\frac{417}{7776} +\cdots $$

Ans

$\frac{5}{7}$

[Mastermander]

$$ a_n=\frac{3^n-n(2^n)}{6^n} $$

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
Evaluate $$ \frac{1}{6}+\frac{3}{36}+\frac{17}{216}+\frac{83}{1296}+\frac{417}{7756} +\cdots $$

Ans

$\frac{5}{7}$

พจน์ที่ห้า $\frac{417}{7756}$ หรือ $\frac{417}{7776}$ ครับ

[passer-by]

แก้ไขให้เรียบร้อยแล้วครับ

จากคำถามของคุณ Mastermander ทำให้ผมรู้สึกได้ทันทีว่า การต้องมาคลำหา sequence เองนี่มันเหนื่อยจริงๆ

ส่วนข้อของผม แม้ $ a_n $ แบบสำเร็จรูป จะไม่สวยเท่าข้อก่อนหน้า แต่วิธีที่จะนำไปสู่ $a_n $ ให้ผลบางอย่างที่สวยใช้ได้เลยครับ

[Mastermander]

$\displaystyle{ \frac{1}{6}+\frac{3}{36}+\frac{17}{216}+\frac{83}{1296}+\frac{417}{7776} +\cdots }$

$= \displaystyle{ \frac{1}{6}+\frac{5(1)-2}{36}+\frac{5(3)+2}{216}+\frac{5(17)-2}{1296}+\frac{5(83)+2}{7776} +\cdots } $

[passer-by]

การกระจายเทอม ของน้อง Mastermander ใช้ได้เลยครับ

จริงๆ จากตัวเศษ จะเห็นได้เลยว่า มันเป็น recurrence relation

$ a_1=1 \quad a_2=3 $
$ a_{n}=5a_{n-2}+4a_{n-1} \quad n\geq 3 $

[Mastermander]

แล้วจะคิดผลรวม(คำตอบ) ได้อย่างไรครับ

แอบงง