ตะลุยโจทย์ Integrate

[M@gpie]

เฉลยละกันนะคับ
เราแสดงได้ว่า \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx = \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx \]
ดังนั้น \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx + \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx = 2 \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx \]
จะได้ว่า \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx = 2 \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx \]
ดังนั้น \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x }{\sin^3x +\cos^3 x} dx = \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \]

[passer-by]

สำหรับ Hint ในส่วนของผม

ข้อแรกของผม กับคำถามของคุณ nooonuii ใช้หลักการเดียวกันครับ และเป็น useful trick มากสำหรับอินทิกรัลจำกัดเขตบางประเภท

Trick ที่ว่าคือ

$$ \int_{0}^{a} f(x) dx=\int_{0}^{a} f(a-x) dx $$

ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยาก โดย ให้ $ u=a-x $

ส่วนข้อที่ 2 แนะนำให้ลองใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาช่วยครับ

[Mastermander]

ส่วนข้อที่ 2 แนะนำให้ลองใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาช่วยครับ

ฟังก์ชันไหนอะครับ มีเยอะแยะไปหมด

[nongtum]

ช่วยใบ้ข้อ 2 ของคุณ passer-by: $\sec^2x=1+\tan^2x$
ข้อของคุณ nooonuii หากแสดงได้ว่าสองอินทิกรัลเท่ากัน อาจเขียนได้ว่า $\int\frac{\sin^3x}{\dots}\ dx=\int\ dx-\int\frac{\cos^3x}{\dots}\ dx$ แล้วทำต่อเหมือนคุณ M@gpie ก็ได้ครับ

ไหนๆก็เข้ามาตอบแล้ว ขอแปะโจทย์เพิ่มอีกข้อ หวังว่าคนทำคงไม่บ้าไปซะก่อน :P
$$\int_1^2 \sqrt[4]{2+\sqrt{2x-1}}\,dx$$

คำใบ้:

เอารากที่สี่ออกก่อน

[Mastermander]

ลองทำนะครับ...
ให้ $\sqrt[4]{x} = \tan u $
$$\begin{array}{rcl}\int \frac{\tan u}{1+\tan^2u}\ d(\tan^4u)&=&\int\frac{\tan u}{ \sec^2u} d(\tan^4 u)\\
\because\quad d(\tan^4u)&=& 4\tan^3u\sec^2u \ du\\
ดังนั้น \quad \int \frac{\tan u}{\sec^2u}\ d(\tan^4u)&=&\int 4\tan^4u\ d u\\
\because\quad \int \tan^4u\ du&=&\int (\sec^2u-1)\tan^2u \ du \\
&=&\int\sec^2u\tan^2u\ du-\int\tan^2u \ du \\
&=&\int\tan^2u\ d(\tan u)-\int\sec^2u\ du+\int \ du\\
&=&\frac{\tan^3u}{3}-\tan u +u+C\\
\int 4\tan^4u\ du&=&4(\frac{\tan^3u}{3}-\tan u +u+C)\\
\because \ u&=&\arctan\sqrt[4]{x}\\
\int \frac{ \sqrt[4]{x}}{1+\sqrt x}&=&4\big(\frac{x^{3/4}}{3}-\sqrt[4]{x}+\arctan{\sqrt[4]{x}}\big)\\
\therefore \int_0^{16} \frac{ \sqrt[4]{x}}{1+\sqrt x}&=&4(\frac{8}{3}-2+\arctan 2)\\
&=&4(\frac{2}{3}+\arctan 2 )
\end{array}$$

กว่าจะได้ 1 ข้อ
Edit: แก้ขอบเขตครับ

[passer-by]

ถูกแล้วล่ะครับ น้อง Mastermander แต่มี comment นิดเดียว ตรงการเขียนขอบเขตของ u กับ x อย่าเอามาปนกัน ก็จะดีนะครับ

งั้นแถมให้อีกข้อนึง

(VTRMC 2005) Compute $ \int_{0}^{1} (e-1)\sqrt{ln(1+ex-x)}+e^{x^{2}} dx $

hint ให้นิดนึงว่า trick ที่ใช้ในข้อนี้ คล้ายๆกับ โจทย์บางข้อ เมื่อปลายปีที่แล้ว

[Mastermander]

เนื่องจากโจทย์ของคุณ Passer-by ผมทำไม่ได้แน่นอน ผมจึงเอาไปถามในเว็บบอร์ดวิชาการแล้วได้ความมาว่า


ซึ่งทำโดยคุณ GFK
แล้วผมยัง งงๆอยู่ ตรงบรรทัดที่ ---** ทำไมขอบเขตเป็น 1 ถึง e ครับ

[nongtum]

1 และ e เป็นค่าของ u เมื่อ x=0 และ 1 ครับ

[passer-by]

ก่อนจะเฉลยข้อที่แล้ว แบบไม่ใช้ by parts ขอแปะให้อีกข้อนะครับ คราวนี้ ง่ายกว่าสามข้อแรกของผมหลายเท่าตัว และคงจะเป็นข้อสุดท้ายของผมแล้ว เพราะไม่รู้จะถามอะไรต่อดี

Compute $ \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2}(x)}{(1+\cos x)^{2}}\, dx $

ส่วนข้อก่อนหน้านี้ ใช้หลักการเดียวกับ ข้อสอบสมาคม 2548 ข้อ34 คือมองฟังก์ชันเดียวกัน เป็น 2 มุมมอง

จาก $ y= e^{x^{2}}$ ดังนั้น $ x= \sqrt {lny} $

ทำให้ $ \int_{0}^{1} e^{x^{2}} dx + \int_{1}^{e} \sqrt {lny} \, dy= \text{LOWER} +\text{UPPER}= (1)(e)=e $
(LOWER+ UPPER= พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า)

[Mastermander]

$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}dx=\int_0^{\pi/2}\frac{4\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}{4\cos^4\frac{x}{2}}dx$$

$$\int_0^{\pi/2}\tan^2\frac{x}{2}\ dx = 2\int_0^{\pi/2}\sec^2\frac{x}{2}d(\frac{x}{2})-\int_0^{\pi/2}1\ dx$$

$$=[2\tan \frac{x}{2} - x]|_0^{\frac{\pi}{2}}=2-\frac{\pi}{2}$$

ถูกมั้ยครับ (อุตส่าห์ทำได้)

[passer-by]

ถูกแล้วล่ะครับ น้อง Mastermander

แล้วอย่าลืม คำถามของคุณ nongtum ด้วยนะครับ

ส่วนที่ผมบอกว่า ข้อที่แล้ว เป็นข้อสุดท้าย ถือเป็นโมฆะแล้วกันนะครับ เพราะลืมไปว่า ยังเหลือที่อยากถาม อีกข้อนึง (ไม่ถามล่ะเสียดายตายเลย)

Compute $ \int_{0}^{1} \frac{\arcsin x}{x} dx $

ข้อนี้ จะเป็นข้อสุดท้ายของผม จริงๆแล้วล่ะครับ

(Hint : ข้อนี้ ใช้ By parts มาช่วย ประกอบกับ useful trick ที่เคยให้ไป)

P.S. อีก 3 วัน จะกลับมาดูความคืบหน้าข้อนี้นะครับ

[Mastermander]

$$ \int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}dx $$
Let $ x=\sin u$
$$\begin{array}{rcl}\int \frac{\arcsin x}{x}dx&=&\int \frac{u}{\sin u}d(\sin u)\\
&=&\int u (\cot u) du\\
&=&\text{what next}\end{array}$$

คือผมไปถามรุ่นพี่เอาแล้วได้ความมาว่า $\int \frac{\arcsin{x}}{x}dx=x $ ใช่หรือเปล่าครับ

[nongtum]

ยังไม่ได้ทดนะครับ แต่ลองอินทิเกรตแยกส่วนด้านบนดูนะครับ อ่าจต้องหา $\int\cot x\ dx$ มาเก็บไว้ก่อนด้วย

[passer-by]

ข้อความเดิมของน้อง Mastermander:
$ \int \frac{\arcsin{x}}{x}dx=x $ ใช่หรือเปล่าครับ

ผมว่าคงไม่ใช่แน่ๆครับ ในความเห็นของผม น่าจะไม่มี explicit formula สำหรับ integrand ตัวนี้

ตอนนี้ ก็ครบ 3 วันแล้ว งั้นผมเฉลยแบบละเอียดๆ เลยนะ


ส่วนที่ 1


ส่วนที่ 2


ส่วนที่ 3

[Mastermander]

ตัวปัญหาของผมคือ

$$ \int \ln(\sin x )\ dx=? $$