ตะลุยโจทย์ Integrate - หน้า 3

passer-by · #31 28 มีนาคม 2006, 05:39

ตอนนี้ คำอธิบาย 3 ส่วนด้านบน สมบูรณ์ เรียบร้อยแล้วครับ

nongtum · #32 28 มีนาคม 2006, 08:53

ให้ $u=\sqrt[4]{2+\sqrt{2x-1}}$ จะได้ $x=\frac{1}{2}((u^4-2)^2+1)$ และ $dx=4u^3(u^4-2)du$ ดังนั้น
$$\begin{array}{rcl}
\int_1^2\sqrt[4]{2+\sqrt{2x-1}}dx&=&\int_1^2 4u^4(u^4-2)du
=(\frac{4}{9}u^9-\frac{8}{5}u^5)\big|_{x=1}^{x=2}\\
&=&\frac{4}{45}(2+\sqrt{2x-1})^{5/4}(-8+5\sqrt{2x-1})\big|_1^2\\
&=&\frac{4}{45}\bigg((2+\sqrt{3})^{1/4}(-1+2\sqrt{3})+9\cdot3^{1/4}\bigg)\\
\end{array}$$

Mastermander · #33 28 มีนาคม 2006, 16:21

็สงสัยว่า...

$$ \int_{\pi/2}^{\pi}\cos(\pi/2- u)\ du=\int_0^{\pi/2}\cos y \ dy $$

ทำไมขอบเขตเปลี่ยนไป

M@gpie · #34 28 มีนาคม 2006, 22:04

ผมสงสัยนิดนึงว่า ตอนเราเปลี่ยนตัวแปร มันจะมีปัญหาที่ $ \theta = \frac{\pi}{2} \; $ รึเปล่าครับ
เพราะว่า มันจะทำให้ ฟังก์ชัน $ \ln( \sin ( \frac{\pi}{2}- \theta )) $ หาค่าไม่ได้

warut · #35 29 มีนาคม 2006, 03:15

จริงๆแล้วมันมีปัญหาตั้งแต่ก่อนเปลี่ยนตัวแปรแล้วครับ ซึ่งก็คือที่ $\theta=0$ ทั้งนี้เพราะโจทย์ข้อนี้มันเป็น improper integral น่ะครับ ไม่รู้ตอบตรงประเด็นรึเปล่า

ว่าแล้วก็แถมโจทย์ให้อีกข้อครับ $$\int x^n\ln x \,dx$$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนจริงบวก

passer-by · #36 29 มีนาคม 2006, 07:10

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของน้อง Mastermander:
$ \displaystyle{ \int_{\pi/2}^{\pi}\cos(\pi/2- u)\ du=\int_0^{\pi/2}\cos y \ dy }$
ทำไมขอบเขตเปลี่ยนไป

ที่ขอบเขตเป็นอย่างนั้นเพราะว่า cosq=cos(-q) และเราให้ y=u-(p/2) เหมือนที่ผมเขียนแนบไว้ข้างๆบรรทัดในวิธีทำ น่ะครับ
เมื่อ u=p/2 ก็จะได้ y=0 และเมื่อ u= p ก็จะได้ y= p/2

P.S. สรุปว่า เรากำลัง จะสร้างกระทู้ integrate มาราธอน กันใช่มั้ยครับ

Mastermander · #37 29 มีนาคม 2006, 08:40

โจทย์ยากๆทั้งนั้นเลย

what is improper integral ??

มาราธอนเลยก็ดีครับ

nongtum · #38 29 มีนาคม 2006, 18:16

What is improper integral ?? ---> read this

Mastermander · #39 31 มีนาคม 2006, 17:53

คุณ warut ไม่มาเฉลยสักหน่อยหรอครับ

อยากได้โจทย์ by part ครับ

เพิ่งเห็นสูตรของ $ \int \ln x \ dx $
ขอลองทำของคุณ warut ดูนะครับ
Let u = ln x , dv = xⁿ dx
$$\begin{array}{rcl} \int x^n\ln x\ dx&=&\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int x^{n+1}d \ln x \\
&=&\displaystyle{\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1} -\frac{\int x^n\,dx}{n+1}} \\
\int x^n\ln x\ dx&=&\displaystyle{ \frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+c }\end{array}$$

Edit : เปลี่ยน u ,v

warut · #40 01 เมษายน 2006, 04:53

ถูกครับ แต่คำตอบยังสามารถ simplify ได้อีกหน่อยเป็น $$ \frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}- \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} $$ และวิธีที่ใช้ก็ยังไม่ใช่วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุด ทำแบบ ความเห็นเพิ่มเติมที่ 107 ในกระทู้ที่ วิชาการ.คอม จะดีกว่าครับ

สำหรับสูตรของ $\int\ln x\,dx$ หาได้โดยใช้ integration by parts (ต้องมี s เสมอนะครับ) ดังนี้ $$\int\ln x\,dx= x\ln x-\int x\,d(\ln x)= x\ln x-\int1\,dx= x\ln x-x+C $$

Mastermander · #41 01 เมษายน 2006, 06:29

เลือก u ผิดคิดจนตัวตาย

ผมคงต้องฝึกอีกเยอะครับ

ยังไงก็ขอโจทย์ By parts อีกนะครับ

nongtum · #42 01 เมษายน 2006, 07:27

จัดให้สามข้อย่อยครับ

1. $$\int_0^1 \frac{x^3e^{x^2}}{(x^2+1)^2}\ dx$$
2. $\int e^x\sin 2x\ dx$
3. $\int \sin mx\cos nx\ dx$ เมื่อ $m,\ n\ne 0$

อัจฉริยะอัสสัมชัญ · #43 01 เมษายน 2006, 16:05

ผมไงคนที่พี่ตอบคำถามขอถามว่าพี่อยู่ ม.ไหน

Mastermander · #44 01 เมษายน 2006, 16:29

เลือก u,v ไม่ถูกเลย

nongtum · #45 01 เมษายน 2006, 21:16

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
เลือก u,v ไม่ถูกเลย

ข้อแรกกับข้อสามตัวเลือก u ไม่น่าจะมีปัญหา ลองกลับไปดูความคิดเห็นแรกๆสำหรับตัวอย่างนะครับ ส่วนข้อสองให้เลือก dv ที่สามารถอินทิเกรตได้ทันทีครับ (a bit tricky)

หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ	ผู้ตั้งหัวข้อ	ห้อง	คำตอบ	ข้อความล่าสุด
ช่วย integrate ให้หน่อยครับ	warut	ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป	2	22 มีนาคม 2005 08:27
การ integrate	xbox	ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป	1	04 ตุลาคม 2002 17:12
integrate	tana	ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป	9	01 พฤศจิกายน 2001 22:39
สูตรลดทอนของ integrate (sec x)^n	xlover13	ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป	1	08 มิถุนายน 2001 09:25
ผม Integrate ข้อนี้ไม่ได้	<ปอง>	Calculus and Analysis	12	22 เมษายน 2001 19:31