แจกเฉพาะกิจ : รอบแรก

[passer-by]

โทษทีครับ เพิ่งกลับถึงบ้าน

คำถามทั้ง 7 ข้อ ในรอบแรก มีดังนี้ครับ

1. (3 คะแนน) AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม คอร์ด AC ตัดกับคอร์ด BD ที่ P ซึ่งเป็นจุดในวงกลม
พิสูจน์ว่า $ AB^2= (AC)(AP)+ (BD)(BP) $
(Edit: เดิมโจทย์ขัดแย้งกันเอง)
2. (3 คะแนน) หาค่า $$ \sum_{n=1}^{\infty}\bigg( \frac{4n+5}{n^2+n}\Bigg)\Bigg(\frac{1}{5}\Bigg)^n $$

3. (4 คะแนน ) ถ้า $ x ,y $ เป็นเลขโดดที่ไม่เป็น 0 พร้อมกัน และสอดคล้องกับระบบสมการ

$ xy^2=50y^2-5xy-406x $
$ x^2y=25y^2-2x^2-200x $

หาค่า $100x^2+y^2 $ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

4. (4 คะแนน) กำหนด $ \large a_1 =1 $ และ $ \large a_{n+1}= \frac{\sqrt{1+a_{n}^2}-1}{a_n} $ ทุก $ n \geq 1 $

หา $n$ (ถ้ามี) ที่ทำให้ $ |a_n-\tan\frac{\pi}{60}| $ มีค่าน้อยที่สุด

5. (5 คะแนน) เลือกทำ 1 ข้อเท่านั้น
(A) ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ และ $a_1,a_2,\cdots,a_n > 0 $ พิสูจน์ว่า

$$ \sum_{k=1}^n a_k \leq (n-1)+ \prod_{k=1}^n max(1,a_k) $$
หมายเหตุ : $ max (x,y) $ จะคืนค่าที่มากกว่าเมื่อเทียบระหว่าง x กับ y เช่น $ max(1,5) =5 $
(B) พิสูจน์ว่า $$ \sum_{n=1}^{100} \frac{n^2-n+1}{n^4-n^3+n^2-n+1} < 1.99 $$

6. เนื่องใน วโรกาส ที่ในหลวงทรงครองสิริราชสมบัติครบ 60 ปี ในวันที่ 9 มิ.ย. 2549 ที่จะมาถึง
ผมอยากให้ นำเลข 9 , 6 และ 49 (อย่างละ 1 ตัวเท่านั้น) มาดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างไรก็ได้ ที่ไม่ใช่การ เอาเลขมาต่อกัน (concatenation) โดยต้องการผลลัพธ์สุดท้ายเป็น 60
หมายเหตุ : (1)ให้วิธีละ 2 คะแนน และตอบได้ไม่เกินคนละ 3 วิธี สำหรับวิธีที่ซ้ำกับที่มีคนตอบไปแล้ว จะไม่ได้คะแนน
(2) เครื่องหมาย square root สามารถใช้ได้ทันทีครับ แต่ถ้าถอดรากอื่น จะต้องสร้างเลขของรากนั้นขึ้นมาเอง เช่น จะถอดรากที่ 3 ก็ต้อง เอาเลขที่ผมให้มา มาสร้างเป็น 3 ก่อน
(3) ห้ามสร้าง operation ขึ้นมาเองนะครับ
Edit : เพิ่มหมายเหตุข้อ 3
7. (6 คะแนน) กำหนด $n$ เป็นจำนวนคี่ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3
พิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็ม $c_i $ ซึ่ง $ |c_i| \leq 4 $ ทุก $ i=1,2,\cdots,\frac{n+1}{2} $ ที่ทำให้
$$ c_1{n \choose 1} + c_2{n \choose 3}+\cdots + c_{(n+1)/2}{n \choose n} = 0 $$ (โดย $ c_i$ ไม่เป็น 0 พร้อมกัน)


รอบนี้ไม่น่าจะยากมากเพราะเป็นรอบแรก แต่รอบต่อไป อิ อิ อิ

กติกาทั้งหมดดูได้ ที่นี่ ครับ

และอย่าลืมว่ารอบแรก หมดเขตตอบ วันอังคารที่ 2 พ.ค. เวลา 23.30 น. นะครับ

ขอให้โชคดี

[M@gpie]

ข้อ 2. เนื่องจาก \[ \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( \frac{4n+5}{n(n+1)} \bigl) \bigl( \frac{1}{5} \bigl)^n \; \; = \; \; \sum_{n=1}^{\infty} \big( \frac{5}{n} - \frac{1}{n+1} \big) \bigl( \frac{1}{5} \bigl)^n \; \; = \; \; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^{n-1} \; - \; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^n \]
พิจารณาเทอม \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^{n-1} = 1 + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^{n-1} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1} \bigl( \frac{1}{5} \bigl) ^{k}\]
ซึ่งจะได้ว่าเทอมข้างหลังตัดกันไป ดังนั้นตอบ \[ \sum_{n=1}^{\infty} \bigl( \frac{4n+5}{n^2+n} \bigl) \bigl( \frac{1}{5} \bigl)^n \; \; = \; \; 1 \]

[Mastermander]

6.$$\frac{\Gamma(6)}{9-\sqrt{49}}$$

[nongtum]

เห็นคำถามแล้วอยากสกัดดาวรุ่งชะมัด เสียดายไม่มีสิทธิ์แข่ง ข้อหกง่ายสุดๆรีบๆมาเก็บนะครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 6
(1) $60=\sqrt{49}\times9-\lceil\sqrt{6}\rceil$

ส่วนข้อ 1 ผมว่าโจทย์มีปัญหานะครับ

[gools]

ข้อ 5 ครับ

ในกรณีที่ $n=1$ จะได้ว่า
\[a_1 \leq (1-1)+max(1,a_1)\]
ซึ่งเป็นจริงเสมอ

สมมติให้
\[\sum^m_{k=1} a_k \leq (m-1)+\prod^m_{k=1} max(1,a_k)\]
โดยที่ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก

กรณีที่ 1 $a_{m+1} \leq 1$
จะได้ว่า \[\begin{array}{rcl}\sum^{m+1}_{k=1} a_k = \sum^m_{k=1} a_k +a_{m+1} &\leq& (m-1)+a_{m+1}+\prod^m_{k=1} max(1,a_k) \\
&\leq& m+\prod^m_{k=1} max(1,a_k) \\
&=& m+\prod^{m+1}_{k=1} max(1,a_k) \end{array}\]

กรณีที่ 2 $a_{m+1} > 1$
เห็นได้ชัดว่า $\prod^{m}_{k=1} > 1$
จะได้ว่า $a_{m+1}-1 < \prod^m_{k=1} max(1,a_k)[a_{m+1}-1]$
ดังนั้น
\[\begin{array}{rcl}\sum^{m+1}_{k=1} a_k = \sum^m_{k=1} a_k +a_{m+1} &\leq& (m-1)+a_{m+1}+\prod^m_{k=1} max(1,a_k) \\
&<& m+\prod^m_{k=1} max(1,a_k)[a_{m+1}-1]+\prod^m_{k=1} max(1,a_k) \\
&=&m+\prod^{m+1}_{k=1} max(1,a_k) \end{array}\]

ดังนั้นโดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์จะได้ว่า
\[\sum^n_{k=1} a_k \leq (n-1)+\prod^n_{k=1} max(1,a_k)\]
เป็นจริงทุกจำนวนเต็มบวก $n$

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 6 แบบที่ 2 ของผม
$$60=\bigg\lceil\frac{9}{\cos \sqrt{49}^\circ}\bigg\rceil\times 6$$
แบบที่ 3
$$60=\bigg\lfloor\frac{\sinh 6^\circ}{\sqrt{9}}-\sqrt{49}\bigg\rfloor$$

Edit : เปลี่ยน $\lfloor$ เป็น $\rfloor$ ที่ตัวสุดท้าย

[passer-by]

ข้อ 1 ผมคงจะมึนไปหน่อย ตอนนี้ไป แก้ไขโจทย์ให้แล้วนะครับ

สำหรับน้อง tummy kung ผมโบนัสให้ 1 คะแนนไว้ก่อนแล้วกันที่พบที่ผิด

ส่วนคนอื่นๆ รวมทั้งน้อง Tummy เอง ก็ยังตอบข้อ 1 ที่แก้ไขแล้ว ได้นะครับ โดยคะแนนเต็ม 3 คะแนนเหมือนเดิม

สำหรับข้อ 6 โชว์พลังกันสุดยอดจริงๆ ขอชมจากใจ อ้อ! น้อง Mastermander มาตอบข้อ 6 เพิ่มเติมได้นะครับ แต่น้อง tummy เต็มโควตาข้อนี้แล้วครับ

และข้อ 5 (A) แม้ตอนนี้ ผมยังไม่ได้เช็ควิธีทำคุณ gool แต่บอกผู้ร่วมสนุกท่านอื่นๆได้ว่ายังมีวิธีที่ไม่ใช้ induction ด้วยนะครับ ถ้าตอบมาก็ยังมีสิทธิ์ได้คะแนนเต็ม

[Mastermander]

เลียนแบบคนอื่นจะได้มั้ยครับ(จับผิด)

6.

$$60=\bigg\lfloor\frac{\sinh 6}{\sqrt{9}}-\sqrt{49}\bigg\rfloor$$

[Mastermander]

6.อีกครั้งครับ ได้แนวคิดจากขอบบน-ล่าง เหอะๆ

$$60=\bigg\lfloor\frac{49}{\cos 6}+9\bigg\rfloor$$

[gools]

ข้อ 1 ครับ

\[ (AC)(AP)+(BD)(BP)=AP(AP+PC)+BP(BP+PD)=AP^2+(AP)(PC)+BP^2+(BP)(PD)=AD^2+DP^2+(AP)(PC)+BP^2+(BP)(PD)\]
จาก Power of a point Theorem จะได้ว่า
\[AD^2+DP^2+(AP)(PC)+BP^2+(BP)(PD)=AD^2+DP^2+BP^2+2(BP)(PD)=AD^2+(DP+BP)^2=AD^2+DB^2=AB^2\]

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 3
ถ้า x เป็น 0 หรือ y เป็น 0 เอาไปแทนในสมการจะบังคับให้อีกตัวเป็น 0 ซึ่งโจทย์ไม่ต้องการ
ต่อไปนี้ x,y เป็นจำนวนเต็มที่ $\large 1\leq x,y \leq 9$

กรณี $5|x$ มีเพียงตัวเดียวคือ $x=5$

2(สมการที่ 2)-(สมการที่ 1) ;
$$2x^2y-xy^2=5xy-4x^2+6x$$
$$2xy+4x=y^2+5y+6$$
$$2x(y+2)=(y+2)(y+3)$$
$y\not= -2$ ดังนั้น
$$2x=y+3$$

ถ้า $x=5$ ได้ $y=7$ เอาไปแทนในทั้งสองสมการแล้วเป็นจริง
ต่อไปนี้ จะสมมติว่า $5\not|x$
สมการที่ 2 ย้ายข้างไปได้
$$x(x(y+2)+200)=25y^2$$
จาก $5\not|x$ นั่นคือ $25|(y+2)$
ไม่มี คำตอบอีกแล้ว

นั่นคือ $$100x^2+y^2=100(25)+(49)=2549$$
หุหุ ออกมาเป็นปีนี้พอดีเลย

[gools]

ข้อ 3 ครับ
\[\begin{array}{rcl} xy^2 &=& 50x^2-5xy-406x \ldots (1) \\
x^2y &=& 25y^2-2x^2-200x \ldots (2) \end{array}\]

$(1)-2(2)$ จะได้ว่า
\[\begin{array}{rcl} xy^2-2x^2y &=& 4x^2-5xy-6x \\
y^2-2xy &=& 4x-5y-6 \\
y^2+2y &=& 4x-3y+2xy-6 \\
y(y+2) &=& (2x-3)(y+2) \\
(2x-y-3)(y+2) &=& 0 \\
\end{array} \]

เนื่องจาก $y>0$ ดังนั้น $2x-y=3 \ldots (3)$

และจาก $(2)$ จะได้ว่า
\[x^2(y+2)=25(y^2-8x)\]
เนื่องจาก $0<y+2<25$ จะได้ว่า $5|x^2$ ดังนั้น $5|x$
ดังนั้น $x=5$
และจาก $(3)$ จะได้ว่า $y=7$

และเมื่อแทนค่า $x,y$ ในสองสมการข้างต้นจะได้ว่าเป็นจริง
ดังนั้น $100x^2+y=2500+49=2549$

Edit: เปลี่ยนตรงหัวข้อจากข้อ 4 เป็นข้อ 3 ครับ

[M@gpie]

ข้อ 4 เกี่ยวกับลำดับ มีปัญหารึเปล่าครับ รบกวนคุณpasser-by เช็คหน่อย
หรือว่า ผมคิดไม่ออกเอง แหงะ (ยังไม่ตอบนะครับเดี๋ยวเสียสิทธิ์ อิอิ )

ปล. สู้น้องๆไม่ได้เลย 555 ยอดเยี่ยมกันดีครับ

[gools]

ข้อ 6 ครับ
$60=6(\sqrt{49}+\sqrt{9})$
$60=49+9+\lfloor\sqrt{6}\rfloor$
$60=\lfloor 49+9+\sqrt{6}\rfloor$