แจกเฉพาะกิจ (โครงการ 2) : ศุกร์นี้ !

[passer-by]

โห ! ผมหลบไปซื้อของแป๊บเดียว คุณ M@gpie โซ้ยไปหลายข้อซะแล้ว

แต่ มีผิดอยู่ข้อนึง นะครับ รีบๆแก้ เดี๋ยวมีใครตัดหน้าไปก่อน

สำหรับข้อ 7 ยังมีวิธีแบบไม่ใช้ calculus ครับ ถ้ามีท่านอื่นตอบวิธีดังกล่าวมา แล้วถูก ผมก็ยังให้คะแนนอยู่นะ

ข้อ 3(A) ของน้อง prachya เกือบถูกแล้วอ่ะ รีบๆมาแก้ด้วยนะครับ

ข้อ 6 กับ 12 สำหรับน้องมัธยม ก็ไม่ยากนะครับ

จะ clarify ข้อ 15 นิดนึง ครับ รูปที่ให้มา เป็นแค่การ repeat 2 ครั้งแรก เท่านั้นนะครับ แต่ผมอยากทราบ ว่าถ้าทำไปเรื่อยๆ บรรทัดสุดท้าย จะมีมิติเป็นเท่าไร สำหรับผู้ที่ไม่เคยผ่านตา cantor set ก่อน ลองค้นคว้าข้อมูลเกี่ยวกับ cantor set แบบ standard ใน google แล้วลอง refer เข้าหารูปนี้ดู ก็คงไม่ยากเกินไปที่จะตอบข้อนี้ครับ

ว่าแต่ ตอนนี้ มีเล่นแค่ 3 คนใช่ไหมครับเนี่ย

[passer-by]

โอเค ครับ น้อง prachya

ส่วน เรื่องมิติของน้อง M@gpie คือ ถ้าเป็น สี่เหลี่ยม ก็ 2 มิติ ใช่ไหมครับ ลูกบาศก์ 3 มิติ เส้นโค้งความยาวจำกัด ก็ 1 มิติ แต่ Cantor set ข้อนี้ดูเหมือนมิติจะเป็น 1 ใช่ไหมครับเพราะเป็นเส้น(ที่สั้นและถี่มากๆ) แต่กลับไม่ใช่ แถมมิติก็ไม่เป็นจำนวนเต็มซะงั้น

ผมก็ใบ้ให้ได้แค่นี้แหละ จุดประสงค์ของผม ก็คือ อยากให้ลอง search ข้อมูลด้วยตัวเอง แล้วน้องก็จะทราบเองว่า เขาคิดมิติรูปนี้กันอย่างไร (สูตร simple มากครับ)

[passer-by]

แถม hint ให้เฮือกสุดท้าย สำหรับบางข้อ เผื่อมีใคร post อีก

3(B)

multiplied by something and use telescopic technique

4
ใช้แค่ $ x^2+y^2 \geq 2xy $ ก็ออกครับ แต่ใช้ให้ถูกตำแหน่งแล้วกัน

12
apply มาจากโจทย์เกี่ยวกับ คนเมาเดินเซไปมา ในคู่มือ ม.ปลาย เรื่อง จัดหมู่ เรียงสับเปลี่ยน นี่แหละครับ

[prachya]

6. ให้ Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ กำหนด $ f:N \rightarrow Q $ ซึ่ง $ f(1)= \frac{3}{2} $ และ
$ f(x+y)= (1+ \frac{y}{x+1})f(x)+ (1+ \frac{x}{y+1})f(y)+ x^2y+xy+xy^2 $ ทุกจำนวนนับ $ x,y $
หาค่า f(20)

ถ้าทำถึกจะว่ากันไหมคับ = ="

จัดรูปอันรกๆให้ง่ายขึ้นหน่อยได้
$ f(x+y)= (x+y+1)( \frac{y}{x+1})f(x)+ \frac{x}{y+1} + xy) $ ...*
กรณี x = y
$ f(2x)= (2x+1)( \frac{2f(x)}{x+1}) + x^2) $ ...**

$f(2) = (3)[( \frac{2f(1)}{2}) + 1] = \frac{15}{2}$ edit : เจอที่ผิดละคับ ลืมใส่วงเล็บซะงั้น = =
$f(3) = (4)[ \frac{f(2)}{3}+ \frac{f(1)}{2} + 2] = 21$
$f(5) = (6)[ \frac{f(2)}{3}+ \frac{f(3)}{4} + 6] = \frac{165}{2}$
$f(10) = (11)[( \frac{2f(5)}{6}) + 25] = \frac{(11)(105)}{2}$
$f(20) = (21)[( \frac{2f(10)}{11}) + 100] = 4305 $

ปล. ไม่ได้ซีเรียสฮะ อิอิ เห็นพี่ passer-by ตั้งโจทย์เอาใจม.ปลาย ก็เลยมาเล่นด้วยซะหน่อย
เดี๋ยวพรุ่งนี้ผมไปรด.แล้ว T_T
(เมื่อวานหลับคาคอมเลยพี่ 55)

[warut]

แวะมาเชียร์คนอึดเต็มพิกัดครับ

[passer-by]

กลายเป็นเจ้าของงานแอบหลับไปไม่รู้ตัวจนเลย 6 โมงเช้า อิ อิ

มาสรุปคะแนนกันดีกว่า

คุณ M@gpie ได้ 8 คะแนน (ข้อ 6 ผมไม่คิดคะแนนนะ)

คุณ Prachya ได้ 2 คะแนน (ข้อ 6 ไม่ถูกอ่ะครับ)

คุณ Mastermander ได้ 2 คะแนน (แม้จะเขียน 2 บรรทัดสุดท้าย ไม่ rigorous เท่าไหร่)

งั้นสอบเสร็จแล้วก็ ส่ง pm มายืนยันเรื่องที่อยู่ส่งของด้วยนะครับ คุณ M@gpie

และก็เห็นในความพยายามของน้อง prachya ที่ทำข้อ 6 งั้นผมมีของแถมให้แล้วกัน ส่งที่อยู่มาหลังไมค์นะครับ แล้วจะบอกว่า คืออะไร

ผมขอเฉลยข้อ 6 ก่อนแล้วกันครับ (ข้อนี้มาจาก Singapore MO 2006 (Senior section: First round) )

จัดรูป functional equation ที่ให้มาเป็น

$ f(x+y)= (x+y+1)(\frac{f(x)}{x+1}+\frac{f(y)}{y+1}+xy) $

$ \frac{f(x+y)}{x+y+1} = \frac{f(x)}{x+1}+\frac{f(y)}{y+1}+xy $

แทน x= n ,y= 1 จะเห็นภาพชัดขึ้นครับ ดังนั้นสมการกลายเป็น

$ \frac{f(n+1)}{n+2} = \frac{f(n)}{n+1}+\frac{3}{4}+ n $

แทนค่า n= 1,2,...,19 แล้วจับทั้ง 19 สมการบวกกัน สุดท้ายจะตัดกันจนเหลือ f(20)= 4305 ครับ

เอาเป็นว่า ตอนนี้ ใครจะเฉลยอื่นๆข้อไหน ก็เต็มที่เลยครับ แล้วผมจะมาเก็บตกรายละเอียดให้อีกครั้ง

[warut]

ข้อ 15. เราสามารถนิยาม "มิติ" แบบบ้านๆได้โดยสังเกตว่า

ของที่มี 1 มิติ อย่างเช่น ส่วนของเส้นตรง ถ้าเราขยายมันออกเป็น 2 เท่า เราจะได้ส่วนของเส้นตรงแบบเดิมเป็นจำนวน 2 ชุด

ของที่มี 2 มิติ อย่างเช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส ถ้าเราขยายมันออกเป็น 2 เท่า เราจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเดิมเป็นจำนวน 4 ชุด

ของที่มี 3 มิติ อย่างเช่น ลูกบาศก์ ถ้าเราขยายมันออกเป็น 2 เท่า เราจะได้ลูกบาศก์แบบเดิมเป็นจำนวน 8 ชุด ถ้าเราขยายมันออกเป็น 3 เท่า เราจะได้ลูกบาศก์แบบเดิมเป็นจำนวน 27 ชุด

ดังนั้นถ้าเราขยายของชิ้นหนึ่งขึ้นเป็น $n$ เท่า แล้วปรากฎว่าได้ของแบบเดิมออกมา $x$ ชุด เราก็จะมั่วได้ว่าของชิ้นนั้นมี "มิติ (แบบบ้านๆ)" เท่ากับ $\log_nx$ ครับ

ในกรณีของรูปที่ถาม จะเห็นว่าถ้าเราขยายมันขึ้นเป็น 5 เท่า จะเกิดรูปแบบเดิมทั้งหมด 3 ชุด ดังนั้น "มิติ" ของมันก็ควรจะเป็น $\log_53\approx0.6826$ ครับ

[Mastermander]

2.$$(3^{\log_7 x}+4)^{\log_7 3 }= x - 4$$

ให้ $x=7^u$ สมการกลายเป็น

$$(3^{u}+4)^{\log_7 3 }= 7^u - 4$$

ให้ $3^u+4=7^w$ ...(1) เห็นได้ว่า $u=w=1$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการนี้

นำไปแทนสมการเดิมจะได้ $3^w=7^u-4$ ...(2)

ซึ่งทั้งสองสมการนั้น $u=w=1$ เป็นคำตอบ

เนื่องจาก $3^x,7^y-4$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 และเป็นฟังก์ชันเพิ่มกราฟจึงตัดกันที่จุดเดียว

ดังนั้น $u=w=1$ เป็นคำตอบเดียวของสมการ

$\therefore\quad x=7$

[nooonuii]

งานนี้กลายเป็นรายการอัจฉริยะข้ามคืนเวอร์ชัน MATHCENTER ไปแล้วครับ

[prachya]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
12. $ a_1 , a_2, \cdots a_{13} \in R $ โดย $ \mid a_{n+1} ?\, a_n \mid =1 $ เมื่อ $ n =1,2,\cdots 12 $
และ $a_1=1 , a_{13}=5 $ หาว่ามี $ a_1 , a_2, \cdots a_{13} $ กี่ชุด

จำนวนชุด ก็คือจำนวนเส้นทางที่เดินจาก a₁ ไป a₁₃
$$ \frac{12!}{8!4!} = 495 $$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:

4. กำหนด $ a_i>0 $ และ $ \sum_{i=1}^n a_i = 1 $ พิสูจน์ว่า $$ \frac{a_1^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_2^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_n^3}{a_n^2 +a_1^2} \geq \frac{1}{2} $$

7. ให้ $ a \geq 0$ พิสูจน์ว่า $ \sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+ \sqrt[6]{a} \leq a+2 $

4.
$\displaystyle{ \frac{a_1^3}{a_1^2+a_2^2} = a_1 - a_2\Big(\frac{a_1a_2}{a_1^2+a_2^2}\Big) \geq a_1 - \frac{a_2}{2}}$
$\displaystyle{\frac{a_2^3}{a_2^2+a_3^2} = a_2 - a_3\Big(\frac{a_2a_3}{a_2^2+a_3^2}\Big) \geq a_2 - \frac{a_3}{2}}$
.
.
.
$\displaystyle{\frac{a_n^3}{a_n^2+a_1^2} = a_n - a_1\Big(\frac{a_n a_1}{a_n^2+a_1^2}\Big) \geq a_n - \frac{a_1}{2}}$

บวกอสมการทั้งหมดเข้าด้วยกันจะได้คำตอบครับ

7. ใช้ AM - GM

$\begin{array}{rcl} \sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+ \sqrt[6]{a} & = & \sqrt{a\cdot 1}+\sqrt[3]{a\cdot 1 \cdot 1}+ \sqrt[6]{a\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} \\ & \leq & \displaystyle{ \frac{a+1}{2} + \frac{a+2}{3} + \frac{a+5}{6} } \\ & = & a+2 \end{array} $

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a = 1$

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:

7. ใช้ AM - GM

$\begin{array}{rcl} \sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+ \sqrt[6]{a} & = & \sqrt{a\cdot 1}+\sqrt[3]{a\cdot 1 \cdot 1}+ \sqrt[6]{a\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} \\ & \leq & \displaystyle{ \frac{a+1}{2} + \frac{a+2}{3} + \frac{a+5}{6} } \\ & = & a+2 \end{array} $

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a = 1$

สั้นๆ ง่ายๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:

5. ให้ $ p_1 , p_2 , \cdots , p_{2006} $ เป็นจำนวนนับที่ต่างกัน และมากกว่า 1 พิสูจน์ว่า $$ \prod_{i=1}^{2006} \big( 1- \frac{1}{p_i^2} \big ) > \frac{1}{2} $$

โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $p_1 < p_2 < \cdots < p_{2006}$
ดังนั้นเราจะได้ว่า $p_i\geq i+1$ ทุกค่า $i=1,2,...,2006$
ซึ่งจากอสมการนี้เราสามารถพิสูจน์ต่อได้ไม่ยากว่า
$$\frac{p_i^2-1}{p_i^2} \geq \frac{(i+1)^2-1}{(i+1)^2}$$
ทุกค่า $i=1,2,...,2006$

ดังนั้น
$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{ \prod_{i=1}^{2006} (1-\frac{1}{p_i^2}) } & = & \displaystyle{ \prod_{i=1}^{2006} (\frac{p_i^2-1}{p_i^2}) } \\ & \geq & \displaystyle{ \frac{(2^2-1)(3^2-1)\cdots (2007^2-1)}{2^2\cdot 3^2 \cdots 2007^2} } \\ & = & \displaystyle{ \frac{(1\cdot 3)(2\cdot 4)\cdots (2006\cdot 2008)}{(2\cdot 2)(3\cdot 3)\cdots (2007\cdot 2007)} } \\ & = & \displaystyle{ \frac{2006!\cdot 2008!}{2\cdot 2007!\cdot 2007!} } \\ & = & \displaystyle{ \frac{2008}{2\cdot 2007} } \\ & > & \displaystyle{ \frac{1}{2} } \end{array}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:

9. หาฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึง $ f :[0,1) \rightarrow (0,1) $ โดย $ f(x) \neq x $ for infinitely many x

$\displaystyle{f(x) = \cases{\frac{1}{2} & , x = 0 \cr \frac{1}{n+1} & , x = \frac{1}{n} \cr x & , \text{otherwise}}}$

จริงๆแล้วเราสามารถพิสูจน์ได้ครับว่า
ทุกฟังก์ชัน $f:[0,1)\to (0,1)$ ที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะสอดคล้องคุณสมบัติที่ว่า $f(x)\neq x$ เป็นจำนวนอนันต์เสมอ
Proof :
สมมติว่า $A=\{x\in [0,1) : f(x)\neq x\}$ เป็นเซตจำกัด
สังเกตว่า $0\in A$ ดังนั้น $A$ ไม่เป็นเซตว่าง
เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราจะได้ว่า $f(A)\subseteq A$ และ $f_{|A}$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
แต่ $A$ เป็นเซตจำกัด เราจะได้ว่า $f_{|A}$ ต้องเป็นฟังก์ชันทั่วถึงด้วย
ดังนั้นจะต้องมีจุดใน $A$ ที่ส่งไปหา 0 ซึ่งขัดแย้ง

[prachya]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:

10. $ A= 1!2!3! \cdots 1002! $ และ $ B = 1004!1005!1006! \cdots 2006! $ พิสูจน์ว่า 2AB เขียนในรูปกำลังสองของจำนวนนับได้

ยังคิดวิธีดีๆ general หน่อยไม่ออกเลยครับ งั้นก็ถึกตามสไตล์ผมหละนะครับ = ="
$A = 2^{1001} . 3^{1000} . 4^{999} ..... 1002$
$B = 2^{1003} . 3^{1003} ..........1002^{1003} . 1003^{1003} . 1004^{1003} .1005^{1002} . 1006^{1001}.....2006^{1} $
$2AB = 2^{2005} . 3^{2003} . 4^{2002}.... 1002^{1004} . 1003^{1003} . 1004^{1003} . 1005^{1002} . 1006^{1001} .....2006$

การเขียนในรูป กำลังสองของจำนวนนับได้ แสดงว่า 2AB ต้องถอดรากที่ 2 ลงตัว ดังนั้นกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นคู่จะถอดรากลงตัวเสมอ ผมจะตัดทิ้งโดยละไม่กล่าวถึงเลยนะครับ

$(2)(3.5.7.9.....1003)(1004 . 1006 . 1008 .1010 ...2006)$
$(2^{502+1})(3.5.7.9.....1003)(502 .503. 504 .......1003) --> (2^{503})(3.5.7.9...501)(502.504.506....1002) $
$(2^{503+251})(3.5.7.9...501)(251.252...501) --> (2^{754})(3.5.7...249)(252.254...500)$
$(2^{754+125})(3.5.7.9...249)(126.127.....250) --> (2^{879})(3.5.7..125)(126.128...250)$
$(2^{879+63})(3.5.7.9...125)(63.64.65...125) --> (2^{942})(3.5.7...61)(64.66.68...124)$
$(2^{942+31})(3.5.7.9...61)(32.33.34....62) --> (2^{973})(3.5.7..31)(32.34.36...62)$
$(2^{973+16})(3.5.7.9..29)(16.17.18...31) --> (2^{989})(3.5.7..15)(16.18.20....30)$
$(2^{989+8})(3.5.7..15)(8.9.10....15) --> (2^{997})(3.5.7)(8.10.12.14) $
$(2^{997+4})(3.5.7)(4.5.6.7) --> (2^{1001})(3)(4.6))$
$(2^{1001+3})(3)(3) $ สรุปว่า ถอดรากที่ 2 ลงตัวคับ = ="

ปล. สมองไม่สู้ แต่ใจสู้ฮะ อิอิ