แจกเฉพาะกิจ (โครงการ 2) : ศุกร์นี้ !

[nongtum]

ข้อหกทำให้ิถึกน้อยลงกว่านี้ได้ครับ มีแนวคิดดังนี้

เพราะ $A = 1^{2002}\cdot 2^{1001} \cdot 3^{1000} \cdot 4^{999}\cdots 1002^1$
$B = (1003!)^{1003} \cdot 1004^{1003} \cdot1005^{1002} \cdot 1006^{1001}\cdots2006^{1} $
กำจัดเทอมที่มีเลขกำลังคู่ทิ้งไปให้หมด ส่วนตัวกำลังเป็นคี่ ดึงออกมาหนึ่งตัว แล้วกำจัดกำลังคู่ที่ดึงออกทิ้ง ก็จะได้
$A_{\text{new}}=2\cdot4\cdots1002$ และ $B_{\text{new}}=1003!\cdot1004\cdot1006\cdots2006$
ดึงสองออกจากเลขคู่แต่ละตัวอีกรอบ แล้วจับคูณกัน จะเห็นว่าได้สองมา 1003 ตัว และ 1003!
เอาสองคูณเข้าไปอีกตัว เลขชี้กำลังของสองและ 1003! ก็จะเป็นเลขคู่ เป็นอันเสร็จพิธี

4. สำหรับ $x,y>0$ เนื่องจาก $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\ge (\frac{x^2+y^2}{2})(x+y)$$ ดังนั้น $$\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x+y}2$$
เอาไป apply กับเทอมในโจทย์ จะได้ $$\frac{a_1^3+a_2^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_2^3+a_3^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_n^3+a_1^3}{a_n^2 +a_1^2} \ge \sum a_i=1$$ ดังนั้นเพียงพอที่จะแสดงว่้า $$A:=\frac{a_1^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_2^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_n^3}{a_n^2 +a_1^2}=
\frac{a_2^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_3^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_1^3}{a_n^2 +a_1^2}=:B$$
พิจารณา $$\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=(x-y)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(x-y)$$
และ $$\frac{y^3-x^3}{x^2+y^2}=(y-x)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(y-x)$$
apply กับ $a_i$ จะได้ $A-B\le0$ และ $B-A\le0$ นั่นคือ $A=B$

[M@gpie]

อืมมมม หลังจากที่พี่ๆ ปลดปล่อยพลังแล้วแต่ละข้อก็ ง่ายดังพลิกฝ่ามือจริงๆครับ 555

อืมมมม รู้สึกว่า น้องๆในบอร์ดเราจะลดลงๆ สงสัยจะไม่ค่อยได้แวะมาเยี่ยมเยียน

[passer-by]

มาเก็บตกครั้งที่ 1 กันก่อนครับ เดี๋ยวดินพอกหางหมู

ข้อ 3(A),12 : ดูได้จากคำตอบของคุณ prachya (ชอบ diagram ข้อ 12 มากครับ)
ข้อ 4,5,7,9 : ดูได้จากคำตอบของคุณ nooonuii (ขอบคุณสำหรับ additional analysis ในข้อ 9 ครับ)
ข้อ 6 : ผมเฉลยไปแล้ว
ข้อ 14 : ดูได้จากคำตอบของคุณ M@gpie
ข้อ 15 : ดูได้จากคำตอบคุณ Warut

ที่เหลือผม ขอแบ่งเป็น 2 ส่วนแล้วกัน คือ solutions กับ comment เพิ่มเติมในบางข้อ

(I) Comment

ข้อ 1 ยังทำได้อีกวิธีครับ

ให้ $ A=2x+\frac{1}{x+y} $ และ $ B=2y+\frac{1}{x+y} $

ระบบสมการข้อนี้จะกลายเป็น
$ A^2+AB+B^2 =\frac{85}{3}+6 $
$ A= \frac{13}{3} $

แล็วก็ solve ออกมาตามปกติครับ

ข้อ 2 เนื่องจาก $ a^{\log_7 b}= b^{\log_7 a} $ สมการจึงเขียนใหม่ได้เป็น

$ (x^{\log_7 3}+4)^{\log_7 3 }= x - 4 \cdots(*)$

ให้ $ y= x^{\log_7 3}+4 \Rightarrow x^{\log_7 3}= y-4 \cdots(1) $
ขณะเดียวกัน จาก (*) ก็จะได้ $ y^{\log_7 3}=x-4 \cdots(2) $

$ (1)-(2) ; \,\, x^{\log_7 3}-y^{\log_7 3}= y-x $

ถ้า 0<x<y หรือ 0<y<x จะทำให้ sign ทั้ง 2 ข้างของสมการ ไม่เหมือนกัน

ดังนั้น x=y นั่นคือ $ x= x^{\log_7 3}+4 \rightarrow \log_3 (x-4)= \log_7 x $

กำหนด $ a= \log_3 (x-4)= \log_7 x \rightarrow 7^a -3^a = 4 $

เพราะ $ f(a) = 7^a-3^a $ เป็น 1-1 & strictly increasing function บน positive real number

ดังนั้น $ a= 1 \rightarrow x=7 $ เป็น unique real solution ของสมการครับ

ข้อ 10

พิจารณา $$ N = 1!2!3!\cdots 2006! = \prod_{n=1}^{1003} (2n-1)!(2n)! $$

เพราะ $$ \begin{array}{lcr} \prod_{n=1}^{1003} (2n-1)!(2n)! &=& \prod_{n=1}^{1003}(2n)((2n-1)!)^2 \\ & = & 2^{1003}\cdot 1003! \cdot \text{Square term} \end{array} $$

สังเกตว่า $ \frac{N}{1003!}= AB $ ซึ่งเมื่อคูณด้วย 2 จะได้ 2AB เป็น square ทันที

ข้อ 12

แนวคิดข้อนี้ เทียบเคียงได้กับคำถามในคู่มือ ม.ปลาย ประมาณว่า ถ้ามีคนเมาเดินก้าวหน้า ถอยหลัง รวม 12 ก้าว แล้วพบว่า เขาอยู่ข้างหน้าของจุดเริ่มต้น 4 ก้าว เขาจะมีวิธีเดินได้กี่วิธี

เงื่อนไข $ \mid a_{n+1} ?\, a_n \mid =1 $ ก็เหมือนกับ การก้าวหน้า ถอยหลังนั่นเองครับ

สมมติต้องก้าวไปข้างหน้า x ก้าว ดังนั้น x - (12-x) = 4 หรือ x= 8

ดังนั้นจำนวนวิธีการเดินให้อยู่หน้าจุดเริ่มต้น 4 ก้าว $( a_{13} -a_1 = 4)$ ก็คือการเรียงสับเปลี่ยน +1 (เดินหน้า) 8 ครั้ง และ -1 (ถอยหลัง) 4 ครั้ง ซึ่งก็จะได้คำตอบ คือ $ \frac{12!}{8!4!}$

ข้อ 15

ข้อนี้ ผมคงไม่ต้องอธิบายอะไรมาก เพราะคุณ Warut พูดไปหมดแล้ว สาเหตุที่ผมเอาข้อนี้มาถาม เพราะอยากให้รู้จัก fractal dimension ครับ
ตัวอย่าง fractal ที่คุ้นๆกันดี ก็อย่าง รูป Koch snowflake ในกระทู้ Sequence series marathon ซึ่งมีมิติประมาณ 1.26186 (ลอง Verify เองนะครับ) เท่ากับว่า อยู่ระหว่างมิติของเส้นโค้ง กับมิติของรูปเหลี่ยมซะด้วย

ตัวอย่างการนำ fractal ไปใช้ ที่เด่นชัดที่สุดในปัจจุบัน ก็คือ การพัฒนาเสาเอากาศเพื่อให้รองรับ ย่านความถี่ของคลื่นสัญญาณที่กว้างขึ้นครับ ส่วนรายละเอียด คงต้องสอบถามจากพวกวิศวกรโทรคมนาคมแล้วล่ะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:


4. ดังนั้นเพียงพอที่จะแสดงว่้า $A = B$ เมื่อ
$$A:=\frac{a_1^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_2^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_n^3}{a_n^2 +a_1^2}$$
$$B:= \frac{a_2^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_3^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_1^3}{a_n^2 +a_1^2}$$

พิจารณา $$\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=(x-y)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(x-y)$$
และ $$\frac{y^3-x^3}{x^2+y^2}=(y-x)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(y-x)$$
apply กับ $a_i$ จะได้ $A-B\le0$ และ $B-A\le0$ นั่นคือ $A=B$

$A\neq B$ ครับ
ให้ $\displaystyle{ x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3},z=\frac{1}{6} }$ จะได้ว่า

$\displaystyle{A = \frac{x^3}{x^2+y^2} + \frac{y^3}{y^2+z^2} + \frac{z^3}{z^2+x^2} = \frac{491}{780} }$
$\displaystyle{ B = \frac{y^3}{x^2+y^2} + \frac{z^3}{y^2+z^2} + \frac{x^3}{z^2+x^2} = \frac{457}{780} }$

ผมว่าอสมการต่อไปนี้ไม่จริงครับ เลยเกิดปัญหา
$\displaystyle{ (x-y)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(x-y) }$
$\displaystyle{ (y-x)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(y-x) }$

เพราะเราไม่รู้ว่า $x-y\geq 0$ หรือไม่ ซึ่งถ้าเราแก้โดยการสมมติให้ $x\geq y$
ก็ยังไม่ได้อยู่ดีเพราะเราจะได้ว่า $y-x\leq 0$ ซึ่งจะทำให้อีกอสมการหนึ่งไม่จริง

[nongtum]

ผิดอีกแล้วหนอเรา

ถ้างั้นหากจะทำต่อจากที่ผมทำมา ใช้ rearrangement ช่วยได้ไหมครับ หากไม่ได้จะทำได้อย่่างไร หรือว่าทำได้แบบที่คุณ nooonuii แบบเดียวครับ

[passer-by]

มาเก็บตก อีกครั้งครับ

(II) Solutions

3(B) ให้ S คือผลลัพธ์ที่ต้องการ

$$ \begin{array}{rcl} \sin 1^{\circ}\cdot S &=& \frac{\sin 1^{\circ}}{\cos 0^{\circ} \cos 1^{\circ}}+\frac{\sin 1^{\circ}}{\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ}}+\cdots +\frac{\sin 1^{\circ}}{\cos 88^{\circ} \cos 89^{\circ}} \\ &=& \tan 1^{\circ}+ \frac{\sin 2^{\circ}\cos 1^{\circ}-\sin 1^{\circ}\cos 2^{\circ}}{\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ}}+\cdots +\frac{\sin 89^{\circ}\cos 88^{\circ}-\sin 88^{\circ} \cos 89^{\circ}}{\cos 88^{\circ} \cos 89^{\circ}} \\ &=& \tan 1^{\circ}+ (\tan 2^{\circ}- \tan 1^{\circ} )+\cdots (\tan 89 ^{\circ}- \tan 88^{\circ})
\end{array} $$

ดังนั้น $ S= \frac{\tan 89^{\circ}}{\sin 1^{\circ}} =\frac{\cos 1^{\circ}}{\sin^2 1^{\circ}} $

ข้อ 8 ,11 เดี๋ยวกลางอาทิตย์หน้าจะ scan รูปข้อ 8 กับกราฟข้อ 11 มาให้ดูครับ หรือใครอยากเฉลย 2 ข้อนี้ไปก่อน ก็ตามสบายเลยนะครับ

ข้อ 13

เห็นได้ชัดว่า k เป็นจำนวนอตรรกยะ

นอกจากนี้ สำหรับ จำนวนนับ n ใดๆ

$ kx_{n-1} -1 < x_n < kx_{n-1} \Rightarrow \frac{x_n}{k}< x_{n-1}< \frac{x_n}{k}+\frac{1}{k}$

ดังนั้น $ \lfloor \frac{x_n}{k} \rfloor = x_{n-1}-1 $

จากสมการที่โจทย์กำหนด ทำให้ $ kx_n = (2550 + \frac{1}{k})(x_n) = 2550x_n + \frac{x_n}{k} $

ดังนั้น $ x_{n+1}= \lfloor kx_n \rfloor = 2550x_n + x_{n-1}-1 \equiv x_{n-1}-1 \pmod {2550} $

นั่นคือ $ x_{2550} \equiv x_0-1275 \equiv -1274 \pmod {2550} \equiv 1276 \pmod {2550} $

ดังนั้น ข้อนี้ตอบ 1276 ครับ

p.s. ก็ต้องขอบคุณน้องๆทั้ง 3 คน ที่สละเวลาอันมีค่ามาแจมใน โครงการ 2 นี้ครับ แม้ว่า บางคนจะติดสอบ บางคนก็ใกล้จะไปเขาชนไก่ อย่างน้อย ก็จุดประกาย ทำให้ผมอยากหาอะไรมาแจกอีกในปีต่อๆไป ไม่ว่าจะมีคนเล่นกี่คนก็ตาม

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ผิดอีกแล้วหนอเรา

ถ้างั้นหากจะทำต่อจากที่ผมทำมา ใช้ rearrangement ช่วยได้ไหมครับ หากไม่ได้จะทำได้อย่่างไร หรือว่าทำได้แบบที่คุณ nooonuii แบบเดียวครับ

rearrangment inequality อาจจะมีปัญหาครับ เพราะแต่ละเทอมดันมีตัวแปรสองตัวแล้วก็วนซ้ำกันอีก จะเห็นว่าถ้าเราเรียงค่าให้ตัวแปร เราจะเจอปัญหาที่ $a_n^2+a_1^2$ เพราะเราไม่รู้จะเปรียบเทียบค่ากับตัวอื่นยังไง

ผมว่าเหตุผลหนึ่งที่โจทย์อสมการเป็นหนึ่งในหกข้อสอบคณิตศาสตร์โอลิมปิกแทบทุกปีก็เพราะว่าปัญหาอสมการนั้นมีคำตอบได้หลากหลายครับ ผมจึงคิดว่าข้อนี้ต้องมีวิธีคิดที่แตกต่างออกไป ผมก็พยายามคิดโดยไม่ใช้ Hint ที่คุณ passer-by ให้มาเหมือนกันแต่ยังไม่ออกครับ สำหรับวิธีคิดของผม ผมก็ยังยืนยันวิธีการเดิมคือเช็คสมการก่อนครับว่าเกิดขึ้นเมื่อไหร่ ซึ่งจะได้ว่าสมการเกิดขึ้นเมื่อตัวแปรทุกตัวมีค่าเท่ากัน จากนั้นก็มาดูที่เงื่อนไขโจทย์ จะเห็นว่าถ้าเราจับแต่ละพจน์มาทำการหารยาว เราจะได้ผลลัพธ์เป็น $a_i$ โผล่มาในแต่ละเทอม ส่วนเศษที่ได้อาจจะยังไม่ต้องสนใจก็ได้ ซึ่งถ้าใครคิดมาได้ถึงจุดนี้ก็ make sense ที่จะคิดต่อครับ เพราะเงื่อนไขโจทย์มันชี้นำไว้อย่างนั้น ผมพยายามใช้อสมการโคชีด้วยเหมือนกันครับ แต่จะติดปัญหาที่เงื่อนไขการเป็นสมการ เพราะอสมการโคชีจะมีเงื่อนไขการเป็นสมการที่ต่างจาก AM-GM ทำให้การสร้างเวคเตอร์ที่สมการเป็นจริงเมื่อตัวแปรทุกตัวมีค่าเท่ากันทำได้ยากกว่ามากเลยครับ

[M@gpie]

ตอนแรกข้อ 4. ผมก็คือจะเรียงค่าตัวแปรเหมือนกันครับ แต่พบว่ามันวนกลับมาเป็นงูกินหาง เลยเกิดปัญหาขึ้น เลย งง ต่อไป อิอิ แต่วิธีพี่ ก็ยากใช่ย่อยนะขอรับนี่ (สังเกตว่าผมทำได้แต่แบบง่ายๆ) อิอิ

[passer-by]

เก็บตก 2 ข้อสุดท้ายครับ

ข้อ 11

เป็นเรื่องของความน่าจะเป็น กรณีที่ sample space เป็นเซตอนันต์ ครับ

ให้ x,y แทนระยะห่างจากซ้ายสุดของเส้น ดังนั้น อสมการที่ผมเขียนไว้ในรูปข้างล่าง ทั้ง 2 สมการ ก็คือ event ที่ต้องคิด ซึ่งเมื่อวาดรูปแล้ว ก็จะได้พื้นที่ที่แรเงา ส่วน sample space ก็คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5x5 นั่นเองครับ

ดังนั้น $ P(E)= \frac{\text{Shaded Area}}{\text{Square area}}= \frac{13}{25} $

ข้อ 8

ดูตามคำอธิบายในรูปเลยครับ

จากนั้น เพราะ $ ME= IE\sin(\frac{A}{2}) $ และ $ AI= \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})} $ (ลอง Verify ดูนะครับ)

สุดท้าย ก็จะได้ ขนาดของ AX ก็คือ r นั่นเอง