ข้อสอบปราบเซียน ยากได้ใจมากมาย

[vespa1]

รบกวนท่านเซียนทั้งหลายประลองฝีมือแก้ปัญหาร่วมกับข้าพเจ้าทีค่ะลองดูกันเลยนะคะ

1.กำหนดให้ a,b และc เป็นจำนวนเต็ม พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า (a+b) l c และ a l c แล้ว b l c ค. ถ้า a l bc และ (a,b)=1 แล้ว a l c
ข. ถ้า a l (b+c) และ (a,c)=1 แล้ว a l c ง. ถ้า a l bc แล้ว a l b หรือ a l c
มีข้อถูกกี่ข้อและข้อใดบ้างพร้อมแจงเหตุผลหรือยกตัวอย่างค้าน

2.กำหนดให้ $ A = \bmatrix{1 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & -1} $ แล้ว $ det(adj(A^{-1}) $
มีค่าเท่ากับเท่าใด

3. ค่าต่ำสุดของ$ 4cos^{2}x - cosx $มีค่าเท่ากับเท่าใด

4. จากระบบสมการ $ (log_{12}x)(log_{2}x+log_{2}y) = log_{2}x $
$ (log_{2}x)log_{3}(x+y) = 3log_{3}x$
แล้ว l x- y l มีค่าเท่ากับเท่าใด

5. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. มีจำนวนจริงบวก x ที่สอดคล้องกับสมการ $25^{x} + 10^{x}-4^{x} = 0$
ข. มีจำนวนจริงลบ x ที่สอดคล้องกับสมการ $25^{x} - 10^{x}-4^{x} = 0$
ข้อใดถูกข้อใดผิดพร้อมให้เหตุผล

6. กำหนดให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วจำนวนของคู่อันดับ (p,q) ที่ทำให้ pq l (150-5p) มีกี่คู่อันดับ

7. กำหนดให้ $f(x) = x^{3}+3x^{2}+kx-5$ เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม ถ้าจำนวนเต็มบวก c เป็นรากหนึ่งของฟังก์ชันพหุนาม f(x) แล้วค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ l k+c l คือเท่าใด

[vespa1]

มีต่อนะคะ

8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ถ้า $A = \bmatrix{100 & sin^{2}a & cos^{2}a \\ 200 & 2sin^{2}b & 2cos^{2}b \\ 300 & 3sin^{2}c & 3cos^{2}c} $ แล้ว det(A) = 0

ข. ถ้า $A = \bmatrix{-2 & 2 \\ 3 & -2} $แล้ว $det(-3A^{4}(A^{-1})^{t}(A-A^{t})) = -72$

ข้อใดถูกข้อใดผิดพร้อมทั้งให้เหตุผล

9. สุ่มหยิบลูกบอลที่มีหมายเลข 1 ถีงหมายเลข 11 กำกับอยู่ โดยสุ่มหยิบมา 4 ลูก พร้อมกัน จำนวนวิธีที่ลูกบอลที่หยิบได้มีผลคูณขอวหมายเลขที่กำกับอยู่เป็นเลขคู่แต่ผลบวกของหมายเลขที่กำกับอยู่เป็นเลขคี่มีค่าเท่ากับเท่าใด

10. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน AC ยาว 12 หน่วย และด้าน BC ยาว 16 หน่วย เส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด A และจุด B ไปยังด้าน BC และ AC ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด O แล้วด้าน AB ยาวเท่ากับเท่าใด

11. กำหนดให้สมการวงรี $16x^{2}+25y^{2}-200y = 9$ มีจุด $F_{1}$ และ $F_{2}$เป็นจุดโฟกัส ภ้า A เป็นจุดบนวงรีที่ไม่อยู่บนแกนพิกัดแล้วทำให้ $F_{1}F_{2}A$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแล้วระยะทางจากจุด A ไปยังแกนเอกยาวเท่ากับเท่าใด

12. ในการประกวดร้องเพลงรอบสุดท้ายมีผู้เข้ารอบ 3 คนและแต่ละคน จะต้องเลือกร้องเพลง 1 เพลงจาก 5 เพลงที่กองประกวดกำหนดให้ ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้ารอบอย่างน้อย 2 คนเลือกร้องเพลงเดียวกันเท่ากับเท่าใด

13. กำหนดให้ $(a_{n})$ เป็นลำดับเลขคณิตที่มี $a_{7} = 2619$ และ $a_{11} = 2551$ค่าที่น้อยที่สุด
ของ $ l a_{k} + a_{k+1} l$ เป็นเท่าใด

14. กำหนดให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้สมการ
$x^{4}+(k-4)x^{3}+(38-4k)x^{2}_(13k-100)x+325 = 0$
มีรากซ้ำและมีจำนวนเชิงซ้อน 2+3i เป็นราก แล้วค่าของ k ที่มากสุดเท่ากับเท่าใด

คือจริงแล้วมีเยอะกว่านี้ค่ะ แต่ที่พิมมานี่คือพยายามคิดเท่าไหร่ก็คิดไม่ออก เราลองมาระดมสมองกันดีกว่านะคะ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 2. นะครับ $det(adjA)=$detA^(n-1)$ เมื่อ n คือ มิติของเมตริกซ์ A
จากโจทย์เป็นมิติ 3x3 ดังนั้น n=3
ดังนั้น detA = 10 แล้ว $det(adjA)=$detA^2$
$det(adjA)=100$

[vespa1]

ขอบคุณ คุณกระบี่.. มากค่ะที่ช่วยคิด

แต่ว่าดิฉันยังไม่เคลียร์น่ะค่ะ เพราะว่าโจทย์ถามหา $det(adjA^{-1}) $ น่ะค่ะ
แต่เราได้ค่า det(adj(A))มาจะต้องทำไงต่อคะ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

พอดีรีบๆครับเลยไม่ได้ดูให้ละเอียด
$\det(\rm{adj} A^{−1})=\frac{1}{\det(\rm{adj} A)}=\frac{1}{100}$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 3. จะได้ cos X = 1/8 และค่าต่ำสุดคือ -1/16

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 10. AB ยาว 12 หน่วยครับ

[vespa1]

ขอบคุณมากเลยค่ะข้อเมทริกซ์เคลียร์มากเลย

แต่อีกสองข้อถ้าคุณพี่พอมีเวลา รบกวนบอกวิธีหาทีนะคะ

เพราะว่าคำตอบหนูรู้หมดแล้วน่ะค่ะทุกข้อ แต่อยากรู้วิธีคิดค่ะ

ใครผ่านไปผ่านมารบกวนให้ความกระจ่างทีนะค๊า

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 3. จัดรูปโดยทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ครับ
f(x)= $4(cosx)^2-cosx+frac{1/16}-frac{1/16}
จะได้ f(x)= $(2cosx-frac{1/4})^2-frac{1/16}

[vespa1]

ขอบคุณค่า อีกหนึ่งข้อเคลียร์แล้ว เย้ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

ทีนี้ข้อสิบค่ะ

[Brownian]

ข้อสอบโควตานี่คับ ผมก้เปนคนนึงที่ได้สอบ
ขอทำข้อที่ชอบก่อนละกันนะครับ
8. ก. ถูกครับ เพราะ $100(a_{i2}+a_{i3})=a_{i1}$ ทุก $i=1,2,3$ ดังนั้น $\det A=0$ ข. ก็ถูกครับ

14. เห็นชัดว่าเปนพหุนามเหนือ $Z$ ให้ $t$ เป็นรากที่เหลือที่ตามหา ดังนั้นคำตอบของสมการนี้ต้องเป็น $2-3i,2+3i,t$ แน่นอน (โดยมี t เป็นรากซ้ำสองตัว)
ดังนั้น โดย ทบ. จึงได้ $(2-3i)+(2+3i)+2t=-(k-4)$ แล้วก็ $(2-3i)(2+3i)t^2=325$ เมื่อเรารู้ $t$ ก็หา k ได้ครับ

10. ปีทากอรัสธรรมดาครับ
13. จาก $a_n=a_i+(n-i)d$ เราได้ $a_7=a_{11}-4d\Rightarrow 2619=2551-4d\Rightarrow d=-17$
พยายามทำให้ค่า $a_k+a_{k+1}$ ให้อยู่ในรูปที่เรารู้ค่า ในที่นี้ขอทำให้อยู่ในพจน์ $a_{11}$ ละกันครับ
$a_k+a_{k+1}=(a_{11}+(k-11)d)+(a_{11}+(k-10)d)=2a_{11}+(2k-21)d=2a_{11}-(2k-21)|d|$
ค่านี้น้อยๆ แสดงว่าผลต่างน่าจะต้องใกล้เคียงกันมากๆ ต้องดู $k>10$ ที่ทำให้ $(2k-21)|d|$ ใกล้เคียง $2a_{11}$ มากที่สุด

[vespa1]

ขอบคุณ คุณ Brownian นะคะ

แต่อย่างในข้อที่ 8 มีใครมีวิธีคิดวิธีอื่นไม๊คะ เพราะดิฉันคิดว่า เด็กน้อยบ้านนอกส่วนใหญ่ นึกถึงทฤษฎีบทอย่างนี้ไม่ได้หรอกค่ะ
ซึ่งจริงๆแล้วถ้านั่งถึกเช๊คหา det ตรงๆก็ได้คำตอบอยู่ แต่ดิฉันแค่ต้องการมาแชร์วิธีกันกับเพื่อนๆน่ะค่ะ

ลักษณะการคิดของคุณ brownian เป็นการคิดแบบ เซียนที่บรรลุแล้ว ขอนับถือค่ะ

[vespa1]

รบกวนผู้รู้ช่วยตรวจวิธีทำข้อ 13ให้ทีนะคะ

เนื่องจาก $a_{7}=2619$ และ $a_{11}=2551$

เพราะว่า $a_{11}=a_{7}+4d$

ดังนั้น $2551 = 2619+4d$ จะได้ $d=-17$

จาก $a_{k}=a_{7}+(k-7)d$

$a_{k+1}=a_{7}+(k-6)d$

จะได้ว่า $a_{k}=2619+(k-7)(-17)$
$a_{k+1}=2619+(k-6)(-17)$

นั่นคือ l$a_{k}$+$a_{k+1}$l = l 5459-34k l

จะเห็นว่า ที่ k = 161 ทำให้ l$a_{k}$+$a_{k+1}$l = 15

ดังนั้นค่าที่น้อยสุด ของ l$a_{k}$+$a_{k+1}$l คือ 15

[Underdog]

กำหนดให้ a,b และc เป็นจำนวนเต็ม พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า (a+b) l c และ a l c แล้ว b l c
( l เครื่องหมายนี้เป็นเครื่องหมายหารลงตัวนะฮะ a l b แปลว่า b ถูกหารด้วย a ลง คือ b/a ลง)
c จะหารด้วย a+b ลง ก็ต่อเมื่อ c ถูกหารด้วย a ลง และ หารด้วย b ลง โดยที่ a และ b ไม่ใช่ 1 หรือ -1 และมีค่าไม่เกิน l c l เช่น 9/ 3+6 หรือ c ไม่ถูกหารด้วย a และ b ลง แต่ a+b รวมกันแล้ว เป็นตัวประกอบของ c เช่น 7/ 4+3
ดังนั้นข้อ ก. เข้าข่ายกรณีแรก แต่ว่ามีกรณีค้านครับ ตามข้อยยกเว้น นั่นคือ ถ้า a = 1 b= 6 c = 7 จะทำให้ไม่จริงแสดงว่าข้อ 1 เป็นเท็จ

ข. ถ้า a l (b+c) และ (a,c)=1 แล้ว a l c
(a,c) คือ หรม.ของ a กับ c ซึ่งถ้า เท่ากับ 1 หมายความว่า a กับ c ไม่มีตัวร่วมตัวประกอบซึ่งกันและกันนั่นคือ a หารด้วย c ไม่ลง และ c หารด้วย a ไม่ลง โดยที่ a กับ c ไม่เป็น 1 หรือ -1
แต่ถ้า a l c ลงตัวในเมื่อ (a,c)=1 แสดงว่า a ต้องเป็น 1 เท่านั้น แต่นี่มันเป็นเพียงแค่ตัวอย่างหนึ่ง
ซึ่งตัวอย่างค้านจากข้อนี้คือ ให้ b = 2 c = 7 a = 3 เห็นได้ว่า กำหนดเลขตามโจทย์ได้ถูกต้อง แต่ค้านกับ ผล เพราะ c หารด้วย a ไม่ลง ข้อนี้จึง ผิด

ค. ถ้า a l bc และ (a,b)=1 แล้ว a l c
ข้อนี้ แนวคิดเหมือน 2 ข้อด้านบน bc สมมติให้ เป็น x ( bc = x ) แล้วกัน จะได้ว่า a l x แสดงว่า a ต้อง เป็นตัวประกอบของ x ซึ่ง มี b และ c เป็นตัวประกอบนั่นคือ b หรือ c ตัวใดตัวหนึ่ง(หรือทั้งสองตัว) จะต้องมี a เป็นตัวประกอบ เนื่องจาก (a,b)=1 จะได้ว่า a l c เท่านั้น เช่น a = 7 b = 19 c = 14
ในข้อนี้ ถ้า a = 1 ก็ยังถูก เช่น a = 1 b = 5 c = 99 ก็ยังถูก ข้อนี้จึงเป็นจริงครับ

ง. ถ้า a l bc แล้ว a l b หรือ a l c
ข้อนี้อ้างได้จากข้อ ค. ตัวอย่างค้านเช่น a = 6 b = 9 c = 8 ไม่จริง

โจทย์แนวนี้ให้ใช้วิธีการสุ่มตัวเลขจะง่ายที่สุด โดยหลักคือ สุ่ม คู่-คู่ คี่-คี่ คู่-คี่
แค่ถ้ารู้หลักการของมัน อาจจะไม่ต้องสุ่มก็ได้

ก็ถูก 1 ข้อครับ ยากนิดนะ

[Underdog]

10.ปีทากอรัสธรรมดาจริงๆครับ ผม ให้ k = AB และ ลากจุดกึ่งกลาง BC และ AC เชื่อมกัน จะได้ว่าตรงนั้น จะยาว k/2 จากสามเหลี่ยมคล้าย
จะได้ว่า k^2+ (k^2)/4 = 6^2+8^2 นะคับ ได้ k = 4 รูด 5 ครับ