อินทีเกรตครับ

Ne[S]zA · #1 24 มีนาคม 2009, 14:02

1)ถ้า $f(x)=\frac{x^4}{4}-x$ และ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $\int_{-a}^{a^2}f''(x)\,dx=-\frac{1}{4} $ แล้ว $f'(a)$ มีค่าเท่าใด
2)ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งอนุพันธ์ของ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด $[0,1]$ และ $g(x)=\frac{f(x)}{x^4+1}$ ถ้า $f(1)=f'(1)=1$ และ $f(0)=f'(0)=2$ แล้ว $\int_{0}^{1}g''(x)\,dx$ มีค่าเท่าใด
ปล.เพิ่งหัดทำอินทีเกรตครับ

square1zoa · #2 24 มีนาคม 2009, 19:56

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

1)ถ้า $f(x)=\frac{x^4}{4}-x$ และ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $\int_{-a}^{a^2}f''(x)\,dx=-\frac{1}{4} $ แล้ว $f'(a)$ มีค่าเท่าใด
2)ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งอนุพันธ์ของ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด $[0,1]$ และ $g(x)=\frac{f(x)}{x^4+1}$ ถ้า $f(1)=f'(1)=1$ และ $f(0)=f'(0)=2$ แล้ว $\int_{0}^{1}g''(x)\,dx$ มีค่าเท่าใด
ปล.เพิ่งหัดทำอินทีเกรตครับ

เพิ่งหัดพิมพ์พวกอินทิเกรตนะครับ
1. เนื่องจาก $f'(x)=4x^3-1$

$$\int_{-a}^{a^2}f''(x)\,dx= f'(x) = (a^6-1)-(-a^3-1)=a^6+a^3=-(1/4)$$
......

2. ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า
เอ๊ะ ตรง $f(0)=f''(0)=2$ น่าจะเป็น $g(0)=g'(0)=2$ นะครับ ช่วยตรวจสอบโจทย์ด้วยครับ

Ne[S]zA · #3 24 มีนาคม 2009, 20:00

โจทย์ถูกแล้วอ่าครับ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

$$\int_{-a}^{a^2}f''(x)\,dx= -\frac{1}{4}$$

ไม่ต้องหา $f''(x)$ ก่อนหรอครับ

V.Rattanapon · #4 24 มีนาคม 2009, 20:48

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

1)ถ้า $f(x)=\frac{x^4}{4}-x$ และ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $\int_{-a}^{a^2}f''(x)\,dx=-\frac{1}{4} $ แล้ว $f'(a)$ มีค่าเท่าใด
2)ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งอนุพันธ์ของ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด $[0,1]$ และ $g(x)=\frac{f(x)}{x^4+1}$ ถ้า $f(1)=f'(1)=1$ และ $f(0)=f'(0)=2$ แล้ว $\int_{0}^{1}g''(x)\,dx$ มีค่าเท่าใด
ปล.เพิ่งหัดทำอินทีเกรตครับ

ข้อ 1. ได้\[
f^' \left( a \right) = - \frac{3}{2}
\]
ข้อ 2. ได้ \[
\int\limits_0^1 {g^{''} \left( x \right)dx = - \frac{5}{2}}
\]

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

เพิ่งหัดพิมพ์พวกอินทิเกรตนะครับ
1. เนื่องจาก $f'(x)=4x^3-1$

$$\int_{-a}^{a^2}f''(x)\,dx= f'(x) = (4a^6-1)-(-4a^3-1)=4a^6+4a^3=-(1/4)$$
......

2. ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า
เอ๊ะ ตรง $f(0)=f''(0)=2$ น่าจะเป็น $g(0)=g'(0)=2$ นะครับ ช่วยตรวจสอบโจทย์ด้วยครับ

1. ผมว่า \[
f^' \left( x \right) = x^3 - 1
\]
2. โจทย์ถูกต้องแล้วครับ

Ne[S]zA · #5 24 มีนาคม 2009, 21:11

อ่าขอบคุณ คุณsquare1zoa และคุณ V.Rattanapon มากคร้าบบบบ
อยากถามว่าทำไมใช้แค่ $f'(x)=x^3-1$ หรอครับ ไม่ต้องดิฟอีกรอบหรอครับ เพราะโจทย์มันดิฟ2รอบนิครับ??
ปล.แสดงวิธีทำข้อ2ด้วยก็ดีครับTT

square1zoa · #6 24 มีนาคม 2009, 21:49

อ่อ ผมงงเอง ออกเเล้วนะครับ ขอบคุณครับ

ดิฟกะอินทิเกรตมันตรงกันข้ามเลย (นึกถึงบวกกะลบก็ได้) ผมอธิบายไม่เก่งนะครับ

โดยแนวคิดจาก 1. จะได้ว่า $\int g''(x)=g'(x)=[(x^4+1)f'(x)-f(x)(4x^3)]/(x^4+1)^2$

แทนค่า $x=0,1$ ก็น่าจะตอบได้แล้ว

Ne[S]zA · #7 25 มีนาคม 2009, 12:13

ครับ ขอบคุณมากคร้าบบบ คุณsquare1zoa

Ne[S]zA · #8 25 มีนาคม 2009, 13:39

เพิ่มข้อครับ ถ้าเป็นงี้ทำไงหรอครับ ช่วยอธิบายด้วยนะครับ

ขอบคุณครับ
3)จงหาค่าของ $$\int_{0}^{1}\ {\int_{1}^{2}{\int_{2}^{3}dz}dx}dy $$
4)จงหาค่าของ $$\int_{0}^{1}\ {\int_{0}^{1-x}{\int_{0}^{2-x}xyzdz}dy}dx $$
5)จงหาค่าของ $$\int_{2}^{3}\ {\int_{1}^{2}{\int_{2}^{5}xy^2dz}dy}dx $$
6)จงหาค่าของ $$\int_{-2}^{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{16-x^2}+\sqrt{8-x^2}}}dx$$

square1zoa · #9 25 มีนาคม 2009, 20:15

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

3)จงหาค่าของ $$\int_{0}^{1}\ {\int_{1}^{2}{\int_{2}^{3}dz}dx}dy $$

ผมอาจจะทำผิดก็ได้นะครับ เพราะไม่เคยทำมาเหมือนกัน อาศัยความเข้าใจ(ที่อาจผิด)นะครับ

$$\int_{0}^{1}\ {\int_{1}^{2}{\int_{2}^{3}dz}dx}dy $$
$$= \int_{0}^{1}\ {\int_{1}^{2}{\int_{2}^{3} 1 dz}dx}dy $$
$$= \int_0^1\ {\int_1^2 1dx}dy$$
$$= \int_0^1\ 1dy$$
$$=1$$ ตามต้องการ

ถ้าที่ผมทำถูก 4-5ผมก็ได้แล้วนะ ข้อ 6 ผมว่าน่าจะใช้เศษส่วนย่อย