อินทีเกรตครับ

[beginner01]

Hint 1

คูณด้วย conjugate

Hint 2

ค่อยๆคิดทีละก้อนครับ ก้อนแรกให้แทน $x$ ด้วย $4\sin{\theta}$ ส่วนอีกก้อนให้แทน $x$ ด้วย $2\sqrt{2}\sin{\theta}$

Edit:แป่ว... เพิ่งเห็นว่าคุณ onasdi มา hint วิธีเดียวกันไปแล้ว ถ้างั้นเขียนวิธีทำแทนละกันครับ

Solution

$$\int_{-2}^{2\sqrt{2}}\frac{dx}{\sqrt{16-x^2}-\sqrt{8-x^2}}$$
$$=\int_{-2}^{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{16-x^2}+\sqrt{8-x^2}}{8}dx$$
$$=\int_{-2}^{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{16-x^2}}{8}dx+\int_{-2}^{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{8-x^2}}{8}dx$$
ดูก้อนแรก $$\int_{-2}^{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{16-x^2}}{8}dx$$ ให้ $x=4\sin{\theta}$ ได้ว่า $dx=4\cos{\theta}d\theta$ และ $\sqrt{16-x^2}=4\cos{\theta}$
$$\therefore\int_{-2}^{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{16-x^2}}{8}dx$$
$$=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}2\cos^2{\theta}d\theta$$
$$=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}1+\cos{2\theta}d(2\theta)\frac{d\theta}{d(2\theta)}$$
$$=\left[\frac{1}{2}(2\theta+\sin{2\theta})\right]^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{6}}$$
$$=\frac{5\pi}{12}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

ีอีกก้อนหนึ่งก็ทำวิธีคล้ายๆกัน แต่ให้ $x=2\sqrt{2}\sin{\theta}$
ขอละตรงส่วนนี้ แต่จะได้ว่าส่วนหลังเท่ากับ
$$\frac{3\pi}{8}+\frac{1}{4}$$

ดังนั้นคำตอบก็คือ $\frac{6(3+\sqrt{3})+19\pi}{24}$

[Ne[S]zA]

ขอบคุณมากครับคุณ beginner01
ถึงแม้จะเป็นอินทิเกรตตรีโกณ เหอๆๆ
ปล.ยังไม่ได้อ่านอินทิเกรตตรีโกณเลยครับ เดี๋ยวไปอ่านต่อ...ขอบคุณครับ
ขอวิธีไม่ต้องใช้ตรีโกณด้วยได้ไหมครับ...ขอบคุณอีกครั้งครับ

[square1zoa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ข้อ6) ข้อเดียวละครับ ใครผ่านไปผ่านมาช่วยทีครับ พิมพ์โจทย์ให้ใหม่ (คุณ square1zoa มาตอบต่อเลยก็ได้อิอิ)
จงหาค่าของ
$$\int_{-2}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}+\sqrt{8-x^2}}$$

$$LHS.=\int_{-2}^{2\sqrt2}\frac{\sqrt{16-x^2}-\sqrt{8-x^2}}{8}dx$$
เมื่อกำหนดให้ $u=16-x^2,dx=du/-2x$ , $v=8-x^2,dx=dv/-2x$
$$=1/8[\int_{-2}^{2\sqrt2} u^{1/2}\frac{du}{-2x}-\int_{-2}^{2\sqrt2}v^{1/2}\frac{dv}{-2x}]$$

คือเห็นว่าโจทย์ตรงส่วนมันบวกกัน ลองคิดแบบนี้ดู ผิดอย่างไรช่วยแนะด้วยครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

คือเห็นว่าโจทย์ตรงส่วนมันบวกกัน ลองคิดแบบนี้ดู ผิดอย่างไรช่วยแนะด้วยครับ

โทดทีครับ ส่วนเป็นลบอ่ะครับเหอๆๆ พิมพ์ตก
ผมทำงี้ $$\int_{-2}^{2\sqrt2}\frac{\sqrt{16-x^2}+\sqrt{8-x^2}}{8}dx$$
ให้ $u=16-x^2$ และ $v=8-x^2$ ตามที่คุณsquare1zoa บอก
ก็ได้ $dx=\frac{du}{-2x}=\frac{dv}{-2x}$ เช่นกัน
พอเอามาแทน $$\frac{1}{8}[\int_{-2}^{2\sqrt2}{\sqrt{u}}\frac{du}{-2x}+\int_{-2}^{2\sqrt2}\sqrt{v}\frac{dv}{-2x}]$$
ถึงตรงนี้ก็งงแล้วครับว่าจะเอา x ออกยังไง
ช่วยทำต่อหน่อยครับ
ขอบคุณครับ

[square1zoa]

ผมคิดว่า $-2x$ เป็นจำนวนคงค่า เพราะว่าเทียบกับ $u$ ผมสงสัยเหมือนกันนะครับ เพราะเหมือนมีใครสอนผมด้วยนะครับ

[Ne[S]zA]

เอ่อ เมื่อกี้ผมลองถามคุณ M@gpie เขาบอกว่าให้ $x=4\sin\theta$ อ่าครับ เพราะจัดรูปไม่ได้...

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

โทดทีครับ ส่วนเป็นลบอ่ะครับเหอๆๆ พิมพ์ตก
ผมทำงี้ $$\int_{-2}^{2\sqrt2}\frac{\sqrt{16-x^2}+\sqrt{8-x^2}}{8}dx$$
ให้ $u=16-x^2$ และ $v=8-x^2$ ตามที่คุณsquare1zoa บอก
ก็ได้ $dx=\frac{du}{-2x}=\frac{dv}{-2x}$ เช่นกัน
พอเอามาแทน $$\frac{1}{8}[\int_{-2}^{2\sqrt2}{\sqrt{u}}\frac{du}{-2x}+\int_{-2}^{2\sqrt2}\sqrt{v}\frac{dv}{-2x}]$$
ถึงตรงนี้ก็งงแล้วครับว่าจะเอา x ออกยังไง
ช่วยทำต่อหน่อยครับ
ขอบคุณครับ

ตอนเปลี่ยนตัวแปรน่ะครับ เราต้องเขียนตัวแปรเก่าให้อยู่ในรูปตัวแปรใหม่ทั้งหมด จะเหลือไว้ไม่ได้ครับ

ถ้า $u=16-x^2$ ก็ต้องเขียนเป็น $x=\pm \sqrt{16-u}$ ส่วนค่าบวกกับค่าลบเลือกยังไงก็ขึ้นอยู่กับช่วงที่เราอินทิเกรต แต่อย่างข้อนี้เปลี่ยนตัวแปรแบบนี้ก็ยังติดอยู่ดี วิธีมาตรฐานคือเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติครับ

[Ne[S]zA]

ขอบคุณครับ คุณnooonuii และทุกๆท่านที่ช่วยตอบครับ ขอบคุณมากครับ

[square1zoa]

thx อีกแล้วนะครับ

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

เพิ่มข้อครับ ถ้าเป็นงี้ทำไงหรอครับ ช่วยอธิบายด้วยนะครับ ขอบคุณครับ
3)จงหาค่าของ $$\int_{0}^{1}\ {\int_{1}^{2}{\int_{2}^{3}dz}dx}dy $$
4)จงหาค่าของ $$\int_{0}^{1}\ {\int_{0}^{1-x}{\int_{0}^{2-x}xyzdz}dy}dx $$
5)จงหาค่าของ $$\int_{2}^{3}\ {\int_{1}^{2}{\int_{2}^{5}xy^2dz}dy}dx $$
6)จงหาค่าของ $$\int_{-2}^{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{16-x^2}+\sqrt{8-x^2}}}dx$$

ข้อ 4
$$\int_{0}^{1}\ {\int_{0}^{1-x}{\int_{0}^{2-x}xyzdz}dy}dx $$
$$=\int_{0}^{1}\ {\int_{0}^{1-x}xy{\int_{0}^{2-x}zdz}dy}dx $$
$$=\int_{0}^{1}\ {\int_{0}^{1-x}xy\left[\,{\frac{{z}^2}{2}}\right] _{0}^{2-x}dy}dx $$
$$=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x{[2-x]}^2{\left[\,\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1-x} }dx $$
$$=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}x{[4-8x+x^2]}{[1-2x+x^2]}dx $$
$$=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}{[x^5-10x^4+21x^3-16x^2+4x]}dx $$

ที่เหลือก็อินทริเกรทแล้วก็แทนค่า...(ตรวจตรงการกระจายกำลังสองด้วยนะว่าถูกหรือป่าว)

[kheerae]

ข้อ 5 ก็แยกอินทริเกรทได้เลย เพราะ x, y, z เป็นอิสระต่อกัน
ข้อ 6 ผมคิดว่าน่าจะใช้วิธีแทนค่าตรีโกณน่าจะง่ายกว่า(หรือป่าว)แต่จะต้องคิดยาวหน่อยนะครับ

[Ne[S]zA]

จาก
$$\frac{1}{2} \int_0^1{x(2-x)^2[\frac{y^2}{2}]_0^{1-x}dx}$$
$$=\frac{1}{4} \int_0^1{x(2-x)^2(1-x)^2 dx}$$
$$=\frac{1}{4} \int_0^1{x(1-2x+x^2)(4-4x+x^2) dx}$$
$$=\frac{1}{4} \int_0^1{x^5-6x^4+13x^3-12x^2+4x dx}$$
$$=\frac{1}{4}[\frac{x^6}{6}-\frac{6x^5}{5}+\frac{13x^4}{4}-4x^3+2x^2]_0^1$$
$$=\frac{13}{240}$$
อ่ะครับ
ปล.ขอบคุณครับที่ช่วยคิดต่อ...

[Ne[S]zA]

ลืมไปมีลิมิตอีกข้อครับ ช่วยหน่อยนะครับ
จงหาค่าของ
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}[\sqrt{x+\sqrt[3]{1+x^2}}- \sqrt{x+\sqrt[3]{1-x^2}}]$$

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ลืมไปมีลิมิตอีกข้อครับ ช่วยหน่อยนะครับ
จงหาค่าของ
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}[\sqrt{x+\sqrt[3]{1+x^2}}- \sqrt{x+\sqrt[3]{1-x^2}}]$$

ตอบ 0 ครับ เนื่องจาก
$n = m$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x^m}=1 $$

$n < m$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x^m}=0 $$

$n > m$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x^m}=\infty $$

[Ne[S]zA]

อ่าครับ ขอบคุณมากครับ
ปล.มันง่ายอย่างงี้เลยหรอ??