โจทย์นิดหน่อยครับ

[Ne[S]zA]

จะมีคำตอบไหมอ่ะครับ
ได้ $\log_x(\frac{1}{3})(\frac{4}{9})(\frac{27}{64})(10000)=0$

[JamesCoe#18]

คือโจทย์ $log_x{(\frac{1}{3})(\frac{4}{9})(\frac{27}{64})(16)}$

ซึ่งจะได้ $log_x1=0$

ลองดูโจทย์อีกทีคับ

แก้ให้แล้วนะคับ ^^

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

คือโจทย์ $log_x{(\frac{1}{3})(\frac{4}{9})(\frac{27}{64})(16)}$

ซึ่งจะได้ $log_x1=0$

ลองดูโจทย์อีกทีคับ

ผมว่าข้อนี้คำตอบน่าจะเป็นช่วงครับ

[Ne[S]zA]

ตอบ $x\in R^{+}$ และ $x\not= 1$ หรือเปล่าครับ

[Ne[S]zA]

ต่อกันดีกว่าครับ(สงสัยจะไม่นิดตามชื่อกระทู้แล้วอิอิ)
กำหนด $a=1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+2549(2549!)$ และ $b=\frac{1}{2!}+\frac{3}{4!}+\frac{5}{6!}+...+\frac{2549}{2550!}$
จงหาค่าของ $\frac{a}{b}$ ในรูปของแฟคทอเรียล
ให้ $f(x)=\frac{2^x}{2^x+2^{1-x}}$ จงหาค่าของ $\sum_{k=1}^{2550} f(\frac{k}{2551})$
ให้ $a,b$ เป็นคำตอบของสมการ $3\log_{2x}6+\log_{18}3x=3$ จงหาค่าของ $a+b$

[JamesCoe#18]

$a=\sum_{n = 1}^{2549}n(n)!$

$b=\sum_{n = 1}^{1275}\frac{(2n-1)}{(2n!)} $

ที่เหลือรอคนมาต่อคับ

[Ne[S]zA]

ข้อlog ผมทำงี้ได้หรือเปล่าครับ
$3\log_{2x}6=3\log_{18}18-\log_{18}3x$
$\log_{2x}6^3=\log_{18}\frac{18^3}{3x}$
เทียบว่า $2x=18$ และ $6\times 6\times 6=\frac{18\times 18\times 18}{3x}$
ดังนั้นสรุปได้ว่า $x=9$
ปล.ช่วยตรวจด้วยครับ ขอบคุณครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ให้ $f(x)=\frac{2^x}{2^x+2^{1-x}}$ จงหาค่าของ $\sum_{k=1}^{2550} f(\frac{k}{2551})$

ข้อนี้ใช้ \[
f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 1
\]

[Ne[S]zA]

ถ้าเป็นอย่างที่ว่าก็ได้
$$(\frac{1}{2551})+(\frac{2550}{2551})=1$$
$$(\frac{2}{2551})+(\frac{2549}{2551})=1$$
$$(\frac{3}{2551})+(\frac{2548}{2551})=1$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$(\frac{2550}{2551})+(\frac{1}{2551})=1$$
$$(\frac{1}{2551})+(\frac{2550}{2551})+(\frac{2}{2551})+(\frac{2549}{2551})+(\frac{3}{2551})+(\frac{2548}{2551})+...+(\frac{2550 }{2551})+(\frac{1}{2551})=2550$$
$$2[(\frac{1}{2551})+(\frac{2}{2551})+(\frac{4}{2551})+...+(\frac{2550}{2551})]=2550$$
$$\sum_{k=1}^{2550}=\frac{2550}{2}=1275$$
ใช่ไหมครับ
ปล.ขอบคุณสำหรับวิธีครับ สุดยอดจริงๆ(นึกไม่ถึง)
ปล.2.ข้อ log ผมทำถูกไหมครับ

[-InnoXenT-]

จากโจทย์จะได้ว่า

$a = (2550-1)2549! + (2549-1)2548! + ... + (2-1)1!$

แล้วกระจายเข้าไป จะได้

$a = 2550! - 2549! + 2549! - .... -2! + 2! -1$
$a = 2550! -1$

ส่วน b ผมยังคิดอยู่ (ง่วงมาก ดูเวลาที่ผมโพสต์สิ )

แล้วก็ ข้อ log

ผมใช้วิธีถึกเอาเลยครับ คิดไม่เยอะมาก แต่เขียนเยอะ ขี้เกียจพิมพ์ ก็คือ เปลี่ยนฐาน log แล้วคูณไขว้ บลา บลา บลา อย่างบ้าคลั่ง

จะได้

$log x = log 108 , log 9$

$x = 108 , 9$

$a+b = 108+9 = 117$

[Ne[S]zA]

สมาคม2549ครับ
จงหาจำนวนจริงบวก a ค่าน้อยที่สุดที่ทำให้
$$\int_0^{2\pi} |\sin (x+2549a)-\sin (x+2006a)| dx$$
มีค่าสูงสุด
ช่วยอธิบายหน่อยครับ ขอบคุณครับ

[Ne[S]zA]

ขอปลุกหน่อยนะครับ ช่วยคิดข้ออินทิเกรตข้างบนหน่อยครับ และขอถามอีกข้อครับ
Prove that $$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ขอปลุกหน่อยนะครับ ช่วยคิดข้ออินทิเกรตข้างบนหน่อยครับ และขอถามอีกข้อครับ
Prove that $$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$$

1.ข้อ อินติเกรตให้เปลี่ยนรูป sin ลบกันให้อยู่ในรูปผลคูณ จะเห็นว่าจะมีค่าคงที่ที่สามารถดึงออกมาจากอินติเกรตได้แล้วพิจารณาค่าตรงนั้นที่ทำให้ค่ามันสูงสุด
2. $$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$$ ใช้กฎของโลปิตาล ก็ออกแล้วครับ

[Ne[S]zA]

ข้อสองใช้ โลปิตาลออกจริงด้วยลืมนึกไปครับ ขอบคุณครับ ส่วนข้อแรกเดี๋ยวดูใหม่ครับ
$$\dfrac{\frac{d}{d\theta }\sin \theta}{\frac{d}{d\theta } \theta }=\dfrac{\cos \theta }{1}$$
$$\therefore \lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta }{\theta} =\lim_{\theta \to 0} \cos \theta =1$$

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ต่อกันดีกว่าครับ(สงสัยจะไม่นิดตามชื่อกระทู้แล้วอิอิ)
กำหนด $a=1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+2549(2549!)$ และ $b=\frac{1}{2!}+\frac{3}{4!}+\frac{5}{6!}+...+\frac{2549}{2550!}$
จงหาค่าของ $\frac{a}{b}$ ในรูปของแฟคทอเรียล

เป็น $\frac{a}{b}$ ที่โหดมากครับ หลังจากปวดหัวอยู่สักพัก จนลองใช้คอมคิด ได้จาก mathematica ว่า
$\frac{a}{b}=((-1 + (2550)!) (2552)! (2554)!)/(-(2551) (2554)!$ HypergeometricPFQ$[{1}, {1276.5,1277}, 1/
4] + (1/e)(2552)! ((-1 + e) (2554)! -
2e$ HypergeometricPFQ$[{2}, {1277.5,1278}, 1/4]))$

โหดจริง
HypergeometricPFQ:
http://functions.wolfram.com/Hyperge...rgeometricPFQ/

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ขอปลุกหน่อยนะครับ ช่วยคิดข้ออินทิเกรตข้างบนหน่อยครับ และขอถามอีกข้อครับ
Prove that $$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

...
2. $$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$$ ใช้กฎของโลปิตาล ก็ออกแล้วครับ

ส่วนข้อนี้... ถ้าจะให้ถูกจริงๆ อย่าใช้กฎ L'Hopital ครับ เพราะว่าการให้ตรรกะมันจะเป็นงูกินหาง ดังนี้
การหาค่าอนุพันธ์ของ $\sin{x}$ จะใช้ตรง $$\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$$ ซึ่งถ้าใช้กฎของ L'Hopital พิสูจน์ ก็จะต้องดิฟตัว $\sin{x}$ มันถึงเป็นงูกินหางครับ

เท่าที่ผมเคยเห็น ก็จะใช้วิธีทางเรขาคณิตเข้าช่วย ก็คือ พิจารณาวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด แล้วก็วาด sector ที่มีมุมขนาด $\theta$ สมมติให้เป็น sector OAB ลากส่วนของเส้นตรง AB แล้วพิจารณาพื้นที่สามเหลี่ยม OAB กับ พื้นที่ sector OAB โดยสังเกตว่าพื้นที่สามเหลี่ยม เล็กกว่าพื้นที่ sector และ พท.สามเหลี่ยม OAB=$\frac{1}{2}\sin{\theta}$ และพท.sector OAC=$\frac{1}{2}\theta$
ค่อไปลากเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A กับเส้นตรง OB ตัดกันที่จุด C
ถ้าลองวาดรูปดูจะเห็นว่า พท.สามเหลี่ยม OAC มากกว่า พท. sector OAB และ พท.สามเหลี่ยม OAC=$\frac{1}{2}\tan{\theta}$
ดังนั้น $\displaystyle\frac{1}{2}\sin{\theta}<\frac{1}{2}\theta<\frac{1}{2}\tan{\theta}$
นั่นคือ $\displaystyle 1<\frac{\theta}{\sin{\theta}}<\frac{tan{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{1}{\cos{\theta}}$
ก็คือ $\displaystyle\cos{\theta}<\frac{\sin{\theta}}{\theta}<1$
take limit ให้ $\theta$ เข้าใกล้ $0$ จาก squeeze theorem ได้ว่า $\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\sin \theta}{\theta}=1$ ตามต้องการ

จริืงๆแล้วมีคนจำนวนมากเข้าใจผิดว่าของแบบนี้จัดการได้ด้วยกฎ L'Hopital ซึ่งเหตุผลได้กล่าวไว้ข้างต้นแล้วครับ