มาเล่นกัน ^.^!!

[LightLucifer]

ข้อ $11$ ได้ $9876$ คิดโดยแยกตัวประกอบ $12345$ แล้วลองๆบังคับให้ตรงกับอัตราส่วนของสามเหลี่ยมดู

ข้อ 12
ให้ $1,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{n-1}$ เป็นรากของสมการ $x^n-1=0$
จงหาค่า $(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)...(1-\alpha_{n-1})$
(ติดตัวแปรนะอย่าคิดมากๆ)

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อ $11$ ได้ $9876$ คิดโดยแยกตัวประกอบ $12345$ แล้วลองๆบังคับให้ตรงกับอัตราส่วนของสามเหลี่ยมดู

ข้อ 12
ให้ $1,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{n-1}$ เป็นรากของสมการ $x^n-1=0$
จงหาค่า $(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)...(1-\alpha_{n-1})$
(ติดตัวแปรนะอย่าคิดมากๆ)

จากโจทย์

$(x-1)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_{n-1}) = x^n-1$

$(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_{n-1}) = \frac{x^n-1}{x-1}$

$(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_{n-1}) = x^{n-1}+x^{n-2}+...+1$

แทน $x = 1$

$(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)...(1-\alpha_{n-1}) = 1 + 1^2+1^3+...+1^{n-1} = n$

13. จงหารูปอย่างง่ายของ $\frac{cos3^{\circ}sin4^{\circ}cos5^{\circ}+cos5^{\circ}sin6^{\circ}cos7^{\circ}+...+cos175^{\circ}sin176^{\circ}cos177^{\circ}} {cos1^{\circ}cos5^{\circ}}$

[[SIL]]

(แทรกๆ) ข้อ 6 ผมได้ 17 วิธีอ่ะครับ

[cenia]

ข้อ 6 (มาแทรกอีกที ผมคนตั้งครับ)
ข้อนี้ จากการแจกแจงแผนภาพต้นไม้ เพื่อให้ได้วิธีที่แน่นอน (เนื่องจากก้าวแค่ 5 ก้าว)

พบว่า มีวิธีการเดิน 20วิธีครับ

[LightLucifer]

ข้อ 13 ยากจังเลยครับ รบกวนท่านเทพๆช่วยเฉลยด้วยครับ ข้าน้อยทำไม่ได้ T_T

[HIGG BOZON]

ข้อ $6$ นับยังไงจึงได้ 20 วิธีอ่าครับ....ช่วยแสดงวิธีคิดทีครับ
ข้อ $7$ สงสัยจะไม่มีคนตอบแน่ๆเลย
ข้อ $13$ ยากจังเลย...ใครช่วยคิดให้ดูทีครับ

[banker]

คลายเครียดดดดด ครับ

[cenia]

20 ตามนี้ครับ

[LightLucifer]

ข้อ 13 ยากจริงๆครับใครทำได้ช่วยแสดงวิธีทำให้ด้วยนะครับ
ขอเพิ่มข้อไปเลยนะครับ
ข้อ 14
ถ้า $a,b$ และ $c$ เป็นรากของสมการ $x^3-px^2+qx-r=0$ จงหาค่า
$\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}$

[[SIL]]

ข้อ 6 ได้ 20 วิธีจริงๆครับ นับไม่หมด วันนี้นั่งทำข้อ 13 อยู่เหมือนกัน ยังไม่ออกเลย

[cenia]

ขออนุญาตทำ 14 เสียก่อน
ขอตอบว่า $\frac{p^2-2q}{r^2}$

15.กำหนด $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ เป็นคำตอบของระบบสมการ $log_{225}x+log_{64}y=4$ และ $log_x225-log_y64=1$
จงหา $log_{30}(x_1y_1x_2y_2)$

[HIGG BOZON]

ข้อ 6 เข้าใจแล้วครับ...ตอนแรกนึกว่าจำเป็นจะต้องหยุดที่ 3 กับ -2 เท่านั้นน่ะครับ...แต่ตามเฉลยคือเดินครบ 5 ก้าวอยู่ตรงไหนก็ได้
ข้อ 13 ที่คุณ Banker ทำแบบคลายเครียดน่ะครับ....จะมี $1*1*1+1*1*1+...+1*1*1$ อยู่ 87 ชุดนะครับ
จึงต้องได้ $sin (87)$

[-InnoXenT-]

ข้อ 13 เป็น TUMSOs ข้อนึงครับ ปีไหนไม่รู้จำไม่ได้ ผมเคยทำได้ เมื่อ ปีนั้นแหละ - -a ตอนนี้ลืมไปแล้ว ว่าทำไง

ช่วยๆคิดกันหน่อยละกัน อยากรู้เหมือนกัน

ข้อ 15 นะครับ กำหนด $log_{225}x = A$ และ $log_{64}y = B$

คิดไปคิดมาจะได้ $A = 3 \pm \sqrt{5}$ และ $B = 1 \pm \sqrt{5}$
ดังนั้น $x_1x_2 = 225^{6}$ และ $y_1y_2 = 64^2$

$x_1y_1x_2y_2 = (225^6)(64^2)$
$= (15^{12})(2^{12})$
$= 30^{12}$
ดังนั้น $log_{30}x_1y_1x_2y_2 = log_{30}30^{12} = 12$

16. (TUMSO 3rd)จงหาเซตคำตอบ ของระบบสมการ

$log_{\sqrt{2}}(2x) = log_{y}\frac{z}{x^4}$
$log_{16}(4y) = log_{z}\frac{x^2}{y}$
$log_{2}(16z) = log_{x}\frac{y^2}{z}$

[-InnoXenT-]

เฉลย ข้อ 16 นะครับ เห็นนานมากแล้ว ไม่มีใครตอบเลย

คิดได้ 3 คู่อันดับ แต่ใช้ได้แค่ 1 เพราะคุณสมบัติเรื่อง log

คิดได้ $(x,y,z) = (5,\frac{1}{16},\frac{1}{400^2})$

17. จงหา $$\sum_{k = 0}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$$

[Onasdi]

ผมก็เป็นครับ เคยทำได้แล้วก็ลืม เป็นอะไรที่เซ็งมาก ไม่รู้ว่าจะนั่งนึกหรือจะคิดใหม่ดี
ข้อ 13 ครับ ผมลองคิดประมาณนี้ แอบถึกนิดหน่อย
$\displaystyle{4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)=2\sin 2n (\cos 4n+\cos 2)}$
$=2\sin 2n \cos 4n +2\sin 2n\cos 2=\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)$

ดังนั้น $\displaystyle{4\Big[\cos3^{\circ}\sin4^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos5^{\circ}\sin6^{\circ}\cos7^{\circ}+...+\cos175^{\circ}\sin176^{\circ}\cos177^{\circ }\Big]}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}\Big[\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)\Big]}$

ใช้สูตร $\displaystyle{\sum_{n = a}^{b}\sin(2kn)=\frac{\sin(a+b)k\cdot\sin(b-a+1)k}{\sin k}}$
[พิสูจน์โดยคูณ 2sin k เข้าไป แล้วจะได้ telecoping series]

$\displaystyle{=\frac{\sin (90\cdot 3)\cdot\sin(87\cdot 3)}{\sin 3}-\frac{\sin 90\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 92\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 88\cdot\sin 87}{\sin 1}}$
$\displaystyle{=\frac{\cos 9}{\sin 3}+\frac{-\cos 3+2\cos 2\cdot \cos 3}{\sin 1}}$

จัดรูปจนมึนแล้วครับ ทำต่อให้หน่อยนะครับ

อาจจะมีวิธี telecoping ตรงๆ แต่คิดไม่ออกครับ