Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 27 ธันวาคม 2001, 07:05
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile โจทย์เกี่ยวกับ calculus

โจทย์ 5-6 ข้อที่ผมโพสต์ไปเมื่อเร็วๆนี้เป็นโจทย์เกี่ยวกับ
algebra ทั้งหมดแล้วก็เป็นโจทย์ประเภทใช้การคำนวณ
ทั้งหมดด้วย คราวนี้ลองมาดูโจทย์ analysis กันสักข้อซึ่ง
คงเป็นโจทย์ข้อสุดท้ายของผมในปีนี้แล้ว โจทย์ข้อนี้ไม่เกี่ยว
กับ calculation จึงมีลักษณะคล้ายคลึงกับโจทย์ L'Hospital's Rule
ที่ผมโพสต์เมื่อนานมาแล้ว แต่คิดว่ายากกว่านะครับ โม้มาก็
มากมาเริ่มกันเลยดีกว่า

โดย intuition (แปลไม่ถูกเหมือนกันคำนี้...โทษทีนะครับ)
แล้วความหมายของประโยคที่ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องใน
ช่วงปิด [a, b] ก็คือเราสามารถลากเส้นกราฟของ f จากจุด
(a, f(a)) ไปยังจุด (b, f(b)) ได้โดยไม่ต้องยกมือเลย
แต่จริงๆแล้วความหมายนี้ยังไม่ถูกต้องเสียทีเดียว อยากให้
ชาว Mathcenter มาช่วยกันหาตัวอย่างฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในช่วงปิด [a, b] (a, b R และ b > a)
ที่เราไม่สามารถลากเส้นกราฟของ f จากจุด (a, f(a))
ไปยังจุด (b, f(b)) ได้โดยไม่ต้องยกมือ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 03 มกราคม 2002, 23:08
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

ยังไม่เฉลยหรอก...เพราะยังไม่มีใครขอ
แต่ว่ามีโจทย์ไม่ยากแนว calculation มาให้ทำอีกข้อครับ
ให้พิสูจน์ว่า d2x/dy2 = -(d2y/dx2)/(dy/dx)3
ถ้าทำได้แล้วก็ให้ลองหา d3x/dy3 ในเทอมของ d3y/dx3, d2y/dx2 และ dy/dx ดูนะครับ

03 มกราคม 2002 23:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 04 มกราคม 2002, 19:39
<-*->
 
ข้อความ: n/a
Post

ปัญหาแรก จะถือว่า f(x) = 1/x ต่อเนื่องบนโดเมน [-1, 1] หรือเปล่า? ถ้าใช่ ก็ใช่
แต่ถ้าไม่ใช่ ก็ต้องขอให้คุณ warut ช่วยชี้แนะด้วย

dx/dy = 1/(dy/dx)
d2x/dy2 = - [d(dy/dx)/dx (dy/dx)-2]/(dy/dx) = - d2y/dx2 / (dy/dx)3

d3x/dy3 = [3(y'')2 - y'y'''] / (y')7
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 05 มกราคม 2002, 15:38
TOP's Avatar
TOP TOP ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 มีนาคม 2001
ข้อความ: 1,003
TOP is on a distinguished road
Smile

มามั่วด้วยคน
f(x) = x เมื่อ x เป็นจำนวนตรรกยะ , = 0 เมื่อ x เป็นจำนวนอตรรกยะ
__________________
The difference between school and life?
In school, you're taught a lesson and then given a test.
In life, you're given a test that teaches you a lesson.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 06 มกราคม 2002, 22:07
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

ตัวอย่างของคุณ <-*-> ใช้ไม่ได้ครับ เพราะ f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 0
เนื่องจาก f(0) ไม่นิยาม แต่ถึงเราจะนิยาม f(0) ให้เป็นกรณี
พิเศษก็ยังไม่ได้อยู่ดีเพราะ limx01/x หาค่าไม่ได้

ตัวอย่างของคุณ TOP ก็ใช้ไม่ได้ครับ แต่เล่นเอาผมงงไป
เหมือนกัน ตอนแรกนึกว่ามันไม่ต่อเนื่องที่จุดใดเลย คิดไปคิด
มาถึงสังเกตได้ว่ามันต่อเนื่องที่ x = 0 อยู่จุดนึง คนอื่นๆก็น่า
ลองศึกษาความต่อเนื่องของฟังก์ชันนี้ดูนะครับ ผมว่าน่าสนใจ
มาก

ทีนี้ก็มาถึงเฉลยซักที ตัวอย่างของผมก็คือ
f(x) = x*sin(1/x) ถ้า x 0 และ f(x) = 0 ถ้า x = 0
ถ้า x 0 จะเห็นว่า f(x) ต่อเนื่องแน่นอนเพราะ
x, 1/x และ sin(x) ล้วนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเมื่อ x 0
ส่วนการพิสูจน์ความต่อเนื่องที่ x = 0 คงต้องออกแรงกัน
หน่อย ผมละไว้ให้คนอื่นมาทำละกัน
ถ้าเราลองเขียนกราฟของ f จะเห็นว่าเราไม่สามารถลากเส้น
กราฟผ่านจุด (0,0) ได้ รูปกราฟคร่าวๆของ f ในช่วง
[-0.1, -0.01] {0} [0.01, 0.1] เป็นดังนี้ครับ
.

06 มกราคม 2002 22:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 07 มกราคม 2002, 02:58
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

ผมขอเฉลยข้อ 2 อีกครั้งอย่างละเอียดนะครับ เผื่อว่าบางคนยังไม่เข้าใจ
d2x/dy2 = d(dx/dy)/dy = d(dx/dy)/dx*dx/dy (โดย chain rule)
= d((dy/dx)-1)/dx*(dy/dx)-1
= -1*(dy/dx)-2*d(dy/dx)/dx*(dy/dx)-1
= -d2y/dx2/(dy/dx)3

ส่วน d3x/dy3 นี่รู้สึกว่าคำตอบของคุณ <-*-> จะพลาดไปหน่อยนึง
ที่ถูกน่าจะเป็น (3(y'')2 - y'y''')/(y')5 มากกว่านะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 07 มกราคม 2002, 09:13
<-*->
 
ข้อความ: n/a
Post

ขอบคุณคุณ warut ที่ช่วยแก้ให้อีกครั้ง
จริงๆ แล้ว ผมเห็นตัวเลขที่พิมพ์ผิดแล้วนะ ว่าจะแก้ แล้วก็ลืมไปเลย

สำหรับ f(x) = x sin(1/x) (และเท่ากับ 0 เมื่อ x=0) เนี่ย พิสูจน์ได้อย่างไรว่าเราต้องยกปากกา?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 07 มกราคม 2002, 12:03
TOP's Avatar
TOP TOP ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 มีนาคม 2001
ข้อความ: 1,003
TOP is on a distinguished road
Smile

ฟังก์ชันของคุณ warut ผมว่ามันก็ต่อเนื่องนะ แต่ที่ทำให้ดูเหมือนว่า ไม่สามารถลากเส้นกราฟข้ามจุด (0,0) ไปได้ น่าจะเป็นเพราะดูเหมือนว่า ระยะทางในการลากข้ามจุด (0,0) เป็น

แล้วฟังก์ชันของผมมันไม่ต่อเนื่องที่จุดไหนหรือ ใช้วิธีไหนตรวจสอบ
__________________
The difference between school and life?
In school, you're taught a lesson and then given a test.
In life, you're given a test that teaches you a lesson.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 07 มกราคม 2002, 16:34
<-*->
 
ข้อความ: n/a
Post

ระยะทางเ็ป็นอนันต์ แต่ก็ต่อเนื่อง ก็ยังไม่จำเป็นว่าต้องยกปากกานี่นา??

สำหรับฟังก์ชันของคุณ top
จะแสดงว่า lim f(x) ไม่มีเมื่อ x > 0 ก่อน
สมมติว่ามี lim(x->a) f(x) = b เมื่อ a > 0
แน่นอนว่า b >= 0
ถ้า b = 0 เลือก epsilon = a/2 จะเลือก delta ไม่ได้
เพราะมีตรรกยะ x ในช่วง |x - a| < a/2 ที่ขัดแย้ง
ถ้า b > 0 เลือก epsilon = b/2 จะเลือก delta ไม่ได้
เพราะมีอตรรกยะ x ที่ขัดแย้งเสมอ

ยกเว้น lim (x->0) f(x) = 0 จึงต่อเนื่องที่ x = 0
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 07 มกราคม 2002, 19:02
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Smile

พิสูจน์ไม่ได้หรอกครับเพราะคำตอบมัน subjective จริงๆ
แนวคิดที่ว่า "เราสามารถลากเส้นกราฟได้โดยไม่ต้องยกมือ
เลย" มันก็ไม่ rigorous อยู่แล้ว แต่ว่าตัวอย่างนี้ผมไม่ใช่คน
make ขึ้นมาเองนะ และผมก็ไม่ใช่คนเดียวที่คิดว่ากราฟอันนี้
มันเขียนไม่ได้ ที่ผมคิดว่ากราฟอันนี้มันเขียนไม่ได้ไม่ใช่เพราะ
ระยะทางเป็นอนันต์นะครับ (จริงๆแล้วเป็นอนันต์รึเปล่าผมก็
ไม่รู้) แต่ผมเห็นว่าจำนวนครั้งที่ขึ้นลงของกราฟในช่วงจำกัด
มีเป็นอนันต์ก็เลยเขียนไม่ได้ แน่นอนเนื่องจากมันเป็นคำถามที่
subjective ก็ย่อมจะต้องมีคนที่มีความเห็นแตกต่างกันออก
ไปเป็นธรรมดา
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Calculus Marathon (2) nongtum Calculus and Analysis 134 03 ตุลาคม 2013 16:32
calculus ในฟิสิกส์ kanakon Calculus and Analysis 2 12 พฤษภาคม 2007 19:19
โจทย์ Calculus jabza ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 1 30 มิถุนายน 2006 08:18
calculus nonghab ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 4 22 ธันวาคม 2001 22:27
ถามเรื่อง Calculus หน่อยครับ Hell Calculus and Analysis 7 02 ตุลาคม 2001 22:59

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:21


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha