ลองทำกันเล่นๆ

[Catt]

ได้โจทย์มาชุดนึง ได้ยินมาว่าแต่งโดยรุ่นพี่ของชมรมเลขของรร.(เต_ยม)รุ่นก่อน เลยเอามาให้ลองทำกันดูเล่นๆ
2.ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ4 ซึ่งมีสมบัติว่าเมื่อเลือกจำนวนเต็มมา n ตัว จะมี a,b,c,d ที่เป็นจำนวนเต็ม4ตัวในจำนวนเต็ม n ตัวนั้นเสมอ โดยที่ 7 หาร (a^2001 + b^2001) - (c^2001 + d^2001) ลงตัว จงหาพร้อมพิสูจน์ n ที่น้อยที่สุด

[TOP]

คิดว่า 5 ตัวนะ

หมายเหตุ
0²⁰⁰¹ หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 0
1²⁰⁰¹ หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 1
2²⁰⁰¹ หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 1
3²⁰⁰¹ หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 6
4²⁰⁰¹ หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 1
5²⁰⁰¹ หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 6
6²⁰⁰¹ หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 6

[Catt]

ลองพิจรณากรณีนี้นะ
มีตัวที่ 7 หารแล้วเหลือเศษ 1 อยู่ 3ตัว
มีตัวที่ 7 หารแล้วเหลือเศษ 0 อยู่ 1ตัว
มีตัวที่ 7 หารแล้วเหลือเศษ 6 อยู่ 1ตัว
พบว่ามันจะไม่สอดคล้องกับเงื่อนไข
เป็นการแสดงว่า n=5 ใช้ไม่ได้
ต่อไปจะแสดงว่า n=6 ใช้ได้
ใน 6 ตัวใดๆ พิจรณาตัวไหนก็ได้ 4 ตัว
จะพบว่ามี 2 ตัวที่ยกกำลังแล้วหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษเท่ากัน เลือก 2ตัวนี้ให้เป็น a,c ตอนนี้พบว่าจะยังเหลืออีก 4 ตัว ใน 4 ตัวนี้ก็จะต้องมี 2 ตัวที่ยกกำลังแล้วหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษเท่ากัน เลือก 2 ตัวนี้ให้เป็น b,c เราก็จะได้ตามเงื่อนไข
นั่นคือ n ที่น้อยที่สุดคือ 6

[TOP]

ตกกรณีที่ว่าไปจริงๆด้วย นึกว่าจะทำให้มันน้อยกว่า 6 ได้แล้วซะอีก

ให้ x เป็นจำนวนนับใดๆ \ x สามารถเขียนได้ในรูป x = 7m + p โดยที่ m,p ฮ I และ 0 ฃ p ฃ 6
พิจารณาเศษจากการหาร x²⁰⁰¹ ด้วย 7 จะพบว่า

กรณี x = 7m
\ x²⁰⁰¹ = (7m)²⁰⁰¹ จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 0
กรณี x = 7m + 1
\ x²⁰⁰¹ = (7m + 1)²⁰⁰¹ = ((7m)²⁰⁰¹ + ...) + 1²⁰⁰¹ จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 1
กรณี x = 7m + 2
\ x²⁰⁰¹ = (7m + 2)²⁰⁰¹ = ((7m)²⁰⁰¹ + ...) + 2²⁰⁰¹ จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 1
กรณี x = 7m + 3
\ x²⁰⁰¹ = (7m + 3)²⁰⁰¹ = ((7m)²⁰⁰¹ + ...) + 3²⁰⁰¹ จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 6
กรณี x = 7m + 4
\ x²⁰⁰¹ = (7m + 4)²⁰⁰¹ = ((7m)²⁰⁰¹ + ...) + 4²⁰⁰¹ จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 1
กรณี x = 7m + 5
\ x²⁰⁰¹ = (7m + 5)²⁰⁰¹ = ((7m)²⁰⁰¹ + ...) + 5²⁰⁰¹ จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 6
กรณี x = 7m + 6
\ x²⁰⁰¹ = (7m + 6)²⁰⁰¹ = ((7m)²⁰⁰¹ + ...) + 6²⁰⁰¹ จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 6
หมายเหตุ: ให้ดูที่หมายเหตุของข้อความก่อนหน้านี้

แสดงว่า x²⁰⁰¹ หารด้วย 7 มีเศษที่เป็นไปได้ 3 ค่าคือ { 0 , 1 , 6 }
เมื่อพิจารณาค่าของ x²⁰⁰¹ แล้ว เราจึงพิจารณาปัญหานี้ใหม่เป็น
"หา n ซึ่งทำให้เมื่อเลือกจำนวนเต็มมา n ตัว จะมีจำนวนเต็ม 4 ตัว คือ a,b,c,d ที่ทำให้ 7 หาร (a + b) - (c + d) ลงตัว"
หรือ "หา n ซึ่งทำให้เมื่อเลือกจำนวนเต็มมา n ตัว จะมีจำนวนเต็ม 4 ตัว คือ a,b,c,d ที่ทำให้ 7 หาร (a - c) + (b - d) ลงตัว"

มีเศษที่เป็นไปได้ 3 ค่า ( 0 , 1 , 6 ) หากเราเลือกจำนวนเต็มมา 4 ค่า จะต้องมีอย่างน้อยคู่หนึ่งที่ มีเศษจากการหารด้วย 7 เท่ากัน \ ผลต่างของจำนวนทั้งสองจึงหารด้วย 7 ลงตัว เลือกมาเป็น a , c จากนั้นให้เลือกจำนวนเต็มมาอีก 2 ตัวรวมกับของเดิมอีก 2 ตัวที่ไม่ได้เลือก เป็น 4 ตัว จึงมีอย่างน้อยคู่หนึ่งที่ มีเศษจากการหารด้วย 7 เท่ากัน \ ผลต่างของจำนวนทั้งสองจึงหารด้วย 7 ลงตัว เลือกมาเป็น b , d นั่นคือในกรณี n ณ 6 เป็นจริงเสมอ แต่ยังไม่ได้เป็นการพิสูจน์ว่า n น้อยที่สุดคือ 6

สำหรับกรณี n = 5 เนื่องจากหากเราเลือกจำนวนเต็ม 5 จำนวนคือ { 1 , 2 , 3 , 4 , 7 } จะพบว่าไม่สามารถทำให้ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงได้ กรณีนี้จึงใช้ไม่ได้

สำหรับกรณี n = 4 เนื่องจากหากเราเลือกจำนวนเต็ม 4 จำนวนคือ { 1 , 2 , 3 , 4 } จะพบว่าไม่สามารถทำให้ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงได้ กรณีนี้จึงใช้ไม่ได้

สรุป n ที่น้อยที่สุดคือ 6

ถ้าชอบโจทย์แนวนี้ลองคิดข้อนี้เล่นๆดูสิ

• "กล่องใบหนึ่ง ใส่หนังสือภาษาไทย 10 เล่ม ภาษาอังกฤษ 20 เล่ม สังคม 8 เล่ม คณิตศาสตร์ 15 เล่ม และฟิสิกส์ 25 เล่ม จงหาว่าหากเราหยิบหนังสือจากกลอ่งแบบแรนดอม จะต้องหยิบหนังสือขึ้นมาอย่างน้อยกี่เล่มจึงจะแน่ใจได้ว่า ได้หนังสือวิชาเดียวกัน 12 เล่ม"
• "จงแสดงให้เห็นว่า ในการเขียนเลข 1 ถึง 10 รอบวงกลมวงหนึ่งแบบแรนดอม จะมีผลบวกของ 3 จำนวนติดกันที่มีค่าไม่น้อยกว่า 17"
• "ในงานเลี้ยงแห่งหนึ่งประกอบด้วยผู้คน 15 คน จงพิสูจน์ว่ามีอย่างน้อยสองคน รู้จักคนในงานเลี้ยงนี้เท่ากัน(จำนวนคนที่รู้จักเท่ากัน)"

[Catt]

ข้อแรกใช่ 52 เล่มไหมนะ
ข้อที่ 2 ก็สมมติว่าทุก3ตัวติดกันมีผลบวกเกิน17
จะได้ว่า 3(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) > 10(17)
165>170 ก็เกิิดข้อขัดแย้ง ก็จบ
ข้อ3 ก็แบ่งเป็น 2 กรณี
1.มีคนที่รู้จักทุกคนในงานเลี้ยง ก็จะได้ว่า จำนวนคนที่ 1 คนจะรู้จัก คือ 1 ถึง14 แต่เรามี 15 คนจึงต้องมี2 คนที่รู้จักคนจำนวนเท่ากัน
2.ไม่มีใครรู้จักทุกคน ก็จะได้ว่า จำนวนคนที่ 1 คนจะรู้จัก คือ 0 ถึง 13 แต่เรามี 15 คนจึงต้องมี2 คนที่รู้จักคนจำนวนเท่ากัน ก็จบ

[TOP]

ข้อ 1 และ 3 ถูกต้องครับ แต่สงสัยที่ข้อ 2 พอมันเกิดข้อขัดแย้ง น่าจะสรุปเป็น มี(อาจหมายถึงบางส่วน หรือทั้งหมด) 3 จำนวนติดกันที่ผลบวกไม่เกิน 17 มากกว่านะครับ ยังไม่ได้ยืนยันว่า มี 3 จำนวนติดกันที่ผลบวกไม่น้อยกว่า 17 แต่ก็ทำมาถูกทางแล้ว (อันที่จริงแล้วน่าจะตั้งข้อสมมติเป็น ผลบวกของ 3 จำนวนที่ติดกันน้อยกว่า 17 เสมอ)

[Catt]

อ่านโจทย์ผิดน่ะค่ะ ตอนอ่านอ่านข้ามคำว่า "ไม่" เลยอ่านเป็น"มีผลบวกของ 3 ตัวติดกันที่มีค่าน้อยกว่า 17"

[Catt]

ถ้าจะทำให้ถูกก็ สมมติผลบวกทุก3ตัว <= 16
ทำแบบเดิมก็จะได้ 3(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)<= 10(16) ได้ 165 <= 160 ก็ขัดแย้ง จบแล้ว

นี่มันโจทย์ที่พี่... แต่งนี่นา จำได้เพราะผมก็ช่วยแต่ง แล้วก็ช่วยเป็นหนูทดลองทำโจทย์
พี่ catt ใช่พี่ที่เป็นประธานเมื่อ 2 ปีที่แล้วรึป่าวง่ะ

เราว่าไม่ใช้หรอกนะ นาย"666"