|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
19 พฤศจิกายน 2008, 16:20
|
||||
|
||||
ยกกำลังอนันต์ครั้ง
$x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}$ จะ converge เมื่อใดครับ
ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ ขอบคุณครับ  
|
|
#2
19 พฤศจิกายน 2008, 19:39
|
||||
|
||||
|
ปัญหาข้อนี้ผมเคยคุยกับคุณ passer-by ผ่านทาง pm จึงขอนำบางส่วนมาให้ดู
 ให้ $\displaystyle{f(x)=x^{x^{.^{.^{.}}}}},\forall x\in\mathbb{R}^{+}$ จะหา Domain $$f(x)=y=x^{y}\rightarrow y'=\frac{f^{2}(x)}{x\left(1-\ln f(x)\right)}$$ ได้จุดวิกฤตเมื่อ $x=0,f(x)=0,e$ แต่ $x,f(x)=0$ ไม่ได้ ดังนั้นจาก $f(1)=1$ ทำให้ได้ว่า $f(x)=e$ เป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชันเกิดเมื่อ $\displaystyle{x=e^{\frac{1}{e}}}$ และจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างแท้จริงบนช่วง $[1,\infty)$ ทำให้ได้ $\displaystyle{D_{f}\subseteq\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]}$ $$y=x^{y}\rightarrow\ln x=\frac{\ln y}{y}$$ ต่อไปพิจารณา $\displaystyle{g(x)=\frac{\ln x}{x},\forall x\in\mathbb{R}^{+}}$ จะได้ว่า $\displaystyle{R_{g}=\left(-\infty,\frac{1}{e}\right]}$ สรุปว่า $\displaystyle{\forall x\in\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]\exists y\in\mathbb{R}^{+},\ln x=\frac{\ln y}{y}}$ หรือ $\displaystyle{D_{f}=\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]}$
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
19 พฤศจิกายน 2008 19:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG
|
|
#4
20 พฤศจิกายน 2008, 16:25
|
|||
|
|||
|
ถูกแล้วไม่ใช่เหรอครับ?
ก็ $y=x^y$ $\ln{y}=y\ln{x}$ นั่นคือ $\frac{\ln{y}}{y}=\ln{x}$ $\displaystyle\frac{d\left(\frac{\ln{y}}{y}\right)}{dx}=\frac{d(\ln{x})}{dx}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{d\left(\frac{\ln{y}}{y}\right)}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{d(\ln{x})}{dx}$ จาก $\displaystyle\frac{d\left(\frac{\ln{y}}{y}\right)}{dy}=\frac{1-\ln{y}}{y^2}$ $\displaystyle\therefore\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot\frac{y^2}{1-\ln{y}}$ $\displaystyle y'=\frac{f^2(x)}{x(1-\ln{(f(x))})}$
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 
|
|
#8
22 พฤศจิกายน 2008, 17:12
|
|||
|
|||
|
เห็นมันบอกในนี้ว่าถ้า $\displaystyle x<e^{-e}$ แล้วฟังก์ชัน $\displaystyle ^{n}x$ (tetration) นิยามโดย $\displaystyle ^{n}x=\underbrace{ูx^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}}_{n}$จะลู่เข้า 2 ค่า
ทำให้ $\displaystyle y=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$ ไม่สามารถลู่เข้าได้ เมื่อ $\displaystyle x<e^{-e}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration พอจะมีใครอธิบายได้ไหมครับ?
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน
22 พฤศจิกายน 2008 17:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01 เหตุผล: แก้ไขเล็กๆน้อยๆ
|
|
#9
23 พฤศจิกายน 2008, 00:09
|
|||
|
|||
|
เรื่องนี้มีมาตั้งแต่สมัย Euler แล้วครับ
ลองดูจาก paper นี้ iterated exponentials ถ้าใครอยากได้ข้อมูลเพิ่มเติมลองหาจาก google โดยใช้ keyword iterated exponential
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#10
23 พฤศจิกายน 2008, 20:42
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
หรือว่าวิธีที่ผมทำมันมองข้ามจุดไหนไปทำให้ได้คำตอบเกิน
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
|
#11
24 พฤศจิกายน 2008, 08:16
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
ผมเจอ paper อีกอันนึงซึ่งมองฟังก์ชัน $f(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ ให้เป็น inverse function ของฟังก์ชัน $g(x)=x^{1/x}$ อันนี้มาจาก $y=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\Rightarrow y=x^y\Rightarrow x=y^{1/y}$ ดังนั้นโดเมนของ $f$ ก็คือ range ของ $g$ paper นี้จึงไปสนใจฟังก์ชัน $g(x)$ แทน 
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#12
24 พฤศจิกายน 2008, 21:03
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
|
#13
22 ธันวาคม 2008, 23:17
|
||||
|
||||
|
ตกลงตอบอะไรกันแน่ครับ แต่ผมคิดว่าถ้า $x<e^{-e}$ จะได้ว่ามันลู่เข้า 2 ค่านะครับ ผมลองมาแล้วครับ มันแกว่ง
__________________
There are only two ways to live your life. One is as though nothing is a miracle. The other is as though everything is a miracle. 5th POSN: Gold medal IPST 2008: Gold medal Friendship: Dektep RoSe_JoKer Anonymous314 owlpenguin tatari_nightmare
|
|
#14
15 เมษายน 2009, 21:48
|
||||
|
||||
|
ขอขุดหน่อยครับ
__________________
There are only two ways to live your life. One is as though nothing is a miracle. The other is as though everything is a miracle. 5th POSN: Gold medal IPST 2008: Gold medal Friendship: Dektep RoSe_JoKer Anonymous314 owlpenguin tatari_nightmare
|
|
#15
16 เมษายน 2009, 11:47
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
Lemma 1.9 ถ้า $x>e^{1/e}$ แล้ว $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ ลู่ออก ุLemma 1.7 ถ้า $e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}$ แล้ว $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ ลู่เข้า Lemma 1.8 ถ้า $0<x<e^{-e}$ แล้วลำดับ $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ จะเป็น attracting 2-cycle คำว่า attracting 2-cycle นี้เป็นภาษา Dynamical Systems ครับ หมายความว่า ลำดับที่เราสร้างขึ้นมานั้นจะมีค่าแกว่งไปแกว่งมาในสองบริเวณ (ถ้าเป็น 3-cycle มันก็จะวนไปสองที่แล้วก็กลับมายังบริเวณใกล้ๆกับจุดเดิม) แต่แกว่งอย่างเดียวไม่พอ คำว่า attracting บ่งบอกว่า ลักษณะการแกว่งจะถูกดึงดูดด้วยจำนวนค่าหนึ่งในแต่ละบริเวณ หมายความว่า ถ้าเรามองที่ลำดับย่อยมันจะลู่เข้าด้วย ซึ่งในที่นี้จะเป็นลำดับที่เกิดจากการทำซ้ำเป็นจำนวนคู่กับจำนวนคี่ครั้ง โดยลำดับ $x,x^{x^{x}},x^{x^{x^{x^x}}},...$ จะลู่เข้าหาจำนวนจริง $a$ และลำดับ $x^x,x^{x^{x^x}},...$ จะลู่เข้าหาจำนวนจริง $b$ เมื่อ $a,b$ สอดคล้องระบบสมการ $b=x^{x^b}$ $a=x^b$ สังเกตว่าจำนวนที่ดึงลำดับ $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ เข้าไปหาก็คือ $a,b$ นี่เ้องครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 16 เมษายน 2009 12:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
|
| |
|
|
คิดเลขผิดอีกละ (ลืมดิฟอีกข้างง่ะ 
) เป็นอย่างงี้ทุกทีเลย เบื๊อเบื่อ 
