ฝึกอินทิเกรตกัน

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

$\int xe^{\sqrt{x^2+1}}$

ผมลองคิดดู(มั่วมาก)ขอตอบว่า
$$\int xe^{\sqrt{x^2+1}}dx=\sqrt{x^2+1}\cdot e^{\sqrt{x^2+1}}-e^{\sqrt{x^2+1}}+c$$
ปล.ตรวจด้วยครับ
ส่วนข้อ log นั้น เฉลยเหอะครับ คิดไม่ออกแล้ว

[JamesCoe#18]

นี่คือคำตอบคับ
$-2x+\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+(x+\frac{1}{2})ln(x^2+x+1)+C$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

นี่คือคำตอบคับ
$-2x+\sqrt{3}tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+(x+\frac{1}{2})ln(x^2+x+1)+C$

โหยยย!!! ไม่น่าเลยเรา เมื่อกี้ได้ประมาณนี้แหละ แต่ขี้เกียจจัดต่อ
แล้วคำตอบข้อ $\int xe^{\sqrt{x^2+1}} dx$ อ่ะครับ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

โหยยย!!! ไม่น่าเลยเรา เมื่อกี้ได้ประมาณนี้แหละ แต่ขี้เกียจจัดต่อ
แล้วคำตอบข้อ $\int xe^{\sqrt{x^2+1}} dx$ อ่ะครับ

น่าจะถูกแล้วคับ แต่ว่าโจทย์ที่สอบตอนนั้นในรูทมันไม่น่าจะใช่แบบนี้อ่ะคับ
จริงๆแล้วมันต้องใช้เทคนิคสมมุติตัวแปลก่อนนะคับอันนี้ดูเหมือนจะง่ายคับแต่ข้อ
ln(x^2+x+1) นี่ยากสุดแล้วคับ คุณ Ne[S]zA ลองเขียนวิธีทำให้ดูมั้งดิคับ

[Ne[S]zA]

ผม by parts 2 รอบอ่ะครับผมมั่วนะเหอๆๆแต่ออกมาประมาณนั้น
$\int \ln (x^2+x+1) dx$
ให้ $u=\ln (x^2+x+1)$ และ $dv=dx$
$\frac{du}{dx}=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$ และ $v=x$
ได้ว่า $x\ln (x^2+x+1) - \int \frac{x(x^2+1)}{x^2+x+1}dx$
by parts อีกที $\int \frac{x(x^2+1)}{x^2+x+1}dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$ แต่เหมือนลืมอะไรสักอย่างอ่ะครับ
ไว้แค่นี้แหละครับ เพราะรู้ตัวว่ามั่วแล้ว ไว้ผมจะมาคิดใหม่นะครับ
ปล.มั่วเหอๆ ไปก่อนนะครับ ง่วง บายครับผม

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ผม by parts 2 รอบอ่ะครับผมมั่วนะเหอๆๆแต่ออกมาประมาณนั้น
$\int \ln (x^2+x+1) dx$
ให้ $u=\ln (x^2+x+1)$ และ $dv=dx$
$\frac{du}{dx}=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$ และ $v=x$
ได้ว่า $x\ln (x^2+x+1) - \int \frac{x(x^2+1)}{x^2+x+1}dx$
by parts อีกที $\int \frac{x(x^2+1)}{x^2+x+1}dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$ แต่เหมือนลืมอะไรสักอย่างอ่ะครับ
ไว้แค่นี้แหละครับ เพราะรู้ตัวว่ามั่วแล้ว ไว้ผมจะมาคิดใหม่นะครับ
ปล.มั่วเหอๆ ไปก่อนนะครับ ง่วง บายครับผม

ตรง by past รอบ 2 ทำไงหรอคับถึงได้เป็น $\frac{2}{\sqrt{3}}arctan\frac{(2x+1)}{\sqrt{3}}+C$

[[SIL]]

ข้อ 8 ลองคูณ $e^{-x}$ ทั้งเศษและส่วนดูครับ ^^

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

ตรง by past รอบ 2 ทำไงหรอคับถึงได้เป็น $\frac{2}{\sqrt{3}}arctan\frac{(2x+1)}{\sqrt{3}}+C$

มาคิดอีกทีผมลืม $u\cdot v$ ก่อนลบด้วย $\int vdu$ อ่ะครับ
แต่ถ้าถามว่า $\int vdu$ ทำไมถึงได้ $\frac{2}{\sqrt{3}}arctan\frac{(2x+1)}{\sqrt{3}}+C$
ก็เพราะ ให้ $A=2x^2+x$ และ $dB=\frac{dx}{x^2+x+1}$
$\frac{dA}{dx}=4x+1$ และ $B=\int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
ดังนั้น $B=\frac{2}{\sqrt{3}}arctan\frac{(2x+1)}{\sqrt{3}}$
แต่ก็ต้องเอา $A\cdot B-\int B dA$ อีกใช่มั้ยครับ
ปล.ผมว่าพี่ๆเฉลยเหอะครับ ไม่ไหวแล้ว คิดไม่ออก

[Mastermander]

V.Rattanapon
เยี่ยมมากครับ

ผมจะเอาโจทย์แปลกๆมาโพสให้วันละนิดนะครับ

\[
\int_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x^2 + 1}}dx}
\]

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

V.Rattanapon
เยี่ยมมากครับ

ผมจะเอาโจทย์แปลกๆมาโพสให้วันละนิดนะครับ

\[
\int_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x^2 + 1}}dx}
\]

โจทย์อินทีเกรดข้อนี้เจอบ่อยจริงๆ เป็นข้อสอบ Putnam 2005 แสดงวิธีทำได้หลายวิธีมากครับ
คำตอบคือ \[
\frac{\pi }{8}\ln 2
\]

[Ne[S]zA]

ขอวิธีทำด้วยครับ หรือ hint ก็ได้ครับ(ถ้าผมทำไหว)

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ขอวิธีทำด้วยครับ หรือ hint ก็ได้ครับ(ถ้าผมทำไหว)

ของผมใช่รึป่าว ลองใช้ $x=\tan u$ ครับ

[Ne[S]zA]

ขอวิธีทำข้อของคุณ mastermander กับข้อ $\int \ln (x^2+x+1) dx$ ด้วยครับ ขอบคุณครับ
มาเพิ่มให้
$$\int x\sqrt[3]{x+4} dx$$
$$\int \frac{1}{1-x^2+\sqrt{1-x^2}} dx $$

[Mastermander]

$$\int_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x^2 + 1}}dx}
$$
อันนี้หรอ

[Ne[S]zA]

ใช่ครับ ขอวิธีทำด้วยนะครับ ขอคุณครับ