ค่า a ที่ทำให้กราฟสัมผัส ?

[cZech_kUnG]

$จงหา ค่า a ที่ทำให้ กราฟ y=a^x สัมผัสกับ y=log_ax$

ผมหาอนุพันธ์ทั้ง สอง สมการ แล้วได้

$a^xIna = \frac{1}{xIna} $

แล้วหาค่า a ต่อยังไงหรอครับ

[Mastermander]

$a=e^{1/e}$

[Mastermander]

เนื่องจากกราฟสัมผัสกัน ดังนั้นกราฟต้องผ่านจุดเดียวกันด้วยนั่นคือ
$ a^x=\log_a x$
$ x=a^{a^x}$
เป็นความสัมพันธ์แบบไม่รู้จบ เมื่อแทน $x=a^{a^x}$ ลงใน $x$ ข้างบนจะได้ $x=a^{a^{a^{a^x}}}$

ทำไปเรื่อยๆจะได้ความสัมพันธ์ \[
x=a^{a^{a^{a^\dots}}}\]

และจะได้ว่า $a^x=x$ ดังนั้น $x\ln a=\ln x$

นำไปแทนในสมการที่คุณคิดไว้จะได้ \[
x\ln a = \frac{1}{{x\ln a}}
\]
\[
\left( {\ln x} \right)^2 = 1 \to \ln x = \pm 1
\]
กรณีที่1: $\ln x = 1$ จะได้ $x=e$ นั่นคือ $e=a^{a^{a^{a^\dots}}}$

ได้คำตอบคือ $a=e^{1/e}$

$\ln x = 1$

กรณีที่2: $\ln x = -1$ จะได้ $x=e^{-1}$ นั่นคือ $e^{-1}=a^{a^{a^{a^\ldots}}}$

ได้คำตอบคือ $a=e^{-e}$

ปล.โจทย์ดีมากครับ

[cZech_kUnG]

แก้กรณีสองผิดหรือเปล่าครับ

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cZech_kUnG

แก้กรณีสองผิดหรือเปล่าครับ

วิธีผิดนิดหน่อยครับ แต่คำตอบถูกแล้วครับ

แก้ไขแล้วนะครับ

[owlpenguin]

กรณีแรกใช้ได้กรณีเดียวครับ
กรณีที่ 2 มันไม่สัมผัส แต่มันตัดกัน ต้องลองพล็อตดูเอาครับ แล้วจะเห็นว่า มันไม่สัมผัสกัน

[Mastermander]

ครับ ผมลองดูแล้ว มันไม่สัมผัส เพราะฉะนั้นจึงมีคำตอบเดียวครับ

ขอบคุณครับ

[Mastermander]

แต่ว่า นิยามของการสัมผัสคืออะไรครับ..

เพราะในข้อนี้มันผ่านจุดเดียวกันที่มีความชันเดียวกัน แต่ $y_1''>y_2''$ มันก็เลยผ่านกันไป แต่ผมคิดว่ามันยังสัมผัสกันอยู่นะ

ท่านอื่นมีความเห็นว่ายังไงครับ