f(x)=|x| exp(-|x|*Squareroot(|sin x|)) ???

[Spinor]

อยากทราบว่าจะพิสูจน์...
1) f(x)=|x| exp(-|x|*Squareroot(|sin x|)) ไม่มี limit |x|->infinity

2) Intigrate |f(x)|^2 จาก -infinity ถึง infinity มีค่า finite

ได้อย่างไร?

[TOP]

1) จาก f(x) = |x| e^{-|x|ึ|sin(x)|}
พิจารณาค่า f(x) เมื่อ x = 2np จะพบว่า f(x) = |x|
\ lim_{xฎฅ , x = 2np} f(x) = ฅ
และ lim_{xฎฅ , x น 2np} f(x) = 0
ค่าลิมิตที่ได้มีการแกว่งไปมา จึงสรุปว่า lim_xฎฅ f(x) หาค่าไม่ได้

2) รอให้น้องคนอื่นมาช่วยคิดบ้าง เดี๋ยวจะไม่มีอะไรคิดกัน

[Spinor]

ข้อ 2 ยากกว่าข้อ 1 อีกครับ...

จนป่านนี้ยังคิดวิธีพิสูจน์ไม่ออกเลย

1) พิจารณา f(x) เมื่อ x = n Pi โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม
จะเห็นว่า f(n Pi) = |n| Pi ซึ่งไม่มี bound
f(x) จึงไม่มีลิมิตเมื่อ x -> Infinity

2) การที่ f(x) ไม่มี bound รอบจุดๆ หนึ่ง
ไม่ได้แปลว่า f(x) จะไม่มีค่าอินทิกรัลรอบจุดนั้นเสมอไป
ตัวอย่างเช่น f(x) = 1/sqrt(|x|) ซึ่งไม่มี bound ที่ x = 0 แต่ยังมีค่าอินทิกรัล

ทำนองเดียวกัน ปัญหาของการอินทิเกรต (f(x))^2 อยู่ที่จุด x = n Pi ตามข้อ 1 ซึ่งฟังก์ชันไม่มีขอบเขต

f(n Pi) = |n| Pi ~ n
ดังนั้น [f(n Pi)] ~ n^2
นึกถึงสามเหลี่ยมที่มีส่วนสูงเป็น n^2 ถ้าสร้างฐานสัก 1/n^4 จะได้พื้นที่ ~ 1/n^2 ซึ่งสามารถหาผลรวมได้ เพราะฉะนั้นอินทิกรัลในช่วง
(nPi - 1/n^4, nPi + 1/n^4) มีค่าจำกัด (ทำไม?)

เนื่องจาก symmetry ของ f(x) จึงเพียงพอที่จะแสดง convergence ของ f(x) เฉพาะ x > 0
พิจารณาช่วง ((n-1)Pi + 1/(n-1)^4, nPi - 1/n^4)

ถ้า x อยู่ในช่วงดังกล่าว x^2 < (nPi)^2
สนใจเฉพาะ n^2 ก็พอ (ทำไม?)

sin x > 1/n^4 (ทำไม?)
อินทิกรัล < (nPi)^2 Integrate(exp(-2x)/n^2)
~ n^4 exp(-nPi) (ทำไม?)

ปัญหาอยู่ที่ว่า sum n^4 exp(-nPi) convergent
หรือไม่ ซึ่งพิจารณาได้ง่ายมากว่า convergent (ทำไม?)

สรุป: Integral ของ (f(x))^2 มีค่าจำกัด

[Spinor]

ยังไม่ค่อยเข้าใจ idea ในการพิสูจน์เท่าไร แต่ขอบคุณมากครับ...
อ้อ!... แล้วสามารถหาค่า integral ในข้อ 2 ออกมาได้หรือปล่าวครับ ว่าเป็นเท่าไร?

ถ้าหมายถึงค่าอินทิกรัลแบบ closed form
ไม่คิดว่าจะหาได้
แต่ถ้าจะหาค่าแบบ numerical ก็เป็นไปได้
(แต่ก็คงยากเหมือนกัน เพราะคิดว่า converge
ค่อนข้างช้า)