#1
|
|||
|
|||
ลองทำกันเล่นๆ
ได้โจทย์มาชุดนึง ได้ยินมาว่าแต่งโดยรุ่นพี่ของชมรมเลขของรร.(เต_ยม)รุ่นก่อน เลยเอามาให้ลองทำกันดูเล่นๆ
2.ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ4 ซึ่งมีสมบัติว่าเมื่อเลือกจำนวนเต็มมา n ตัว จะมี a,b,c,d ที่เป็นจำนวนเต็ม4ตัวในจำนวนเต็ม n ตัวนั้นเสมอ โดยที่ 7 หาร (a^2001 + b^2001) - (c^2001 + d^2001) ลงตัว จงหาพร้อมพิสูจน์ n ที่น้อยที่สุด |
#2
|
||||
|
||||
คิดว่า 5 ตัวนะ
หมายเหตุ 02001 หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 0 12001 หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 1 22001 หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 1 32001 หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 6 42001 หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 1 52001 หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 6 62001 หารด้วย 7 เหลือเศษเป็น 6
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 09 ตุลาคม 2001 11:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#3
|
|||
|
|||
ลองพิจรณากรณีนี้นะ
มีตัวที่ 7 หารแล้วเหลือเศษ 1 อยู่ 3ตัว มีตัวที่ 7 หารแล้วเหลือเศษ 0 อยู่ 1ตัว มีตัวที่ 7 หารแล้วเหลือเศษ 6 อยู่ 1ตัว พบว่ามันจะไม่สอดคล้องกับเงื่อนไข เป็นการแสดงว่า n=5 ใช้ไม่ได้ ต่อไปจะแสดงว่า n=6 ใช้ได้ ใน 6 ตัวใดๆ พิจรณาตัวไหนก็ได้ 4 ตัว จะพบว่ามี 2 ตัวที่ยกกำลังแล้วหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษเท่ากัน เลือก 2ตัวนี้ให้เป็น a,c ตอนนี้พบว่าจะยังเหลืออีก 4 ตัว ใน 4 ตัวนี้ก็จะต้องมี 2 ตัวที่ยกกำลังแล้วหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษเท่ากัน เลือก 2 ตัวนี้ให้เป็น b,c เราก็จะได้ตามเงื่อนไข นั่นคือ n ที่น้อยที่สุดคือ 6 |
#4
|
||||
|
||||
ตกกรณีที่ว่าไปจริงๆด้วย นึกว่าจะทำให้มันน้อยกว่า 6 ได้แล้วซะอีก
ให้ x เป็นจำนวนนับใดๆ \ x สามารถเขียนได้ในรูป x = 7m + p โดยที่ m,p ฮ I และ 0 ฃ p ฃ 6 พิจารณาเศษจากการหาร x2001 ด้วย 7 จะพบว่า กรณี x = 7m \ x2001 = (7m)2001 จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 0 กรณี x = 7m + 1 \ x2001 = (7m + 1)2001 = ((7m)2001 + ...) + 12001 จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 1 กรณี x = 7m + 2 \ x2001 = (7m + 2)2001 = ((7m)2001 + ...) + 22001 จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 1 กรณี x = 7m + 3 \ x2001 = (7m + 3)2001 = ((7m)2001 + ...) + 32001 จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 6 กรณี x = 7m + 4 \ x2001 = (7m + 4)2001 = ((7m)2001 + ...) + 42001 จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 1 กรณี x = 7m + 5 \ x2001 = (7m + 5)2001 = ((7m)2001 + ...) + 52001 จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 6 กรณี x = 7m + 6 \ x2001 = (7m + 6)2001 = ((7m)2001 + ...) + 62001 จะได้ว่า เศษจากการหารเป็น 6 หมายเหตุ: ให้ดูที่หมายเหตุของข้อความก่อนหน้านี้ แสดงว่า x2001 หารด้วย 7 มีเศษที่เป็นไปได้ 3 ค่าคือ { 0 , 1 , 6 } เมื่อพิจารณาค่าของ x2001 แล้ว เราจึงพิจารณาปัญหานี้ใหม่เป็น "หา n ซึ่งทำให้เมื่อเลือกจำนวนเต็มมา n ตัว จะมีจำนวนเต็ม 4 ตัว คือ a,b,c,d ที่ทำให้ 7 หาร (a + b) - (c + d) ลงตัว" หรือ "หา n ซึ่งทำให้เมื่อเลือกจำนวนเต็มมา n ตัว จะมีจำนวนเต็ม 4 ตัว คือ a,b,c,d ที่ทำให้ 7 หาร (a - c) + (b - d) ลงตัว" มีเศษที่เป็นไปได้ 3 ค่า ( 0 , 1 , 6 ) หากเราเลือกจำนวนเต็มมา 4 ค่า จะต้องมีอย่างน้อยคู่หนึ่งที่ มีเศษจากการหารด้วย 7 เท่ากัน \ ผลต่างของจำนวนทั้งสองจึงหารด้วย 7 ลงตัว เลือกมาเป็น a , c จากนั้นให้เลือกจำนวนเต็มมาอีก 2 ตัวรวมกับของเดิมอีก 2 ตัวที่ไม่ได้เลือก เป็น 4 ตัว จึงมีอย่างน้อยคู่หนึ่งที่ มีเศษจากการหารด้วย 7 เท่ากัน \ ผลต่างของจำนวนทั้งสองจึงหารด้วย 7 ลงตัว เลือกมาเป็น b , d นั่นคือในกรณี n ณ 6 เป็นจริงเสมอ แต่ยังไม่ได้เป็นการพิสูจน์ว่า n น้อยที่สุดคือ 6 สำหรับกรณี n = 5 เนื่องจากหากเราเลือกจำนวนเต็ม 5 จำนวนคือ { 1 , 2 , 3 , 4 , 7 } จะพบว่าไม่สามารถทำให้ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงได้ กรณีนี้จึงใช้ไม่ได้ สำหรับกรณี n = 4 เนื่องจากหากเราเลือกจำนวนเต็ม 4 จำนวนคือ { 1 , 2 , 3 , 4 } จะพบว่าไม่สามารถทำให้ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงได้ กรณีนี้จึงใช้ไม่ได้ สรุป n ที่น้อยที่สุดคือ 6 ถ้าชอบโจทย์แนวนี้ลองคิดข้อนี้เล่นๆดูสิ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 09 ตุลาคม 2001 17:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#5
|
|||
|
|||
ข้อแรกใช่ 52 เล่มไหมนะ
ข้อที่ 2 ก็สมมติว่าทุก3ตัวติดกันมีผลบวกเกิน17 จะได้ว่า 3(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) > 10(17) 165>170 ก็เกิิดข้อขัดแย้ง ก็จบ ข้อ3 ก็แบ่งเป็น 2 กรณี 1.มีคนที่รู้จักทุกคนในงานเลี้ยง ก็จะได้ว่า จำนวนคนที่ 1 คนจะรู้จัก คือ 1 ถึง14 แต่เรามี 15 คนจึงต้องมี2 คนที่รู้จักคนจำนวนเท่ากัน 2.ไม่มีใครรู้จักทุกคน ก็จะได้ว่า จำนวนคนที่ 1 คนจะรู้จัก คือ 0 ถึง 13 แต่เรามี 15 คนจึงต้องมี2 คนที่รู้จักคนจำนวนเท่ากัน ก็จบ |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 1 และ 3 ถูกต้องครับ แต่สงสัยที่ข้อ 2 พอมันเกิดข้อขัดแย้ง น่าจะสรุปเป็น มี(อาจหมายถึงบางส่วน หรือทั้งหมด) 3 จำนวนติดกันที่ผลบวกไม่เกิน 17 มากกว่านะครับ ยังไม่ได้ยืนยันว่า มี 3 จำนวนติดกันที่ผลบวกไม่น้อยกว่า 17 แต่ก็ทำมาถูกทางแล้ว (อันที่จริงแล้วน่าจะตั้งข้อสมมติเป็น ผลบวกของ 3 จำนวนที่ติดกันน้อยกว่า 17 เสมอ)
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#7
|
|||
|
|||
อ่านโจทย์ผิดน่ะค่ะ ตอนอ่านอ่านข้ามคำว่า "ไม่" เลยอ่านเป็น"มีผลบวกของ 3 ตัวติดกันที่มีค่าน้อยกว่า 17"
|
#8
|
|||
|
|||
ถ้าจะทำให้ถูกก็ สมมติผลบวกทุก3ตัว <= 16
ทำแบบเดิมก็จะได้ 3(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)<= 10(16) ได้ 165 <= 160 ก็ขัดแย้ง จบแล้ว |
#9
|
|||
|
|||
นี่มันโจทย์ที่พี่... แต่งนี่นา จำได้เพราะผมก็ช่วยแต่ง แล้วก็ช่วยเป็นหนูทดลองทำโจทย์
พี่ catt ใช่พี่ที่เป็นประธานเมื่อ 2 ปีที่แล้วรึป่าวง่ะ |
#10
|
|||
|
|||
เราว่าไม่ใช้หรอกนะ นาย"666"
|
|
|